解題“四問”
2011-12-31 00:00:00劉傳富光有
中學教學參考·理科版 2011年8期
高三是學生在高中學習的重要階段，尤其在普通高中的高三數學復習中，有相當一部分的學生感到困難重重，表現在:一是讀題有困難，不知道題中的條件是什么；二是不會把題中的諸多已知條件進行合理地整合，找不到解決問題的切入點；三是想不明白，看不清問題的本質；四是雖然會做，但總是不夠全面；五是只為了做題而做題，忽視做題后的回顧與反思環節.為此，筆者在波利亞解題理論的指導下試圖探索適合普通高中學生實際、操作簡單的解題策略.提出解題過程“四問”：一問“讀懂了嗎？”二問“想明白了嗎？”三問“做對了嗎？”四問“反思了嗎？”
一、讀懂了嗎？
數學題的閱讀與其他閱讀不同，不但要理解字面的含義，還要讀出題目內在的含義，通過讀題，找出題中的已知條件和結論，這里的閱讀不是單純對字面的理解，而是對問題的初步感知，是解決問題的準備，有些容易的題目可能通過讀題立刻就能產生解決問題的方案，甚至是得到答案；對于中等難度的和較難的問題，就不那么容易讀懂了.總之，要進行有效的捕捉，即“從理解題意中捕捉有用的信息，主要弄清楚條件是什么？各有幾個？”“從題目的敘述中獲取‘符號信息’，從題目的圖形中獲取‘形象信息’”.知識與經驗是捕捉信心的基礎，具體地講要做到“五讀”：開始時的讀題—— 一讀；邊做題邊讀題——二讀；做題卡住了要讀題——三讀；做完了題目要讀題——四讀；反思要讀題——五讀.
二、想明白了嗎？
在讀題過程中還要將此題與從前做過的類似的題目、學過的定義、定理、公式以及性質等聯系起來，不斷捕捉有用的信息，隨著讀題的進一步深入，理解的層次逐漸加深.有些題目，甚至要連續提取有關信息，最后進行有效組合，“使之成為一個和諧的邏輯結構”.有些題目可能很快找到解題的思路；有些題目可能找到部分解題思路，還要進一步讀題，進一步進行信息的捕捉及提取；有的題目讀了幾遍還是讀不懂，問題主要出在一是與此問題相關的知識與方法不夠，甚至基本沒有；二是數學的邏輯思維能力差，不能把題目的信息進行合理地內化.因此要積累一定的數學知識與方法，不斷地培養自己的數學邏輯能力，才能進行高效率的思考.
三、做對了嗎？
找到了自己認為正確的解題思路并得出結論，是否就萬事大吉了呢？不然.在學生的解題過程中常會出現以下問題：
1.有的學生并沒有把題目中的條件全部找出來，就把題目做完了.更多的學生是沒有很好地挖掘題目中的隱含條件，從而出現錯解.2. 有的學生不能把題目中的結論搞清楚.如在選擇題中把題目中要求選出“錯誤的結論”看成了選出“正確的結論”；把題目中的兩個結論漏掉一個；應用題不作答等等.3.在自己的知識、邏輯結構以及邏輯思維中有誤區，從而導致錯解.4.更多的學生是計算上的失誤，例如由于計算上的一點失誤導致整體的錯誤.
四、反思了嗎？
反思是解數學題的思維過程的升華與拓展，一般來說，解題后就進行如下反思：1.對同類題目進行歸類，進行差異分析.2.從不同角度切入，探索不同的解法，并對解法進行評價，探索問題的本質；3.對題目的條件與結論做適當的改變，能得到哪些新的題目，并進行解答.4.探索題目的背景，對結論進行一般化、特殊化、類比等等.5.通過讀問題的解答過程分析、總結自己在解答過程中的得與失.
下面以“2009#8226;福建卷#8226;文#8226;22題（2）”為例進行研究.
問題：已知直線x-2y+2=0經過橢圓C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)
的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點M是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AM與BM與直線l:x=103分別交于S、T兩點.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 求線段ST長度的最小值.
先看問題（1）:
分析：讀懂了嗎？
通過閱讀找出題中的已知條件：
1.焦點在x 軸上的橢圓方程C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)；
2.橢圓C 左頂點A和上頂點D；
通過閱讀找出題中的結論：求橢圓C的方程.
想明白了嗎？
結合圖形提出問題：1.橢圓方程C中的a、b可求嗎？2. 左頂點A和上頂點D有什么特點？其坐標是什么？3.由橢圓C的方程與A、D兩點的關系能得到a、b嗎？學生回答了上面問題后，自然就產生了解題思路（制定解題計劃）.
做對了嗎？
按照自己制定的解題計劃進行解答（執行計劃），得出結論.將A、D兩點坐標代入橢圓方程C中，解出的a、b是否準確，所求的橢圓方程的書寫是否準確？
反思了嗎？
1.變換方法
已知直線x-2y+2=0經過橢圓C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左頂點A和上頂點D，可以把問題轉化為直線x-2+y2=1
在x軸截距-2為-a，在y軸截距2為b，然后得出橢圓的方程.
2.改變條件
可以設計把A、D兩點換為長軸與短軸上各一個端點，然后讓直線經過這兩個點.如：已知直線x+2y-2=0經過橢圓C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右頂點A和上頂點D，求橢圓C的方程.
3.進行類比
如：已知直線x-2y+2=0經過雙曲線C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左頂點A且和一條漸近線平行，求雙曲線C的方程.
再看問題（2）.
讀懂了嗎？通過閱讀找出題中的已知條件：
1. 橢圓C的方程x24+y2=1；
2.點M是橢圓C上位于x軸上方的動點；
3. 直線l:x=103；
4.直線AM與BM與直線l:x=103分別交于S、T兩點.
通過閱讀找出題中的所求：求線段ST長度的最小值.
想明白了嗎？
1. 直線AM與直線BM是否垂直？2. 線段ST長度由哪些條件限制？
3. 要求線段ST長度的最小值，是否要先求線段ST的長度？4. 要求線段ST的長度，是否要先求S、T點的坐標？5. 點S、T在哪兩條直線上？6. 怎樣設直線AM與BM的方程？把命題（2）化解為以上六個問題，分別解決后制定解題計劃.
做對了嗎？
1. 檢查解題過程中的計算是否準確？2. 題中條件“點M是橢圓C上位于x軸上方的動點”是否用上？3. 題中的隱藏條件“直線AM的斜率k＞0”是否用到？
反思了嗎？
該方法是從直線MA入手，通過直線AM、BM、l得到點S、T的坐標，再求出線段ST的長度（關于某個變量的函數），最后利用基本不等式求出最值.
波利亞在《數學的發現》中指出：“中學數學教學的首要任務就是在于加強解題能力的訓練.”“解題在數學學習中有不容置疑的重要性”，也是每一位中學數學教師長期研究的課題.以上只是本人對波利亞解題思想一點實踐與體會.
參考文獻
［1］ 波利亞.怎樣解題［M］.北京：科學出版社，1988.
［2］ 羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.
(責任編輯金鈴）
