高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)造函數(shù)的方法探討

摘 要:在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常遇到通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)的思想方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。構(gòu)造函數(shù)的方法一般是按構(gòu)造對(duì)象來(lái)分，可分為構(gòu)造函數(shù)的圖形、模型、過(guò)程等，本文主要是探討按對(duì)命題的肯定與否定來(lái)分，可分為構(gòu)造結(jié)論與構(gòu)造矛盾，同時(shí)從構(gòu)造結(jié)論和構(gòu)造矛盾兩個(gè)部分入手探討高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)中形成構(gòu)造函數(shù)的一些思想方法。在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)構(gòu)造輔助函數(shù)的研究，對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有十分重要的意義。利用構(gòu)造法作為橋梁，用構(gòu)造思想鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使問(wèn)題得到完美解決。

關(guān)鍵詞:構(gòu)造法 構(gòu)造函數(shù) 構(gòu)造結(jié)論 構(gòu)造矛盾 思想方法 創(chuàng)造性思維

中圖分類號(hào):G633.6\t\t文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A\t\t\t文章編號(hào):1672-3791(2011)10(a)-0195-02

構(gòu)造法的特點(diǎn)描述的直觀性和實(shí)現(xiàn)的具體性，不但判定了數(shù)學(xué)對(duì)象的存在，而且要按一定的方式在有限步內(nèi)具體找到它。構(gòu)造法按對(duì)命題的肯定與否定來(lái)分，可分為構(gòu)造結(jié)論與構(gòu)造矛盾;按構(gòu)造對(duì)象可分為構(gòu)造函數(shù)、圖形、模型、過(guò)程等等。本文主要是探討高職高專數(shù)學(xué)中形成構(gòu)造函數(shù)的一些思想方法，從構(gòu)造結(jié)論和構(gòu)造矛盾兩個(gè)部分入手。

１ 構(gòu)造結(jié)論

針對(duì)高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，一些定理和結(jié)論的證明當(dāng)使用通常方法很難奏效時(shí)，往往需要先構(gòu)造一個(gè)與所證結(jié)果有關(guān)的輔助函數(shù)，作為解決問(wèn)題的橋梁，然后運(yùn)用已知條件和有關(guān)概念，推證出所要證的結(jié)果，這就是構(gòu)造與結(jié)論有關(guān)的輔助函數(shù)的思想，下面列舉了四種構(gòu)造結(jié)論的方法。

1.1 分析法

即指由未知出發(fā)緊扣已知條件一步一步的向已知進(jìn)行分析，在適當(dāng)?shù)牡胤揭M(jìn)輔助函數(shù)，使已知和未知聯(lián)系起來(lái)，最后得證。

例1:微分中值定理。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得(<<)。

<分析>在已證羅爾定理的基礎(chǔ)上，證明這個(gè)定理的關(guān)鍵就需要構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)使之符合羅爾定理的條件。亦即:要證 只需證，而等式左邊可轉(zhuǎn)化為自然聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)為 ，易證滿足羅爾定理的條件，即在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且與相等，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即從而拉格朗日中值定理得證。

1.2 數(shù)形結(jié)合法

利用數(shù)形結(jié)合的方法，求助于幾何圖象可構(gòu)造出適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。

例2:在微分中值定理的證明中，輔助函數(shù)f(x)可以從定理的幾何意義上得到。微分中值定理的幾何意義是:如果連續(xù)曲線的弧AB上除端點(diǎn)外處有不垂直于x軸的切線，則在這段弧上至少有一點(diǎn)P，使得曲線在P點(diǎn)的切線平行于弦AB。如圖1所示:如把弦AB“拉下”到水平就轉(zhuǎn)化為羅爾定理了。此時(shí)弧AB在P點(diǎn)的切線就是水平切線。即如在上任一點(diǎn)x處的函數(shù)值f(x)減去ΔABC中DE的值，則所得函數(shù)一定滿足羅爾定理。因此輔助函數(shù)可設(shè)為同例1易證此定理。從圖形上可構(gòu)造出證明此定理的其它輔助函數(shù)，形如在上圖中可看出ΔAMB的面積是x的函數(shù)由三角形面積公式，也可以考慮取函數(shù)易證滿足羅爾定理的條件，從而證明了定理。

1.3 變量代換法

利用變量代換將所討論的式子作適當(dāng)?shù)淖冃危僖M(jìn)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。

例3：設(shè)及0<<證明不等式>。

<分析>先將原不等式變形為>

令，則得>取函數(shù)，則只須證明>(0<<)換元之:只需證在>0時(shí)嚴(yán)格單減即可。由于在[]上小于零，可得在>0時(shí)單減。

1.4 函數(shù)法

構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)通過(guò)適當(dāng)整理，而由需要求出一些特殊的函數(shù)值。

(1)用來(lái)證明等式或結(jié)論。

例4：求證。

證明:設(shè)

兩邊對(duì)求導(dǎo):

再令x=1即得:

例5:若和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 。

<分析>由于在所要證明的結(jié)論中出現(xiàn)了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，于是聯(lián)想到函數(shù)，在等式中又出現(xiàn)了，因此可取輔助函數(shù)

證明:構(gòu)造輔助函數(shù)，由于所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理，使，即而，所以得證。

例6:證明是整數(shù)。

<分析>觀察本題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和特征數(shù)字所處的位置，將其推廣到一般情況，構(gòu)造函數(shù)結(jié)論顯然若能證明關(guān)于實(shí)變量是偶次多項(xiàng)式，則必是整數(shù)，問(wèn)題得證。

證明:令而有關(guān)于x是奇次多項(xiàng)式，則關(guān)于實(shí)變量x是偶次多項(xiàng)式，則關(guān)于實(shí)變量x是偶次多項(xiàng)式，特別地，令故是整數(shù)。原命題得證。

例7:任何一個(gè)函數(shù)都可以表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和。

<分析>構(gòu)造函數(shù)上面該等式顯然成立。

再令，易證為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，從而結(jié)論得證。

證明:構(gòu)造輔助函數(shù)其中 ，而所以為偶函數(shù)，又所以為奇函數(shù)。從而證明了任何一個(gè)函數(shù)都可以表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和。

(2)用來(lái)證明方程的根的存在性。

例8:證明方程，其中>0，b>0，至少有一個(gè)正根，且不超過(guò)+b。

證明:設(shè)，則在[0，+b]上連續(xù)且>0， 當(dāng)，則b就是方程且不超過(guò)+b的正根，當(dāng)<0，則由介值定理在0與b之間至少存在一點(diǎn)使=0即，故方程至少有一個(gè)正根，且它不超過(guò)b。

2 構(gòu)造矛盾

在教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)我們遇到一個(gè)未被推導(dǎo)、未被證明、未經(jīng)驗(yàn)算的命題時(shí)，為了判斷某個(gè)命題正確，就要證明其為真;要想否定或推翻某個(gè)命題，需要反例證明其為假，而反例是需要構(gòu)造的。這就是構(gòu)造矛盾的輔助函數(shù)的思想。下面舉例說(shuō)明構(gòu)造矛盾的應(yīng)用。

例1:判斷是否都是素?cái)?shù)()。

解:這便是曲型的費(fèi)馬猜想。費(fèi)馬曾對(duì)n=1，2，3，4進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)都是素?cái)?shù)，從而不完全歸納法猜測(cè)形為的數(shù)都是素?cái)?shù)，然而費(fèi)馬這個(gè)數(shù)論大師錯(cuò)了，歐拉后來(lái)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=5時(shí)可見(jiàn)不是素?cái)?shù)。從而證明了不一定都是素?cái)?shù)()。

例2:函數(shù)在一點(diǎn)x0連續(xù)，僅是函數(shù)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。

<分析>原結(jié)論說(shuō)明函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)x0不一定可導(dǎo)。換言之可導(dǎo)性比連續(xù)性要求的條件更多。

解:例如函數(shù)在點(diǎn)0連續(xù)，但是它在點(diǎn)0處卻不可導(dǎo)。從而說(shuō)明了函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)不是在該點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件。

例3:函數(shù)在[a，b]上有界，僅是函數(shù)在[a，b]可積的必要條件，并不是充分條件。

解:構(gòu)造函數(shù)=

顯見(jiàn)狄利克菜函數(shù)在[a，b]上有界，但是它在[a，b]卻不可積。

例4:在可積僅是在上可積的必要條件而不是充分條件。

〈分析〉即在可積，在不一定也可積。

解:構(gòu)造函數(shù)=

顯見(jiàn)該函數(shù)在[0，1]不可積，而在[0，1]可積。

3 結(jié)語(yǔ)

從以上實(shí)例可以看出，構(gòu)造輔助函數(shù)一般都是從構(gòu)造結(jié)論與構(gòu)造矛盾入手。在構(gòu)造過(guò)程中既要具備抽象的思維能力，又需要抽象的想象能力，要能正確“猜想”和構(gòu)造出所需要的輔助函數(shù)。在教學(xué)中如果多加強(qiáng)對(duì)構(gòu)造輔助函數(shù)的研究對(duì)于開(kāi)闊高職高專學(xué)生的思路，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有十分重要的意義。

參考文獻(xiàn)

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[2] \t劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(第5版)[M]．北京:高等教育出版社，2008:4～7.