淺析三角形兩條角平分線的夾角與其第三個內角的關系
2011-12-31 00:00:00廖小芳
中學教學參考·理科版 2011年8期
根據三角形兩條角平分線的位置不同，三角形的兩條角平分線的夾角與其第三個內角的關系要分三種情況，下面分別說明這三種情況的不同結論.
一、三角形的兩條內角平分線的夾角與其第三個內角的關系
如圖1，三角形ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB ，那么∠D和∠A有什么關系？
圖1
分析：如圖1，
根據角平分線的定義和三角形的內角和定理可得：
∵∠DBC= 12∠ABC ，∠DCB=12 ∠ACB，
所以 ∠DBC+ ∠DCB =12 (∠ABC＋∠ACB).
∴在△DBC中，∠D =180°－ (∠DBC＋ ∠DCB)
=180°－ 12(∠ABC＋∠ACB).
而∠ABC＋∠ACB =180°－ ∠A，
所以∠D =180°－ 12（180°－∠A）
=180°－90°＋12∠A
=90°＋ 12 ∠A，
即∠D=90°＋12 ∠A.①
這就是說，三角形的任意兩條內角平分線的夾角等于90°與其第三個內角的一半的和.
利用公式①，已知∠D和∠A兩個條件中的任何一個，就可以求另一個.
例如：(1)在上述條件的圖1中，如果已知∠D=120°，那么就可以利用公式①求出∠A=60°.
(2)已知△ABC的內心是點I，∠A=80°，求∠BIC的度數.
分析：三角形的內心是指三角形的三條內角平分線的交點，所以∠BIC屬于兩條內角平分線的夾角，因此可以利用上述公式①把∠A=80°代入，得
∠BIC=90°+12×80°=130°.
二、三角形的一條內角平分線和一條外角平分線的夾角與其第三個內角的關系
圖2
如圖2，三角形ABC中，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，那么∠D和∠A有什么關系？
分析：如圖2，
根據角平分線的定義和三角形外角的性質可得：
因為 ∠DCE=12 ∠ACE， ∠DBC=12 ∠ABC ，
所以∠DCE－∠DBC=12 （∠ACE－∠ABC）.
而∠D=∠DCE－∠DBC，
∠A=∠ACE－∠ABC，
所以∠D=12∠A.②
這就是說，三角形的任意一條內角平分線與一條外角平分線的夾角等于其第三個內角的一半.
利用公式②，已知∠D和∠A兩個條件中的任何一個，就可以求另一個.
例如：在上述條件的圖2中，如果已知∠A=80°，那么就可以利用公式②求出∠D=40°.
三、三角形的兩條外角平分線的夾角與其第三個內角的關系
圖3
如圖3，三角形ABC中，∠CBE和∠BCF是△ABC的兩個外角，BD平分∠CBE ，CD平分∠BCF，那么∠D和∠A有什么關系？
分析：如圖3，
根據三角形的外角的性質和角平分線的定義以及三角形內角和定理可得：
因為∠CBE=∠A＋∠ACB，
∠BCF=∠A＋∠ABC，
所以∠CBE＋∠BCF=∠A＋（∠A＋∠ACB＋∠ABC）=∠A＋180°.
又因為∠DBC=12∠CBE，∠DCB=12∠BCF，
所以 ∠DBC＋∠DCB= 12（∠CBE＋∠BCF）
=12(∠A＋180°)
= 12∠A＋90°.
所以在△BCD中，∠D=180°－（∠DBC＋∠DCB）
=180°－（12∠A＋90°）
=90°－12∠A，
即 ∠D=90°－12∠A.③
這就是說，三角形的任意兩條外角平分線的夾角等于90°與其第三個內角的一半的差.
利用公式③，已知∠D和∠A兩個條件中的任何一個，就可以求另一個.
例如：在上述條件的圖3中，如果已知∠A=70°，那么就可以利用公式③求出∠D=55°.
綜上所述，根據三角形的兩條角平分線的位置不同，三角形的兩條角平分線的夾角與其第三個內角的關系有以下三種情況：三角形的任意兩條內角平分線的夾角等于90°與其第三個內角的一半的和；三角形的任意一條內角平分線與一條外角平分線的夾角等于其第三個內角的一半；三角形的任意兩條外角平分線的夾角等于90°與其第三個內角的一半的差.在應用這些關系解決問題時，若能根據題目的已知條件，選擇正確的關系式，就能快速地解決問題了.
(責任編輯金鈴）
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