三角形中“四心”的向量式

一、內(nèi)心的向量式

1．若點(diǎn)O和點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足OP=OA+

λ(AB｜AB｜

+AC｜AC｜)

(其中λ∈［0，+∞))，

則點(diǎn)P的軌跡過(guò)△ABC的內(nèi)心.

2．已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若aOA+bOB+cOC=0

，則O點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心 （其中a，b，c是△ABC的對(duì)應(yīng)邊）. 

二、重心的向量式

1． 若點(diǎn)O和點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足

OP=

OA+λ(

AB+AC）

(其中λ∈［0，+∞))，

則點(diǎn)P的軌跡過(guò)△ABC的重心.

2．若點(diǎn)G為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足GA+GB+GC＝0

，則點(diǎn)G為△ABC的重心.

3. 若點(diǎn)G為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OG=OA+OB+OC3

，則點(diǎn)G為△ABC的重心.

4.若點(diǎn)O和點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足OP=

OA+λ(AB｜AB｜sinB+AC｜AC｜sinC)(其中λ∈［0，+∞)

，則點(diǎn)P的軌跡過(guò)△ABC的重心.

三、垂心的向量式

1. 若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA#8226;OB=OB#8226;OC=OC#8226;OA

，則點(diǎn)O為△ABC的垂心.

2.若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，則點(diǎn)O為 △ABC的垂心.

3．若點(diǎn)O和點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足OP=OA+λ(AB｜AB｜cosB+

AC｜AC｜cosC

)

(其中λ∈［0，+∞)）

，則點(diǎn)P的軌跡過(guò) △ABC的垂心.

四、外心的向量式

1.若點(diǎn)O為 △ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足（OA+OB）#8226;BA＝（OB+OC）#8226;CB＝（OC+OA）#8226;AC

，則點(diǎn)O為 △ABC的外心.（充要條件：｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜）

2.若點(diǎn)O和點(diǎn)P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，OP＝OA+OB2+λ(AB｜AB｜cosB+AC｜AC｜cosC)(其中λ∈R）

，P的軌跡過(guò)△ABC的外心.

五、四心的向量式的高考運(yùn)用

1．已知G是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若AG+BG+CG=0

， 則點(diǎn)G是△ABC的().

A. 外心B. 內(nèi)心 C. 重心D. 垂心

2．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，G為△ABC的重心，且aGA+bGB+cGC=0

， 則△ABC為( ).

A. 等腰直角三角形B. 直角三角形

C. 等腰三角形 D. 等邊三角形

3．若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA#8226;(

AB｜AB｜

+CB｜CB｜)

＝OB#8226;(BA|BA|+CB|CB|)

＝

OC#8226;(

CB｜CB｜+AC｜AC｜）＝0

，則點(diǎn)O是△ABC的( ).

A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心D. 外心

4．已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若 PO＝aPA+bPB+cPCa+b+c

(其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，則點(diǎn)O是△ABC的( ).

A. 外心B. 內(nèi)心C. 重心 D. 垂心

5.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(OA+OB)#8226;AB=(OB+OC)#8226;BC=(OC+OA)#8226;OA=0

，則點(diǎn)O是△ABC的( ).

A. 外心B. 內(nèi)心C. 重心 D. 垂心

6．已知△ABC和點(diǎn)M滿足MA+MB+MC=0

.若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC=mAM

成立，則m=（）.

A.2B.3C.4D.5

7.已知O、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且｜OA｜=｜OB｜=｜OC｜

，NA+NB+NC=0，且PA#8226;PB=PB#8226;PC=PC#8226;PA，則點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的().

A.重心 外心 垂心B.重心 外心 內(nèi)心

C.外心 重心 垂心D.外心 重心 內(nèi)心

以上幾個(gè)結(jié)論及例子不僅給大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加減法應(yīng)用的很好典例.

在向量教學(xué)時(shí)，與三角形的“四心”有關(guān)的向量問(wèn)題是一類具有相當(dāng)深度和難度的重要題型，三角形“四心”向量性質(zhì)及其應(yīng)用，由于常規(guī)視角的轉(zhuǎn)變，形成了新的探索途徑，要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，用向量的觀點(diǎn)研究以往教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量解決問(wèn)題的意識(shí).

(責(zé)任編輯金鈴）

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