淺談高考中常見的一類平面向量問題

摘要：向量作為一門兼具代數與幾何特征的數學分支，在解決代數、幾何問題中有廣泛的應用，通過構造適當的向量模型往往能使問題迎刃而解。同時，在解決向量問題時，也可以采取較多的方法，如三角法、解析法、特殊值法及幾何法等。

關鍵詞：平面向量 特殊值 幾何問題

平面向量是高中數學階段的一種重要數學工具，由于向量具有數與形的雙重意義，從而不但在平面向量自身體系有較強的運算工具性，也讓平面向量在解決函數、三角、解析幾何等數學問題中有用武之地。平面向量的數量積是歷年高考“經久不衰”的重點、難點和熱點。對于本部分的命題大多超凡脫俗、新穎別致、頗具思考性和挑戰性。下面由天津高考題中的平面向量的數量積問題進行探究，揭示解題方法。

解析：本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎知識、向量運算及三點共線知識，屬于難題。

說明：天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應加強平面向量的基本運算的訓練，尤其是與三角形綜合的問題。

在教學的過程中發現學生還會使用以下幾種方法解決此類問題：

說明：利用向量的幾何意義轉化向量的基本運算：向量本身具有“形”的特性，我們可以利用向量的運算規律將一些難以解決的問題轉化為平面幾何中“形”的問題來解決，此類問題多與三角形、平行四邊形等平面圖形中的計算推理問題相聯系。

向量作為一門兼具代數與幾何特征的數學分支，在解決代數、幾何問題中有廣泛的應用，通過構造適當的向量模型往往能使問題迎刃而解;同時，在解決向量問題時，也可以采取較多的方法，如三角法、解析法、特殊值法及幾何法等問題。

通過對天津高考題一題多解的分析，下面我們進一步通過幾個典型例題進行鞏固，從而掌握解決此類題目的方法和技巧。

解析：本題主要考查平面向量基本定理的應用，屬于中等題。可以選擇以下方法解決：

方法一：利用平面向量基本定理選取一組基底求解此題

說明：本題也可選擇其他基底去解決，條件是解題的依據，結論是解題的方向，充分利用好已知條件。

方法二：特殊化解決（取特殊的三角形建立坐標系）

說明：在以一般形式給出的向量問題中，通過建立平面直角坐標系就可以把一般形式的向量用坐標表示出來，實現向量之間運算的完全數量化，就可以用代數方法去解決向量問題，要樹立起建立坐標系解決向量問題的思想意識。

說明：在一般形式給出的向量問題中，通過建立平面直角坐標系就把一般形式的向量用坐標表示出來，實現向量之間運算的完全數量化，就可以用代數方法去解決向量問題，要樹立起建立坐標系解決向量問題的思想意識。

說明：本題主要考察平面向量的加法運算及共線向量的關系。

在2011年的高考題中也出現了向量的此類問題，下面通過2011年山東高考題的12題分析一下平面向量共線定理及其應用。

近幾年來，平面向量成為高考考查的重點，分值逐年增加。向量作為一種工具可以與眾多數學分支交匯考查，一般是與函數、三角、解析幾何等交匯，在處理這些交匯問題時，我們要正確運用向量工具的計算特征，解決好相關的交匯考題?？疾榈刂攸c，一方面，是平面向量的基本概念及基本運算能力；另一方面，平面向量的坐標運算和平面向量的數量積的概念、性質及運算律也是考查的重點。向量是一個有“形”的幾何量，因此，在研究與向量相關的問題時，一定要結合圖形進行分析、判斷和求解，這是研究平面向量問題的重要方法和技巧。