隨機(jī)供貨下銷售商最優(yōu)訂購(gòu)決策

摘 要：在實(shí)際生產(chǎn)生活中，存在著由于產(chǎn)品本身生產(chǎn)的隨機(jī)性和一些外部因素導(dǎo)致生產(chǎn)商供貨不確定的問題，本文研究了在此的背景下，單周期供貨不確定情況下銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)決策。理論上分析了最終到貨量為訂購(gòu)量與擾動(dòng)變量加和情況下，銷售商存在最優(yōu)訂購(gòu)量，按照新的策略訂購(gòu)可以使銷售商利潤(rùn)最大化，并最大可能的消除由于訂貨不足或者訂貨過(guò)量所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)供貨 訂購(gòu)決策 報(bào)童模型 隨機(jī)需求

The Retailer’s Optimal Ordering Strategic Decision under the situation of Random Supply

Cheng Lei Wang Daoping Li Feng

(School of Economics and Management， University of Science and Technology Beijing，

Beijng， 100083)

Abstract：In the actual production and life， there is the randomness of the production of the product itself and some external factors that led to the problem of uncertainty supply of manufacturers. In this article， analyze the optimal order strategy of vendors under a single-cycle supply uncertainty. A general analytic solution for two type of risks ——multiplicative and addictive is described. We also derive the optimal order qualities under any situations. The order strategy is different from the classics newsvendors’ problem. According to the new strategy retailers can maximize profits and eliminate the negative effect from underage or overage ordering.

Keywords：random supply， order strategy， newsvendors model， stochastic demand

*本文受到國(guó)家自然科學(xué)基金（編號(hào)70872010）和北京市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)“十一五”規(guī)劃項(xiàng)目（07BfJG185）的資助。

1引言

實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中存在著大量存在著此類現(xiàn)象，造成這種情況的原因主要有：（1）產(chǎn)品本身產(chǎn)出是隨機(jī)的。如生鮮農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)，一些化工類產(chǎn)品和電子類產(chǎn)品都會(huì)存在隨機(jī)產(chǎn)出的問題，產(chǎn)出的隨機(jī)性造成了供貨的隨機(jī)性，尤其是農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)，受天氣等因素的影響很大，造成其產(chǎn)量的極大波動(dòng)；（2）產(chǎn)品在運(yùn)輸途中的損失或者發(fā)貨錯(cuò)誤，產(chǎn)品在運(yùn)輸途中出現(xiàn)破損或被偷盜等等情況，都會(huì)導(dǎo)致供貨的不確定。

關(guān)于供貨隨機(jī)的研究國(guó)外國(guó)內(nèi)都比較少見，Karlin（1958）[1]最早進(jìn)行了隨機(jī)產(chǎn)出和隨機(jī)需求的研究，Karlin簡(jiǎn)單的論證了若持貨成本和缺貨成本為他們各自參數(shù)的凸函數(shù)時(shí)，除非有一定的存貨，那么最優(yōu)的策略就是訂貨量為0；Shih（1980）[2]在不合格率為常數(shù)且持有和缺貨成本為線性時(shí)證明存在最優(yōu)訂貨量；Yano和Lee（1995）[3]研究了面對(duì)隨機(jī)需求和隨機(jī)環(huán)境下批量生產(chǎn)計(jì)劃的制定和庫(kù)存的控制問題。Noori和Keller（1986）[4]研究了單周期生產(chǎn)和需求隨機(jī)的庫(kù)存問題，進(jìn)一步研究了產(chǎn)出服從均勻分布且需求服從指數(shù)分布的庫(kù)存問題。Ehrhardt 和Taube（1987）[5]總結(jié)了Shi

的模型并進(jìn)一步擴(kuò)展，將缺貨成本擴(kuò)展為一般式。Gerchak（1988）[6]考慮了具有初始庫(kù)存的隨機(jī)產(chǎn)出問題，他證明了在凈產(chǎn)出與計(jì)劃產(chǎn)出成比例時(shí)，存在最優(yōu)的計(jì)劃產(chǎn)量和最優(yōu)的初始庫(kù)存。Inderfurth（2004）[7]從費(fèi)用最小化的角度研究了隨機(jī)產(chǎn)出和需求的單周期生產(chǎn)和庫(kù)存問題。Keren（2009）[8]分析了隨機(jī)產(chǎn)出但需求固定的單周期庫(kù)存問題，并將之?dāng)U展到供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)研究上。國(guó)內(nèi)關(guān)于隨機(jī)產(chǎn)出的問題研究相對(duì)較少如文曉巍（2009）[9]等在常數(shù)型、線形型和指數(shù)型三種隨機(jī)生產(chǎn)狀態(tài)下易變質(zhì)品的生產(chǎn)特性，得到了EOP模型的總成本函數(shù)，并進(jìn)行了求解。趙霞（2009）[10]等從供應(yīng)鏈的角度研究了在產(chǎn)出和需求擾動(dòng)服從均勻分布的情形下，單個(gè)生產(chǎn)商和零售商的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。吳鵬等（2008）[11]研究了回收再制造企業(yè)在回收數(shù)量不確定的情況下的企業(yè)生產(chǎn)決策問題。

本文完成的主要工作是：（1）以上大部分文獻(xiàn)研究均是以成本最小作為建立模型的目標(biāo)，而實(shí)際上一個(gè)理性的經(jīng)濟(jì)人通常會(huì)以最大化利潤(rùn)作為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的目標(biāo)，為了更貼合實(shí)際，本文從利潤(rùn)最大化的角度研究了銷售商面對(duì)供貨不確定的情況的單周期最優(yōu)訂貨量。并考慮商品在銷售期末進(jìn)行打折銷售所得收益和產(chǎn)品缺貨時(shí)會(huì)給銷售商帶來(lái)潛在的期望收入的損失，包括信譽(yù)等的損失，在此條件假設(shè)下構(gòu)建了新的數(shù)學(xué)模型；（2）在最終到貨為訂購(gòu)量和擾動(dòng)變量加和情形下討論了最優(yōu)訂貨量；（3）分析了最優(yōu)訂貨量與定價(jià)、殘值以及缺貨損失之間的變化關(guān)系，得出本文的訂購(gòu)決策能夠最大可能的避免訂貨商遭受過(guò)量訂貨或者訂貨不足的風(fēng)險(xiǎn)。

本文研究結(jié)果表明，在最終獲得量不確定的情況下，當(dāng)擾動(dòng)變量和市場(chǎng)需求服從均勻分布時(shí)均存在最有訂購(gòu)量使得企業(yè)利潤(rùn)最大化，并且隨著定價(jià)提高，殘值提高以及缺貨損失提高均會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)訂貨量的提高，這與實(shí)際情況是相符的。采用本文的訂購(gòu)策略會(huì)最大可能的降低缺貨或者訂貨過(guò)量帶來(lái)的損失。本文的研究結(jié)果可以用于以下方面：（1）對(duì)于零售商來(lái)說(shuō)，對(duì)于隨機(jī)需求和隨機(jī)產(chǎn)品來(lái)源的情況該模型可作為零售商訂貨的決策模型；（2）對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)說(shuō)，對(duì)于隨機(jī)需求和隨機(jī)產(chǎn)出該模型可作為生產(chǎn)商的生產(chǎn)投入決策模型。

2基本的報(bào)童模型

2.1 模型參數(shù)及假設(shè)

：?jiǎn)挝划a(chǎn)品價(jià)格

：市場(chǎng)需求，為隨機(jī)變量， 為隨機(jī)變量 的期望

：?jiǎn)挝划a(chǎn)品的訂購(gòu)成本

：一個(gè)銷售季節(jié)即將結(jié)束時(shí)，剩余產(chǎn)品的殘值，一般情況下

：缺貨成本，包括缺貨所造成期望收入損失及信譽(yù)的損失等

：計(jì)劃訂購(gòu)數(shù)量，最終獲得數(shù)量由于隨機(jī)性會(huì)與事先制定的預(yù)定的數(shù)量有所不同，為決策變量

：最優(yōu)計(jì)劃訂購(gòu)量量

：產(chǎn)出隨機(jī)因子，代表生產(chǎn)的隨機(jī)性， 為隨機(jī)變量 的期望

：最終收貨為訂貨量與隨機(jī)擾動(dòng) 的加和

：連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)，

：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，

2.2基本模型及求解

基本模型不考慮產(chǎn)出的隨機(jī)性，假定訂購(gòu)量為 ， 不是隨機(jī)變量，則決策單位收益為：

Cachon證明其存在最優(yōu)值，且最優(yōu)值為 。

3最終產(chǎn)量為加法型隨機(jī)供貨下銷售商訂購(gòu)策略

模型中假定最終獲得量為計(jì)劃產(chǎn) 與隨機(jī)擾動(dòng)變量 的和，即最終的產(chǎn)出量為（ ），則在此情況下，銷售商收益為：

命題1 當(dāng) 時(shí)，使得收益期望最大的訂購(gòu)量為 。

證明：對(duì)收益期望函數(shù)求一階導(dǎo) ，根據(jù)假設(shè)易知一階導(dǎo)小于0，因而原函數(shù)為減函數(shù)，即越增大產(chǎn)量，則凈收益越少。根據(jù)實(shí)際情形解釋：這種情況的假設(shè)前提來(lái)看，需求服從 上的均勻分布，也就是說(shuō)需求最大到達(dá) ，不會(huì)超出 ，對(duì)于假設(shè)的前提 ，函數(shù)取得最大值時(shí)，應(yīng)為 取最小值，即當(dāng) 時(shí)，期望收益最大，因而在此情況下，銷售商的最優(yōu)訂貨量為 。

從而，期望收益函數(shù)為上凸函數(shù)，存在極大值點(diǎn)，令一階導(dǎo)數(shù)為零，可得到對(duì)應(yīng)極大收益值的最優(yōu)訂購(gòu)量 。

定理1 當(dāng)訂貨商最終獲得量受隨機(jī)因子的影響呈加法型，且需求，則存在最優(yōu)訂購(gòu)量。

證明：根據(jù)命題3、命題4和命題5，在不同情況下，均存在最優(yōu)訂購(gòu)量，因而總體來(lái)說(shuō)在訂貨商最終獲得量受隨機(jī)因素?cái)_動(dòng)呈加法型條件下，訂貨商存在最優(yōu)訂貨量。

3.2 參數(shù)分析

以下研究參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)量以及最大期望收益的影響。

關(guān)于參數(shù)與 之間的關(guān)系，有以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）當(dāng)定價(jià) 、殘值 和缺貨損失 的增大時(shí)，相應(yīng)增大。在實(shí)際情況中，當(dāng)價(jià)格升高，殘值增大，缺貨懲罰增大時(shí)，銷售商顯然會(huì)提高訂購(gòu)量以增加利益，降低懲罰風(fēng)險(xiǎn)，因而所求結(jié)果與實(shí)際情況相符。（2）當(dāng)隨機(jī)變量 的均值增大時(shí)， 相應(yīng)增大。實(shí)際情況中， 的均值增大相當(dāng)于需求增大，則銷售商會(huì)增大訂購(gòu)量來(lái)滿足需求。

4結(jié)語(yǔ)

綜上所述可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：1當(dāng)處于不確定供貨和隨機(jī)需求的環(huán)境下，且擾動(dòng)隨機(jī)變量 、需求 時(shí)，對(duì)于銷售商而言，總存在著能夠使利潤(rùn)最大的最優(yōu)訂購(gòu)數(shù)量；2從各種情況結(jié)果可以得出，隨著定價(jià) 、殘值 和缺貨損失 的提高，都會(huì)使相應(yīng)增大。當(dāng)銷售商遭遇價(jià)格升高，殘值增大，缺貨懲罰增大時(shí)，都會(huì)提高訂購(gòu)量以增加利益，降低懲罰風(fēng)險(xiǎn)，因而所求結(jié)果與實(shí)際情況相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)果的正確性；

3傳統(tǒng)報(bào)童模型最優(yōu)訂購(gòu)量為 ，為了方便對(duì)比，求出其需求服從均勻分布下的解析式。當(dāng) 時(shí)，傳統(tǒng)報(bào)童模型最優(yōu)訂購(gòu)量為 ，顯然與考慮了供貨不確定的結(jié)果具有一定的差異。因而對(duì)于銷售商來(lái)說(shuō)，考慮了供貨不確定的因素，準(zhǔn)確的估計(jì)訂購(gòu)量能夠使得期望利潤(rùn)最大并降低未來(lái)遭遇到的風(fēng)險(xiǎn)。

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[12] Cachon GP. Supply chain coordination with contracts. Handbook in operations research and management science， volume 11. Amsterdam: Elsevier BV， 2003

作者簡(jiǎn)介：

程蕾（1980-）女，山西人。北京科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院博士生。研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理。

王道平（1964-），男，北京人，北京科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：管理信息系統(tǒng)，物流與供應(yīng)鏈管理。

李鋒（1979-），女，湖南人。北京科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院博士生。研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理。