斜面滑塊模型支持力與摩擦力的分析

一、摩擦角與全反力

圖1

如圖1，物塊m與地面之間的動摩擦因數為μ，令u=tanφ，這個φ角就稱為摩擦角。認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，那么地面對物體的支持力N與摩擦力f的合力F與接觸面法線的夾角α≤φ。當物塊不能滑動α≤φ時，當物塊發生滑動α=φ時，無論何種情況下α都不會超過φ。物塊對地面的壓力與摩擦力的合力F′與F等大反向，叫做力F的全反力。

二、斜面靜止而滑塊滑動

斜面和滑塊都保持靜止的情況較為簡單，無論滑塊有無受到外界作用的推力，只要根據平衡條件采用整體法、隔離法，結合正交分解法就可以解決。

圖2

如圖2，接觸面均粗糙，現討論滑塊m以一定的初速度沿傾角為θ的斜面體M向下滑動而斜面體保持靜止的各種情況。無論m是否受到外界的推力，只要兩者之間有擠壓，m對M都會有沿斜面法線向下的壓力和沿斜面切線向下的滑動摩擦力，這兩個力的合力就是全反力F′。F′的方向有圖2中①②③三種可能，圖2中虛線為斜面的法線。因為斜面體M受到的重力、地面的支持力都沿豎直方向，所以通過F′的水平分量就能根據平衡條件判斷出地面對靜止斜面體的摩擦力方向。若全反力F′豎直向下，則地面對M的摩擦力為0，如圖2-①所示，此時φ＝θ。若F′斜向左下，則地面對Μ的摩擦力水平向右，如圖2-②所示，此時φ＜θ。若F′斜向右下，則地面對Μ的摩擦力水平向左，如圖2-③所示，此時φ＞θ。只要兩者之間有擠壓，以上結論與m所受外界推力的有無、大小、方向均無關。

如圖2，滑塊m向下滑動時，a、b、c、d、e、f對應的外界推力六種不同的方向會影響斜面對滑塊的支持力大小。設外界推力為F0，當F0沿平行于斜面的方向時，斜面對滑塊的支持力大小為mgcosθ，如a、d；當F0沿c、f方向時，斜面對滑塊的支持力小于mgcosθ；當F0沿b、e方向時，斜面對滑塊的支持力大于mgcosθ。斜面對滑塊相應的滑動摩擦力大小也跟著變化。所以，滑塊m向下滑動時外界推力F0的大小和方向不影響全反力F′的方向，但影響全反力F′的大小，進而影響地面對靜止的斜面體M的支持力和靜摩擦力的大小。

圖3

【例1】 一個滑塊m恰能沿靜止的斜面體M勻速下滑，若沿圖3所示方向用力F0推滑塊，使滑塊減速下滑。在滑塊減速下滑的過程中，斜面體受地面的摩擦力 （填“向左”、“向右” 或“為0”），與原來相比較，地面對靜止斜面體的支持力 。（填“變大”或“變小” ）

解析：因為原來滑塊m恰能沿著靜止的斜面體M勻速下滑，所以滑塊對斜面體的全反力F′豎直向下，與是否有F0的作用無關，屬于圖2-①情形，此時φ=θ，則后來斜面體受地面的摩擦力仍為0。推力F0屬于圖2-b情形，斜面對滑塊的支持力變大、滑動摩擦力變大。因此斜面體受到的全反力增大，故地面對斜面體的支持力變大。

答案：為0；變大。

圖4

【例2】 傾角可調節的斜面上放置一滑塊，當傾角為37°時滑塊恰處于靜止狀態，現減小斜面傾角至θ＝３０°后將斜面固定，如圖4所示。后來在滑塊上作用一個圖示推力F0后，滑塊向下加速，但斜面體仍靜止，則滑塊運動過程中斜面體受地面的摩擦力 。（填“向左”、“向右” 或“為0”）

解析：因為原來滑塊恰好靜止，所以滑塊與斜面間的動摩擦因數μ＝tan37°，即φ=37°＞θ。所以后來滑塊對斜面體的全反力F′的方向與圖2-③情形相同，斜面體受地面的摩擦力水平向左。

答案：向左。 

圖5

【例3】 如圖5， 斜劈A靜止放置在水平地面上。物體在外力F1和F2的共同作用下沿斜劈表面向下運動。當方向水平向左，F2方向沿斜劈的表面向下時斜劈受到地面的摩擦力方向向右。下列說法中正確的是（）。

A.若同時撤去F1和F2，物體B的加速度方向一定沿斜面向下

B.若只撤去F1，在物體B仍向下運動的過程中，A所受地面摩擦力可能向左

C.若只撤去F2，在物體B仍向下運動的過程中，A所受地面摩擦力可能向左

D.若只撤去F2，在物體B仍向下運動的過程中，A所受地面摩擦力不變

解析：因為當F1方向水平向左，F2方向沿斜劈的表面向下時斜劈受到地面的摩擦力方向向右，所以下滑時滑塊對斜面體的全反力F′的方向與圖2-②情形相同，此時φ＜θ。所以A項正確，B、C都是錯誤的。D項只撤F2去，A、B間彈力不變，則下滑時B所受滑動摩擦力也不變，所以滑塊對斜面體的全反力F′的大小和方向都不變，故斜劈A所受地面摩擦力不變，D項正確。

答案：AD。

圖6

當滑塊m沿靜止的粗糙斜面體M向上滑行時，全反力F′的方向如圖6所示，圖中虛線為斜面法線，所以只要m與M之間有擠壓，這種情況下斜面體M受到的地面的摩擦力方向一定水平向右，與是否受到外界推力及外界推力的大小和方向均無關。

三、斜面和滑塊以相同初速度運動

圖7

如圖7所示，傾角為θ的斜面體Μ與水平地面間動摩擦因數為μ，與滑塊m間動摩擦因數為μ′。設斜面對滑塊的支持力為N，地面對斜面體的支持力為N地?；瑝Km與斜面體M以相同初速度v0運動，現討論m能否在M上滑動及其條件。

1.整體以初速度v0水平向左運動

圖8

假設不能發生相對滑動，則整體加速度a=μg，方向水平向右。如圖8建立坐標系，作出受力圖并將a分解，得到a1=μgcosθ，a2=μgsinθ。對m有：

mgsinθ+f=ma1，N-mgcosθ=ma2

，解得f=mg(μcosθ-sinθ)，N=mg(cosθ+μsinθ)。

(1)當μ=tanθ時，f=0，N=mg(cosθ+μsinθ)=mgcosθ，m與M之間一定不會相對滑動，N地=(M+m)g。

(2)當μ＜tanθ時，f＜0，∴f=mg(sinθ-μcosθ)，方向沿斜面向上，令μ0=fN，∴μ0=fN=sinθ-μcosθcosθ+μsinθ=tanθ-μ1+μtanθ

。

①若μ′≥μ0，m與M之間一定不會相對滑動，此時N=mg(cosθ+μsinθ)，N地=(M+m)g。

②若μ′＜μ0，m一定相對M向下滑動。此時m有豎直向下的加速度分量，故m失重，則N地＜(M+m)g。

（3）當μ′＜tanθ時，f＞0，∴f=mg(μcosθ-sinθ)，方向沿斜面向下，令μ0=fN，∴μ0=fN=μcosθ-sinθcosθ+μsinθ=μ-tanθ1+μtanθ

。

①若μ′≥μ0，m與M之間一定不會相對滑動，此時N=mg(cosθ+μsinθ)，N地=(M+m)g。

②若μ′＜μ0，m一定相對M向上滑動，此時m有豎直向上的加速度分量，故m超重，則N地＞(M+m)g。

2.整體以初速度v0水平向右運動

圖9

如圖9所示，假設兩者發生分離，那么分離后m做平拋運動，M向右做勻減速直線運動。以M為參考系，m的相對初速度為0，且m具有水平方向的相對加速度ax=μg和豎直方向的相對加速度ay=g。m相對M的合加速度為a=a2x+a2y=g1+μ2，與水平方向夾角為α，且tanα=ayax=1μ。

先討論兩者是否相互分離的條件：

（1）若α＜θ，即tanα＜tanθ，即μ＞cosθ時兩者一定分離，如圖9-①情形，m相對地面做平拋運動，相對M做初速度為0的勻加速直線運動。

（2）若α=θ，即tanα=tanθ，即μ=cotθ時兩者恰能分離，如圖9-②情形。此時兩者之間無擠壓，Μ相對地面向右勻減速，m沿著M的表面相對地面做平拋運動，這是一種特殊的運動形式。

（3）若α＞θ，即tanα＞tanθ，即μ＜cotθ時兩者一定不會分離，如圖9-③情形。下面再討論兩者不分離時是否相對滑動的條件：

兩者不發生相對滑動時，整體對地加速度a′=μg，方向水平向左。如圖10建立坐標系，作受力圖并將a′分解，得到a′1=μgcosθ，a′2=μgsinθ。對m有：

圖10

f-mgsinθ=ma′1，mgcosθ-N=ma′2

，解得：f=mg(sinθ+μcosθ)，N=mg(cosθ-μsinθ)，

令μ0=fN，∴μ0=fN=sinθ+μcosθcosθ-μsinθ=tanθ+μ1-μtanθ

。

①若μ′≥μ0，m與M之間一定不會相對滑動，此時N=mg(cosθ-μsinθ)，N地=(M+m)g。

②若μ＜μ0，m一定相對M向下滑動。由m失重可知，N地＜(M+m)g。

【例4】 （2008年海南卷）如圖11所示，水平地面上有一楔形物體b，b的斜面上有一小物塊a；a與b之間、b與地面之間均存在摩擦。已知楔形物體b靜止時，a靜止在b的斜面上。現給a和b一個共同的向左的初速度，a與b和都靜止時相比，此時可能（）。

圖11

A.a與b之間的壓力減小，且a相對b向下滑動

B.a與b之間的壓力增大，且a相對b向上滑動

C.a與b之間的壓力增大，且a相對b靜止不動

D.b與地面之間的壓力不變，且a相對b向上滑動

解析：利用上述原理，本題屬于第1種情況。原來必定滿足μ′≥tanθ，但是1-(2)-②中μ′＜μ0=tanθ-μ1+μtanθ＜tanθ

，故應該將這種情況剔除。所以只存在a相對b靜止不動和a相對b向上滑動兩種情況，則A錯誤。上滑時，摩擦力沿斜面向下，且m有豎直向上的加速度分量，所以與原來相比a與b之間的壓力增大，因m超重引起b與地面之間的壓力也增大，則B正確而D錯誤。根據第1種情況的分析，只要a相對b靜止不動就有N＞mgcosθ，則C正確。所以選B、C。

答案：B、C。

(責任編輯 黃春香）

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