質點的新動能定理應用研究

摘 要:質點的新動能定理克服了經典動能定理不能反映非保守力作耗散功、非保守反作用力也同時作等值的耗散功、都將系統機械能轉換為受力體的其他形式的能量的缺陷。解讀新動能定理含義及意義，闡述新功能理論對機械功定義的繼承與創新，以解答案例探討新動能定理用法，牽連功的算法，耗散功的算法，服務理論研究和生產實踐。

關鍵詞:解讀新動能定理機械功定義的繼承機械功定義的創新新動能定理的意義牽連功的算法耗散功的算法

中圖分類號:O316 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2011)03(c)-0012-03

1 序言

質點的新動能定理[1]表述為:在質點運動過程中，作用在質點上的保守外力作的總功(微元)、非保守外力作的牽連總功(微元)、非保守外力作的耗散總功(微元)有效值、非保守反作用外力作的耗散總功(微元)有效值之合，等于質點動能的增加量(微元)。公式表示為:

微分式為:dAF+dAf牽+dAf耗散+dAf耗散反=dEK (1)

積分式為:AF+Af牽+Af耗散+Af耗散反=EK-EK0(2)

1.1 質點的新動能定理

(2)式中:在討論對象——質量為m0的質點運動過程中，與質量分別為mi(i=1，2，3…n)的n個質點有相互作用，t時刻的dt時間里:

保守外力對質點m0作的微元總功:dAF=AFi=(F0i·dr0)，繼承了功的傳統定義;

非保守外力對質點m0作的牽連微元總功:dAf牽=Afi=(f0i·dri)

非保守外力對質點m0作的耗散功有效值微元總功:dAf耗散=Afoi=(foi·droi)

非保守反作用力對施力質點作的耗散功有效值微元總功:dAf耗散反=Afio=(fio·drio)

上列功的表達式中:

后三式是新功能理論對功的新定義;

dr0是質點m0相對已經選定的慣性參考系的絕對位移微元;

dri是質點mi相對已經選定的慣性參考系的牽連位移微元;

droi是質點m0相對質點mi的相對位移微元，drio是質點mi相對質點m0的相對位移微元，且droi=-drio;

foi是質點m0受到質點mi的非保守作用力，fio是質點mi受到質點m0的非保守作用力，且foi=-fio;

力foi的牽連微元功f0i·dri，是施力質點mi的牽連位移微元與所施力的點積。

1.2 質點新動能定理的進步意義

質點的新動能定理與經典動能定理[2]A合外力=EK-EK0(3)相對比，其進步意義在于:①力作的機械功是機械能轉移、轉換的量度，非保守力對質點作的耗散總功有效值微元dAf耗散、非保守反作用力對施力質點作的耗散總功有效值微元dAf耗散反具有同時關聯性、等值性[3]，并且不大于零，說明機械能既轉換為受力質點的非機械能，又轉換為施力質點的非機械能，使理論能夠正確反映實踐;②使經典動能定理對單質點運動功能關系的封閉式表達被沖破，還自然規律的本來面目;③經典動能定理(3)式由牛頓定律推導得出，不能正確地反映、預言非保守力及其非保守反作用力作耗散功的規律，說明經典功能關系不完備，促使非保守力作耗散功、牽連功的定義的誕生和包括質點新動能定理的新功能理論的誕生;④非保守力對質點作的非耗散功由非保守外力作的牽連總功Af牽與Af耗散+Af耗散反的代數和共同決定，體現了非保守力作功的雙重性[4]。

對于新動能定理的應用，需要進行探索、研究。

2 新動能定理應用研究

例1:某年落于地球的某隕石質量為39kg。落下時，此隕石深入泥土L=1.875m。實驗證明，該隕石落下地點的泥土給陷入其內的物體的阻力f=50T力。問該隕石到達地面時的速度多大？[5]

解:運用質點的新動能定理求解，選地面為參考系，隕石為研究對象。

隕石陷入泥土運動過程中受力:重力mg，阻力f。其反作用力是地面受力:Fg’，f’。

計算隕石陷入泥土運動過程中受力的功:

保守力mg、Fg’的總功:AF=mgL (4)

耗散力的功:(5)

在此，牽連功是地面對隕石的非保守力f點積地面相對已經選定慣性參照系位移微元(牽連位移微元)在隕石運動全程的積分，本題的施力體地面與已經選定慣性參照系(地球)同體，牽連位移dr1≡0。

耗散功的有效值:

(6)

α為隕石陷入泥土運動方向與垂直向下方向間的夾角。

隕石陷入泥土過程中f’對泥土作耗散功的有效值:

由關于系統功能原理推論的證明與推廣[6]知:

Af耗散反=Af耗散=(7)

本題中，非保守力只作了耗散功，沒有作牽連功，反映了非保守力作耗散功的一面。

將(4)～(7)式及未知量代入質點的新動能定理(2)式得:

從此式可以看出，系統損失的機械能有一半轉換為隕石的內能等，另一半轉換為泥土的內能等。將隕石陷入泥土過程中末態v=0代入上式解得:

答:隕石到達地面時的速度值不小于217m/s。

例2:[2]如圖1示意，一個斜面長5m，頂端高為3m。用一平行于斜面的力F，將質量為10kg的物體，從斜面下端勻速推至上端。如果物體與斜面間的摩擦系數為0.3，平行于斜面的力F必須作多少功？滑動摩擦力作了多少耗散功？

解:運用質點的新動能定理求解，以運動物體為研究對象。

物體作勻速直線運動(平動)，可以看作質點。以斜面(地球)為參考系，建立直角坐標系。先求未知力。

質點受力:重力mg，斜面支撐力N，推力F，滑動摩擦力f。它們的反作用是斜面(地球)受力，依次為Fg’，N’，f’。

要使質點勻速運動，則F合=0，即

解得:

再求作用在質點上的力的功。

保守力的功:

重力mg、Fg’的總功:Ag=-3mg=-294J(10)

非保守力的功:

推力F的功按非保守力的非耗散功計算:指接觸質點之間無相對位移(耗散功AF耗散1=AF耗散反1=0)，以靜摩擦力相互作用，施力點與受力點同步運動，使施力點牽連位移與受力點的絕對位移相等:dr1=dr0→，即在非保守力不作耗散功的情況下，其作的非耗散功屬于質點的新動能定理(2)式的牽連功項。這反映了非保守力作非耗散功的特性。

支撐力N不作功;

作用在質點上的非保守力f的牽連功:

在此，施力體斜面相對參考系無位移(牽連位移)，dr2≡0。

將滑動摩擦力f對質點作的耗散功有效值Af耗散2及其反作用力f’對斜面作的耗散功有效值Af耗散反2作為未知量。

非保守外力總牽連功:

Af牽=AF牽1+Af牽2=411.6J (11)

非保守外力總耗散功有效值

Af耗散=Af耗散1+Af耗散2=Af耗散2(12)

非保守反作用力作的總耗散功有效值:

Af耗散反=Af耗散反1+Af耗散反2=Af耗散反2(13)

將(10)～(13)式及未知量代入質點的新動能定理(2)式得:

-294+411.6+Af耗散2+Af耗散反2=EK- EK0

質點作勻速運動，EK-EK0=0;由關于系統功能原理推論的證明與推廣[5]知:

Af耗散2=Af耗散反2代入上式解得:

Af耗散2=Af耗散反2=-58.8J

結果說明，推力作功411.6J，其中有294J轉化為相互作用系統的勢能增量;轉換為質點、斜面內能的各有58.8J，相互摩擦的質點、斜面內能都增加了，而非經典動能定理所描述的質點內能增加了117.6J的結論。

解法2:依據耗散功有效值的定義，先求出Af耗散、Af耗散反和Af牽，并算出重力的功，代入質點的新動能定理(2)式，再解出推力的功。

……。

答、……。

例3:如圖2示意，一質量為2.0kg的質點，由A點沿圓周軌道自靜止開始下滑，到達B點時的速率為4.0m/s。AB之間的軌道是半徑為1.5m的圓周四分之一。自B點以后，質點又沿水平方向在桌面上向前滑行3.0m，因滑動摩擦阻力而停止于C點。求(a)質點自A點滑到B點的路程中，摩擦阻力作的功？(b)水平面與質點間的滑動摩擦系數是多大？(c)若圓弧軌道部分是光滑的，質點到D點時的速度、加速度、對軌道的壓力？

解:運用質點的新動能定理求解。以支撐面(地球)為參考系，質點為研究對象。首先進行受力分析:

質點受力:重力mg，斜面支撐力N，滑動摩擦力f。它們的反作用是支撐面(與地球一體)受力，依次為Fg’，N’，f’。

再求作用在質點上的力的功。

(a)質點自A點滑到B點的過程中保守力的功:

重力mg、Fg’的總功:

Ag=mgR=29.4J(14)

非保守力的功:

支撐力N作功為零;

作用在質點上的非保守力f的牽連功:

(15)

本題的施力體斜面與已經選定慣性參照系同體，牽連位移dr1≡0。

將滑動摩擦力f對質點作的耗散功有效值Af耗散及其反作用力f’對支撐面作的耗散功有效值Af耗散反作為未知量。

將(14)、(15)式及未知量代入質點的新動能定理(2)式得:

29.4+0+Af耗散+Af耗散反=EK-EK0 (16)

而，Af耗散=Af耗散反代入(16)式解得:

Af耗散=Af耗散反=-6.7J(17)

滑動摩擦力f對質點作的耗散功有效值、其反作用力f’對支撐面作的耗散功有效值各為-6.7J，即質點、支撐面的內能增量各為6.7J。

(b)質點自B點滑到C點的過程中保守力mg對質點作的功:

Ag=0 (18)

非保守力對質點作的功:AN=0 (19)

滑動摩擦力f的牽連功仍為零，見(5)式;

=-29.4μ (20)

(21)

將(15)、(18)～(21)代入質點的新動能定理(2)式得:

-29.4μ-29.4μ=-16

解得:μ=0.27

(c)圓弧軌道光滑，質點從A點運動到D點過程中受力:mg、N。

保守力對質點作功:Ag=mgR sinθ (22)

非保守力對質點作功:AN=0 (23)

摩擦力f=0→Af牽=0，Af耗散=Af耗散反=0 (24)

EKD-EKA= (25)

將(22)～(25)代入質點的新動能定理(2)式得:

mgR sinθ=

解得:VD==3.83eτm/s(26)

由牛頓第二定律得:

解得:N=m(g sinθ+ an) en=14.7 en N

由牛頓第三定律知，軌道受到正壓力N’=-N=-14.7 en N

an=9.8m/s2， aτ=m/s2→

為與t之間夾解。

答:……。

例4：如圖3示意，A物體的質量為m，由一根跨過定滑輪的不可伸長的輕繩與B物體連接，B物體沿x軸負方向(A物體朝x軸正方向)作勻速直線運動，A與B之間的滑動摩擦系數為μ。求A物體朝x軸正方向運動s距離非保守力作的功。

解:用質點的新動能定理解答。以支撐面(地面)為參考系，A質點為研究對象。

A質點受的力:mg，T，N，f。

它們的反作用力依次是:A質點對地球的重力Fg’、對輕繩的拉力T’、對B質點的壓力N’和摩擦力f’。

A、B質點作勻速直線運動，對A質點列出牛頓第二定律方程:

解得:N=mg，T=f=μmg

在A質點朝x軸正方向運動s距離過程中，力對A質點作的功:

保守力的功:Ag=0 (27)

非保守力f的牽連功:

(28)

式中，施力質點B相應的牽連運動始、末x坐標是xB0、xB0-s，B質點牽連位移為△x=-s。

非保守力f的耗散功有效值:

(29)

式中，質點A相對質點B的相對位移為△x’=( xA0’+2s)- xA0’=2s，x’是質點A在運動參考系S1’(質點B)中的坐標值。

非保守力f’對質點B作的耗散功有效值:

(30)

拉力T作非耗散功:

即

將拉力T作的牽連功(非耗散功):AT牽2=AT作為未知量。

非保守力對A質點作的總牽連功:

Af牽=Af牽1+AT牽2=μmgs+AT牽2(31)

非保守力對A質點作的總耗散功有效值:

Af耗散=Af耗散1+AT耗散2=-μmgs (32)

非保守反作用力作的總耗散功有效值:

Af耗散反=Af耗散反1+AT耗散反2=-μmgs(33)

將(27)、(31)～(33)式代入質點的新動能定理(2)式得:

μmgs+AT牽2-μmgs-μmgs=EK-EK0

A質點作勻速運動，使EK-EK0=0，代入上式解得:AT牽2=μmgs

答:……。

3 結語

從上列應用探討過程可以看出，質點的新動能定理(2)式能夠反映機械能轉移、轉換的實際情況，也必然能夠正確的指導實踐。用質點的新動能定理(2)式解題一般步驟是:

①選定研究對象、慣性參考系;②建立適當的坐標系;③分析研究對象受力及其反作用力;④列出研究對象受力的牛頓第二定律方程并求解;⑤按照保守力的功、非保守力的功的定義，求出已知力對研究對象在運動全程作的總功、非保守反作用力對施力體作的總耗散功有效值;對研究對象只作非耗散功的力，其作的非耗散功按牽連功計算;⑥將已知量、未知量代入質點的新動能定理(2)式，求解出未知量。

參考文獻

[1]楊勇.新功能理論研究[J].教師教育科學，2010，5:9～11.

[2]趙景員，王淑賢，力學[M].北京:人民教育出版社，1980:239～246.

[3]楊勇.論對系統功能原理的推論[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，2002，30:24～26.

[4]楊勇.作用力作功、反作用力也作功:制造業自動化，2009，12:126～128.

[5]上海師范大學、復旦大學物理系編.物理學(力學)[M].上海:上海科學技術出版社，1978:530～537.

[6]楊勇.關于系統功能原理推論的證明與推廣[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，2005，33:12～15，292.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文