部分分式分解的待定系數法

摘 要:利用部分分式求有理函數積分時，確定部分分式的系數很困難，本文舉例介紹確定部分分式待定系數的簡單方法.

關鍵詞:有理函數部分分式待定系數法積分

中圖分類號:O17文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)09(C)-0152-01

Abstract:The solutions to determine the undetermined coefficients of partial fraction in the rational function integral is introduced.

KeyWords:rational function;integral;partial fraction;undetermined coefficients solution

引言

利用部分分式求有理函數的積分時，確定部分分式的系數的計算量很大，舉例介紹如何確定部分分式的待定系數。

1 拉格朗日乘數法中方程組的解法

例1計算不定積分

解:設

去分母得，

由(1)式確定系數A，B，C，D，E方法有以下四種。

1.1 比較系數法

即將(1)式右端各項乘出，得到一個四次多項式，與等號左邊多項式比較同次冪的系數A，B，C，D，E的值。這是最基本得方法，但本題用這種方法十分繁瑣［1］，下面這種方法不介紹了只介紹幾種簡單的方法。

1.2 賦值法

在(1)式中，令得

但本題中原分式的分母中只有一個實根，所以令為其它值以求得的值也比較麻煩。對本題而言這種方法也不太方便。下面介紹兩種用于化分母有重根或較復雜的虛根的有理函數為部分分式時較為有效。

1.3 逐次約簡法

先定出一個系數，然后代入后再移項約簡，這樣又定出一個系數。依次下去，直至全部系數定出為止。

第一步:令，得

第二步:把代入(1)式右端后，將以為系數的項移到等式的左邊，兩邊約去因式，得

在(2)中令，得

第三步:把代入(2)式，再把以為系數的項移到等式的左邊，兩邊約去，得

在(3)式中令，得.

第四步:把代入(3)式，將以為系數的項移到等式的左邊，兩邊再約去因式(x-1)，得

從而，得

1.4 導數法

先定出一個系數，然后代入后再移項約簡，兩邊求導再移項約簡，這樣又定出一個系數。依次下去，直至全部系數定出為止。

第一步:令，得

第二步:把代入(1)式右端后，將以為系數的項移到等式的左邊，兩邊求導，得

在(4)中令，得

第三步:把代入(2)式，再把以為系數的項移到等式的左邊，兩邊求導約去公因式2，得

在(5)式中令，得

第四步:把代入(3)式，將以為系數的項移到等式的左邊，兩邊再求導約去公因式3，得

從而，得

將以求得的系數代入各分式后，得

2 總結

總之，賦值法是最基本的方法。在逐次約簡或求導后，實際上還是要用賦值法來確定各系數。以上，為了介紹這四種方法，所以我們在解題中單獨使用了一種方法。實際上在解題中可以交叉使用這些方法，盡可能使解法簡單。例如分解因式方便時，可分解因式，約去公因式而逐次化簡;分解因式麻煩時，可用求導法同樣達到逐次化簡的目的。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系主編．《數學分析》(上)[M]．第三版．北京:高等教育出版社，2001．