基于分段波形的信號瞬時頻率計算方法

摘 要：針對局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）中乘積函數（Product Function，PF）分量的瞬時頻率計算問題，引入了一種新的信號瞬時頻率計算方法.該方法基于分段波形，先將信號分成若干個全波段（full wave），然后以一組遞增的反正弦函數定義每個全波段的瞬時相位，進而得到信號的瞬時頻率.由該方法得到的瞬時頻率理論上是正的、穩定的并且能夠確保信號局部特征信息的完整.應用該方法計算了仿真信號和實際齒輪故障振動信號的瞬時頻率，并與其他方法求得的瞬時頻率進行了對比.結果表明，本文方法非常適合求取信號的瞬時頻率.

關鍵詞：故障檢測；局部均值分解；乘積函數；純調頻信號；瞬時頻率；分段波形

中圖分類號：TN911.7 文獻標識碼：A

A Piece-wise Based Signal Instantaneous 

Frequency Computing Method

ZHANG Kang， CHENG Jun-sheng， YANG Yu， ZOU Xian-jun 

(State key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body， Hunan Univ， Changsha，Hunan 410082，China)

Abstract:To address the computing instantaneous frequency of the product function (PF) in local mean decomposition (LMD)， a new instantaneous frequency of a signal computing method was introduced. This method is piece-wise wave based. Firstly， a signal was separated to a number of full waves. Then， the instantaneous phase of each full wave was defined by a set of monotonic increasing arcsine functions. Therefore， the instantaneous frequency of a signal was obtained. Theoretically， the instantanoues frequency obtained in this method was positive， stable and could guarantee the characteristic information of signal integrity. This method was applied to compute the instantaneous frequency of simulated signals and actual gear fault vibration signals， and the results were compared with those obtained in other methods. It has been shown that this method is quite suitable for extracting the instantaneous frequency of a signal.

Key words: fault detection;local mean decomposition; product function; pure frequency modulated signal; instantaneous frequency; piece-wise wave

局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）［1］是一種新的時頻分析方法，它能自適應地將一個復雜的多分量信號分解為若干個乘積函數（Product Function，PF）分量之和，其中每一個PF分量是一個包絡信號和一個純調頻信號的乘積，包絡信號就是該PF分量的瞬時幅值，而PF分量的瞬時頻率則可由純調頻信號求出，進一步將所有PF分量的瞬時頻率和瞬時幅值組合，便可以得到原始信號完整的時頻分布.LMD方法由于其良好的分析非線性、非平穩信號的能力，已應用于腦電信號分析［1］、機械故障診斷［2-4］和參數識別［5］等領域.而在這些實際應用當中，各個PF分量瞬時頻率的準確性直接影響到了原信號最終的分析效果，因此需要找到一種合適的瞬時頻率計算方法.文獻［1］中是直接通過反余弦函數來計算PF分量的瞬時頻率，這樣得到的瞬時頻率是正的、連續的.但是存在兩個方面的問題，第一，要求被求信號的取值范圍在［－1，1］，并且其局部極大值點和局部極小值點要等于1和-1，也即為一個嚴格的純調頻信號［6］，而在實際的LMD分析當中，只能得到近似的純調頻信號，因此這樣求得的瞬時頻率會存在一定的誤差；第二，在一個相位角周期內得到的瞬時相位不是單調的，這樣進一步得到的瞬時頻率將不穩定，可能會出現大的峰值現象.另外已得到廣泛應用的基于Hilbert變換的方法［7-8］也可用于計算PF分量的瞬時頻率，但也存在一定的局限性，如Hilbert變換算法不可避免的邊界效應以及產生無法解釋的負頻率問題，都會影響到瞬時頻率的準確性.針對這些問題，本文引入了一種新的計算信號瞬時頻率的方法［9］，該方法基于分段波形（piece-wise wave based），首先定義信號任意兩個零上交叉點（zero up-crossing）之間的波形為一個“全波（full wave）”，然后在一個全波時間段內通過一組遞增的反正弦函數來計算其瞬時相位，求出所有全波的瞬時相位并對其求導，便能得到原信號的瞬時頻率.新方法以分段的形式定義信號的瞬時相位并且確保了其在一個全波時間段內的單調性，因此，理論上得到的瞬時頻率既充分保留了原信號的局部時間尺度特征也保留了其穩定性.將該方法應用于計算仿真信號以及試驗齒輪故障振動信號的瞬時頻率，并且與其他方法進行了對比，結果證明了該方法的優越性.

值得說明的是在信號x(t)兩端的波形，即信號起始點至第1個零上交叉點與最后一個零上交叉點至信號末端點的波形可能不是一個完整的“全波”，這時候可以將其看成是“全波”的一個子區間按照式（4）求其瞬時相位.由以上可以看出，該方法具有兩方面的優點，①將信號分為若干個“全波”段，以分段的形式定義瞬時相位，這樣便在最大程度上保留了信號的局部尺度特征信息；②式（4）是一組單調遞增函數，這就確保了瞬時相位φ(t)在一個“全波”時間段內的單調性，從而保證了瞬時頻率f(t)的穩定性.另外相較于Hilbert變換方法，該方法不存在邊界效應也不會產生無法解釋的負頻率問題.因此該方法非常適合于求PF分量的瞬時頻率.

瞬時頻率，采用的是21點FIR差分濾波器.通過對比可以看出，只有采用基于分段波形方法得到的瞬時相位在一個“全波”時間段內是連續單調遞增的，對應的瞬時頻率是一條穩定的直線.而其他兩種方法得到的瞬時相位在一個“全波”時間段內都發生了跳變，因此得到的瞬時頻率都存在輕微的波動.另外，通過Hilbert變換得到的瞬時頻率的兩端出現了較明顯的邊界效應.

為了提取兩個分量的瞬時頻率，首先需要采用LMD方法對x(t)進行分解，結果如圖6所示.由圖6可以看出，兩個PF分量PF1（t)和PF2（t)很好地對應了組成x(t)的兩個分量，另外相應的純調頻信號s1(t)和s2(t)則如圖7所示.進一步通過s1(t)和s2(t)計算各個PF分量的瞬時頻率，這里同樣采用上例的3種方法，其中PF1（t)的瞬時頻率分別如圖8~圖10所示，PF2（t)的瞬時頻率分別如圖11~圖13所示.通過對比可以看出由直接反余弦法求得的PF1（t)的瞬時頻率在t=0.48 s附近存在著明顯的畸變，這是由于采用反余弦函數計算瞬時相位時產生誤差造成的.而由基于分段波形方法和Hilbert變換法得到的瞬時頻率則較準確地反映了信號真實的瞬時頻率.對于PF2（t)的瞬時頻率，基于分段波形方法和直接法都取得了較好的效果，而由Hilbert法得到的瞬時頻率則產生了明顯的邊界效應.通過以上分析，說明了本文方法的優越性.

4 齒輪故障振動信號分析

在旋轉機械試驗臺上進行了齒輪斷齒工況下的試驗，采用的齒輪模數為2.5 mm、齒數為37的標準直齒輪，通過激光切割掉一個齒來模擬斷齒故障，加速度傳感器垂直安放在齒輪箱右側的軸承蓋上，用于測取振動加速度信號.圖14是試驗裝置圖.圖15是測得的一段斷齒齒輪振動加速度信號的時域波形x(t)，其采樣頻率為1 024 Hz，轉頻為fr=7Hz.

當齒輪發生故障時，其振動信號為多分量的調幅調頻信號［10］，其中每一個分量又是以某階嚙合頻率為載頻、轉頻及其倍頻為調制頻率的單分量調幅調頻信號，因此，理論上只要得到含某階嚙合頻率諧波分量的瞬時頻率，然后計算其頻譜，便能提取其頻率調制信息，也即故障特征.根據以上思想，首先采用LMD方法對x(t)進行分解，得到了6個PF分量和1個余量.理論上，每個PF分量是一個單分量的調幅調頻信號，對應了齒輪故障振動信號的一個分量，因此可以進一步采用基于分段波形的方法計算其瞬時頻率.根據x(t)的實際工況，可以判斷只有第1個PF分量PF1（t)對應著x(t)中包含1階嚙合頻率（259 Hz）成分的諧波分量，其余的PF分量均為噪聲信號.PF1（t)的時域波形如圖16所示，由基于分段波形方法得到的PF1（t)的瞬時頻率f1(t)如圖17所示.可以看出瞬時頻率f1(t)是正的、連續的，并且范圍是在1階嚙合頻率附近，符合實際工況.進一步對f1(t)做頻譜分析，結果如圖18所示，從圖18中可以看出，在轉頻fr處存在明顯的峰值，因此可以判斷該齒輪發生了局部故障，與實際情況相符.

時間t/s

4 結 論

本文研究了一種新的基于分段波形的信號瞬時頻率計算方法，并將其應用于仿真信號以及試驗信號的分析，得到了以下結論：

1）該方法首先將信號分成若干個“全波”段，以分段的形式定義瞬時相位，這樣在最大程度上保留了信號的局部尺度特征信息.

2）在每個“全波”時間段內，以一組遞增的反正弦函數計算其瞬時相位，確保了瞬時相位在一個“全波”時間段內的單調性，保證了進一步得到的瞬時頻率是穩定的.

3）用該方法計算了仿真信號以及試驗齒輪故障振動信號的瞬時頻率，并與直接反余弦法以及Hilbert變換法的結果進行了對比.分析結果表明，本文方法得到的瞬時頻率是正的、穩定的、有物理意義的，效果要優于直接反余弦法和Hilbert變換法.

參考文獻

［1］ JONATHAN S S.The local mean decomposition and its application to EEG perception data［J］. Journal of the Royal Society Interface， 2005， 2(5): 443-454.

［2］ 程軍圣，楊宇，于德介.局部均值分解方法及其在齒輪故障診斷中的應用［J］. 振動工程學報， 2009， 22(1): 76-84.

CHENG Jun-sheng， YANG Yu， YU De-jie. The local mean decomposition method and its application to gear fault diagnosis［J］. Journal of Vibration Engineering， 2009， 22(1): 76-84.（In Chinese）

［3］ 陳保家， 何正嘉， 陳雪峰， 等. 機車故障診斷的局域均值分解解調方法［J］.西安交通大學學報， 2010， 44(5): 40-44.

CHEN Bao-jia， HE Zheng-jia， CHEN Xue-feng， et al. Locomotive fault diagnosis based on local mean decomposition demodulating approach［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2010， 44(5): 40-44. （In Chinese）

［4］ 劉衛兵， 李志農， 蔣靜. 基于局域均值分解和Wigner高階矩譜的機械故障診斷方法的研究［J］. 振動與沖擊， 2010， 29(6): 170-173.

LIU Wei-bing， LI Zhi-nong， JIANG Jing. Machine fault diagnosis method based on local mean decomposition and Wigner higher moment spectrum［J］. Journal of Vibration and Shock， 2010， 29(6): 170-173. （In Chinese）

［5］ 宋斌華. 基于Hilbert-Huang變換和局部均值分解的時變結構模態參數識別［D］. 長沙: 中南大學土木工程學院， 2009. 

SONG Bin-hua.Based on Hilbert-Huang transform and local mean decomposition of time-varying modal parameter identification［D］.Changsha:School of Civil Engineering， Central South University， 2009.(In Chinese)

［6］ 任達千， 楊世錫， 吳昭同， 等. 基于LMD的信號瞬時頻率求取方法及實驗［J］. 浙江大學學報:工學版， 2009， 43(3): 523-528.

REN Da-qian， YANG Shi-xi， WU Zhao-tong， et al. Instantaneous frequency extraction method and experiment based LMD［J］. Journal of Zhengjiang University:Engineering Science， 2009， 43(3): 523-528.（In Chinese）

［7］ BOASHASH B. Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal-part 1: fundamentals［J］. Proceedings of the IEEE， 1992， 80(4): 520-538.

［8］ BOASHASH B. Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal-part 2: algorithms and applications［J］. Proceedings of the IEEE， 1992， 80(4): 540-568.

［9］ FREI M G， OSORIO I.Intrinsic time-scale decomposition:time-frequency-energy analysis and real-time filtering of non-stationary signals［J］. Proceedings of the Royal Society A， 2007， 463: 321-342.

［10］于德介， 程軍圣， 楊宇. Hilbert-huang變換在齒輪故障診斷中的應用［J］. 機械工程學報， 2005， 41(6): 102-107.

YU De-jie， CHENG Jun-sheng， YANG Yu. Application of Hilbert-huang transform method to gear fault diagnosis［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，41(6): 102-107.（In Chinese）