常用時頻變換方法的淺析與比較

摘 要:傅里葉變換、短時傅里葉變換和小波變換是信號處理中最常用的時頻變換工具，本文對這三種常用時頻變換工具進行了理論介紹，并比較和分析了三種變換方法在信號處理中特點和存在的缺陷。

關鍵詞:傅里葉變換短時傅里葉變換小波變換Heisenberg測不準原理

中圖分類號:G642文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)09(c)-0112-01

在信號的描述中時間和頻率是兩個最重要的物理量，這兩個物理量之間有著密不可分的聯系。而時頻分析方法的目的就是在于構造一種時間和頻率的密度函數，以便更好地揭示信號中的頻率分量及其隨時間的變化過程。

1 傅里葉變換

傅里葉變換[1]從純粹的數學意義上看是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將信號從時間域轉換到頻率域，其逆變換是將信號從頻率域轉換到時間域。其數學表達形式如下:

(1)

的逆變換為:

(2)

傅里葉變換將信號的時域和頻域聯系了起來，能夠通過對信號的頻域分析更加清晰地了解信號的變化規律。但是，傅里葉變換需要利用信號的全部時域信息得到信號的頻域特性，只能單獨地反應信號的時域特性或頻域特性。對非平穩信號而言在分析時，希望能夠知道其頻域特性，同時得知在頻譜中的頻率在時間域上的發生時間，而傅立葉變換不能反映隨時間的變化信號頻率的變化情況。

2 短時傅立葉變換

Dennis Gabor于1946年引入了短時傅立葉變換[2]，其基本思想是用一個窗函數來截取信號，假定信號在窗內是平穩的，利用傅立葉變換分析窗內的信號，以確定窗內存在的頻率成分，然后沿著信號時間方向移動窗函數，得到頻率隨時間的變化關系，即所需的時頻分布[3]。信號的STFT的表達式為:

(3)

為窗函數。隨著時間的變化，所確定的時間窗在軸上移動，對逐步進行分析。因此，反映了在時刻頻率處信號內容的相對含量。這樣，信號在窗函數上的展開就可以表示為在、這一區域內的狀態。短時傅立葉變換在窗函數固定下來以后，它的頻率窗和時間窗的大小和形狀就固定了，如圖1所示。為了得到更好的時頻分析效果，和應盡可能小。但是Heisenberg測不準原理指出，和是互相制約的，兩者不可能同時都任意小。

Heisenberg測不準原理[4]:

(4)

上是表明在時間軸和頻率軸上，不可能同時獲得任意小的精度。因此，一旦窗函數確定，窗口的形狀和大小都將保持不變，與頻率無關。若要改變分辨率，則需要重新選擇窗函數。

對于非平穩信號，當信號變化劇烈時，要求窗函數有較高的時間分辨率;而在波形變化比較平緩的間段內主要是低頻信號，則要求窗函數有較高的頻率分辨率。但是，短時傅里葉變換固定的窗函數卻不能兼顧頻率與時間分辨率的要求。

3 小波變換

小波變換利用了一個具有快速衰減性和振蕩性的函數—— 母小波，將其伸縮和平移得到了一族函數，稱為小波基函數。小波基函數在時頻相平面具有可變的時間窗和頻率窗，以適應不同的分辨率。

由圖2所示的小波變換的時頻窗可以看出小波變換中的窗函數隨中心頻率的變化而變化，在高頻處時間窗變窄，在低頻處頻率窗變寬[5]，因此小波分析方法是一種窗口大小固定，但其形狀可變(時間窗和頻率窗都可改變)的時頻局域化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，使小波變換具有了對信號的自適應性，因此更適合對信號進行時頻分析。

由上述分析可看出，傅里葉變換是一種純頻域的分析方法，而非平穩信號的分析卻需要能夠同時進行時域和頻域分析的變換工具。短時傅立葉變換是窗口大小固定且形狀固定不變的分析方法，但是不能兼顧頻率和時間域的分析要求。而小波變換的出現滿足了在信號處理中時域和頻域中都具有局部表征能力的特性，是一種窗口大小固定不變但是其形狀可改變的分析方法，并且具有多分辨率分析的特點，因此被譽為信號分析領域的顯微鏡。

參考文獻

[1]胡昌華，張軍波，夏軍，等.基于MATLAB6.5輔助小波分析與應用[M].北京:電子工業出版社.2003，74～98.

[2]Garbor D.Theory of communication[J].Journal of the Institute of Electrical Engineers，1946，93:429～457.

[3]付麗華李宏偉，張猛.基于小波變換的復雜噪聲背景中諧波恢復方法[J].工程地球物理學報.2005，2(1):21～28.

[4]曾大有，王曉威，鄧風茹.量子力學中的heisenberg測不準原理的數學推倒以及在小波分析中的應用[J].華北航天工業學院學報，2006，16(8):33～36.

[5]Chui C K.An Introduction to wavelets[M].Academic Press，1992.