《均值不等式引入》的教學與反思
2011-12-31 00:00:00付甫瓊李青林運來
中學教學參考·理科版 2011年8期
在由教育部、東芝（中國）有限公司主辦，全國四十所師范大學參加的第3屆“東芝杯中國師范大學師范專業理科生教學技能創新大賽”中，課題組李青以不等臂天平稱重問題引入均值不等式的教學，最終獲大賽優秀獎.
一、教學過程
1. 創設問題情境，提出猜想
（問題情境）一位同學在做實驗稱量物體質量時拿到一架兩臂長略有不同的天平.
問題一 ：試問這架天平能否稱出物體實際質量？
問題二：該同學將物體放在天平左、右兩端，分別稱得質量為50克，30克，由此猜想物體質量是m猜=50+302克，這個猜想對嗎？為什么？
A學生：對.因為兩次稱量都有誤差，把結果求平均以后減小了誤差，所以我認為這個結果應該是正確的.
教師：很好，同學的判斷有自己的理由，到底對不對呢?如果能準確求出物體質量進行比較，那么問題也就迎刃而解了.
2．探究問題本源，發現真值
教師：同學們，天平的制作運用了物理學的什么原理？
學生：杠桿原理.
老師：很好，杠桿原理就是指作用在杠桿兩端力的大小跟力臂成反比，即動力×動力臂=阻力×阻力臂.
師生共同探討，得出如下的解答：
設天平左右兩臂長分別為L1和L2，根據杠桿原理及兩次稱量結果，我們可以得出下面的兩個等式：
m#8226;g#8226;L1=50g#8226;L2，
30g#8226;L1=m#8226;g#8226;L2，
解得m=50×30克.
教師：大家比較一下，剛才那位同學的猜測對嗎？m與m猜哪一個大？
學生：m大于m猜.
3．歸納比較數據，合情推理
教師：現在我們把這個問題一般化，如果兩次稱量結果分別為a克和b克，同學猜測的質量就為a+b2克，而推導得出真實質量就為ab克.那么a+b2與ab又會有怎樣的大小關系呢？我們可以取特殊值代入兩式進行初步的判斷.請同學們完成下表：
aba+b2aba+b2與ab的大小關系
觀察、歸納出自己的猜想（a+b2與ab有怎樣的大小關系？）
教師：你得到的a+b2與ab與大小關系是什么？
學生1：大于.
學生2：大于或者等于.
學生3：大于.
教師：看來大家的結果都集中在大于或者大于等于上，請問第2個同學，等于時，你取的a、b分別等于多少呢？
學生2：都等于1.
教師：大家通過數據比較，歸納出了a+b2≥ab，這個結論是通過用特殊值歸納得出的，它是否對取a、b所有正實數都成立呢？我們不可能舉出所有正實數一一驗證，因此，還需要進行嚴格的證明.
4．演繹證明命題，返璞歸真
教師引導學生利用比較法證明a+b2≥ab，并指出它就是要學習的均值不等式.
教師：這里大于等于有兩層含義，大于或者等于，等號什么時候可以取到？請大家觀察證明過程.
學生：當a=b時.
教師：很好，當a=b時，取到等號，那反過來，如果取等號，a、b一定相等嗎？
學生：相等.
教師：所以，我們就說當且僅當a=b時，取到等號.其中，對于正數a、b，稱a+b2為a、b的算術平均數，ab為a、b的幾何平均數.
5．總結反思拓展，再探新知
教師：我們運用比較法證明了均值不等式，請同學們思考下面的問題：
（1） 根據下圖，你能給出均值不等式的幾何解釋嗎？
（2）你能否用更多的方法證明均值不等式?
（3）能否將均值不等式推廣到3個正數的情形？n個正數呢？
（設計意圖：采用分層問題，使學生了解均值不等式的幾何解釋，體現 “數形結合”思想，并探究均值不等式的多種證明方法及推廣.）
二、教學設計反思
對比不同版本的教科書，關于均值不等式這一內容，都越來越注重展現知識的發生過程.從現行人教版《數學》教材來看，僅僅從完全平方公式直接推導出均值不等式；而新課標人教A版教材從幾何的角度引導學生發現不等式；新課標人教B版教材直接給出均值不等式及證明；蘇教版教材從學生實驗出發，由不等臂天平稱量物體質量問題展開，讓學生經歷猜想、歸納、證明等過程探索均值不等式.從知識的獲得來看，學生都了解了均值不等式及其證明過程，但是從培養學生思維能力方面來看，從幾何角度，或者從實驗情境引入均值不等式更能培養和提高學生的數學思維能力.
《普通高中數學課程標準》指出，要倡導積極主動、勇于探索的學習方式.在此案例的教學中，教師通過引導學生自主探索、合作交流讓學生的學習過程成為“再創造”的過程，同時，通過實驗情境，讓學生感受均值不等式的發現過程，激發他們的學習興趣，發展他們的創新意識和應用意識.
當然，縱觀整個教學設計，也有一些不盡如人意之處.就創設的情境來看，有物理老師指出，由天平的制作決定了左物右砝的稱量原則，而在推導真實質量的過程中，右物左砝的稱量過程，會不會讓學生產生疑問？會不會有失嚴謹？這就涉及關于創設情境的問題.如何創設適合教學內容的有效的問題情境是個值得思考、探索的問題.
【基金項目】本文系全國教育科學“十一五”規劃2010年度單位資助教育部規劃課題《新課程改革下課堂有效教學研究》（FFB108036）的部分成果.
(責任編輯金鈴）
