基于最佳擊球點問題而設計的棒球棒

摘要：本文針對棒球運動中的最佳擊球點（也稱甜點）問題，綜合考慮了最佳擊球點的兩種普遍定義：（1）擊出的球的反向速度達到最大的點；（2）擊球時，傳遞到手的振動能量最小的點。對于這兩種定義，我們通過采用最大速度模型和梁振動模型分別給出了不同最佳擊球點的位置。然而這兩個值卻各異，因此，我們在此基礎上通過改變棒球棒的相關參數，使得這兩個值相近。

關鍵詞: 棒球棒 最佳擊球點 最大速度模型 梁振動模型

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1模型建立

1.1 最大速度模型

我們試圖找到使擊出的球的反向速度達到最大的點。擊球后，球要獲得更快的速度，也就是要獲得最大的能量。由于擊球點不同，力是不同的，此外，球和球拍角動量是不同的。

從棒球打擊球的過程，我們可以得到

質心的速度是：

其中表示球棒質心到旋轉中心的距離。

擊球點的速度是：

表示擊球點離到質心的距離。

根據動量守恒，角動量守恒和恢復系數的表達式：

將恢復系數的表達式改進為：

由(1)—(4)，可得到棒球被擊打后的速度為：

上式中，、分別為棒球和棒球棒的質量， 、分別為棒球的初始速度和末速度， 、分別為棒球棒的初始速度和末速度，為棒球的轉動慣量，為恢復系數。

因為材料的不同會導致能量損耗的不同，所以我們引入了參數表示材料對能量損耗的影響，最終得到擊打后的球速最終表達式為：

為了問題討論的方便，我們把棒球棒看作剛體，即取定球棒的，其他材料的。并且取型號為BNN的球棒為研究對象，最終我們得到將球看作剛體的情況下，擊球點離質心的距離與球的反向速度，經過分析，當擊球點離質心的距離r=0.1m時，棒球的反向速度最大，為67 m/s，此為傳統棒球棒的反向速度最大的最佳擊球點。

1.2梁振動模型

考慮一個關于軸旋轉的棒球棒。棒球打擊棒，造成棒的自由振動。棒球和球棒之間的碰撞，會導致能量的大量損失。由振動的能量轉移使手時會感到刺痛。

我們研究基于梁振動的自由振動模型，主要對碰撞時棒上產生的基波、二次諧波及三次諧波進行分析。其余高次諧波成分被忽略，因為它們的能量比前面三部分的少很多。

對于細長球棒，其中每一個截面中心軸在同一平面上。由棒球造成碰撞強制彎曲，然后球棒開始震動。在這種情況下球棒可以視為伯努利-歐拉梁。 表示點在時間偏離平衡位置的位移。

振動偏微分方程是：

其中，代表了棒的楊氏模量，是球棒的密度，是棒的不同部分的截面積。

根據分離變量法，可以這樣表達：

因此，上述方程可以表示為

由邊界條件

該方程與邊界條件相結合，構成了偏微分方程特征值問題，所謂的特征值。如果棒是變截面，方程可以簡化為：

其中，。

但在實踐中棒球棍是不規則的形狀，在其中的振動傳輸表現更加復雜。解決這個問題的較好的方法為有限元分析。在我們的模型，我們采用的Rayleigh -"Ritz方法是有限元分析的求解過程之一。根據Rayleigh - Ritz法，將方程改寫為：

其中被稱為基本函數。表達式的含義是將連續的棒分成離散的份。因此：

其中：

借助Rayleigh - Ritz法，我們解決了偏微分方程。

考慮前三種振動模式，列出這幾種振動模式的零點，這些點類似于駐波中的波節點。

球撞擊在零點上就不會激發相應模式下的振動， 為了使總振動能量損失盡量小， 忽略了高次諧波的影響， 綜合考慮前3種振動模式， 將最佳擊球區域定義為基波的第一個節點和二次諧波的第一個節點之間()， 在這個區域撞擊均勻桿所激發的振動幅度較小， 因桿振動造成的能量損失較小.

最后得到一個標準球棒(83.8厘米長，0.905公斤重)的最佳擊球區介于64.9厘米到72.4厘米(此處最佳擊球區的定義為使受感受到的振動幅度最小的區域)。

2 設計的新棒

從上面的研究中，我們發現最佳擊球點或者最佳擊球區域不是唯一的。從打擊的效果來看，最佳擊球點是一個撞擊點，棒球以最快的速度反沖。從能量角度考慮，最佳擊球點又是使手感受到的振動能量最小。然而，這兩個個點的位置卻不盡相同。

我們分析上述兩種模式，并發現，如果我們改變這兩個個模型的初始變量，兩種模式的結論也將改變。當初始變量合適的時候，所有這兩個個模型的最佳擊球點可以集中到一個小的區域。這意味著，如果球棒的參數選取得當，球員使用新的球棒能打到最佳擊球點，使球的飛行距離最長，而他們的手感受到的刺痛感最小，這對于運動員的身體也是有益的。

為了使我們的模型更加普遍，我們選擇使用率最高的白蠟木材料做成的棒球棒來重新設計球棒的形狀。由于球棒形狀復雜，我們簡化了球棒形狀，將球棒的形狀簡化為兩個圓柱和一個圓臺三個部分，簡化后的規格如下：

圖1 簡化后的棒球棒形狀

我們比較簡化前后球棒物理性質的改變情況：

可以發現，簡化前后球棒的物理性質變化很小，因此這個簡化是可行的。

我們改變球棒形狀的簡化，并設法使兩種定義下的最佳擊球點集中于一點。在分析了兩種定義下的最佳擊球點后，我們找到了能量的最佳擊球點是一個方面，而微妙的變化不會影響該區域。因此，我們固定能量最佳擊球點，并嘗試利用速度最佳點滿足這一地區。然后，我們就可以得到綜合最佳擊球點。 首先固定前兩個部分，對剩下的那部分進行形狀微調，使兩個最佳擊球點盡量接近。以第三部分為例，我們建立直角坐標系：

第一部分和第二部分的體積

我們假設和為變量。然后，我們得到了第3部分體積：

而球棒的體積是：

球棒的質量是：

為了問題討論的方便，我們固定了球棒的體積，即是一個常量。

事實上，和是固定的，而是變量。這意味著是關于的函數，我們改變球棒第三部分邊緣曲線的斜率。建立邊緣曲線的函數為：

我們調整棒的參數，如圖：

圖3 對棒球棒的第三部分的形狀進行微調

因為這個棒是關于y軸對稱的，質心是在x軸。因此，質心是C。顯然，，我們可以得到質心的坐標：

然后我們可以得到轉動慣量：

將模型1所需的變量代入微調之后得到的數值，使兩個最佳擊球點盡可能接近。

通過調整棒球棒前端的角度，達到最大速度的擊球點從原來的0.7392米（在振動最小的擊球區外）變為0.700米（在振動最小的擊球區的內）。調整后的振動最小區域在0.649米到0.724米之間。

經過了的微調，速度的最佳擊球點是在能量的最佳擊球區域。而當速度的最佳擊球點在這一地區的中間，對擊球效果被認為是最好的。利用實驗室模擬墊和效果進行微調過程中，我們得到的最后結果為綜合擊球點距離質心的距離為(原理擊球方向)：

通過調整，新的棒被設計出來了：

在設計方案里面，我們簡化了棒球棒的形狀，使得計算得到大大簡化，但是也使得模型得到的結果和實際情況可能有差距。同時在對球棒進行調整時，我們僅僅考慮了在第三個圓臺在棒長方向的斜率的改變，而忽略了棒的其他位置的形狀變化對擊球效果的影響。這些都使得我們的最終結果在一定程度上具有局限性。

參考文獻

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