基于內外算法的板料成形在有限元接觸判斷的改進

摘 要:通常接觸搜索包括全局搜索和局部搜索兩個過程。全局搜索是粗略的找到圍繞特殊點的所有可能的潛在點。局部搜索是經過全局搜索后，準確地找到接觸點，找到接觸點及貫入量。根據內外算法對板料成形的接觸判斷問題在全局搜索和局部搜索上做一些修正，使得算法更加優化。通過兩者的對比驗證現在的修改更為有效。

關鍵詞:內外算法接觸判斷全局搜索局部搜索有限元網格法

中圖分類號:TB115文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)08(a)-0015-02

1 引言

接觸問題在工程和自然界中大量存在，如高速火車的弓網接觸問題，帶斷層或裂縫的拱壩穩定性問題，地震震源破裂和滑坡問題等。對于接觸問題的求解，接觸搜索占用的時間最多可高達總計算時間的60％～80％，采用目前最好的搜索算法，這一指標也經常高達40％～50％。因此，接觸搜索算法直接決定了接觸問題的計算效率。

接觸搜索的任務首先是找出系統中的測試對，然后針對每個測試對確定其接觸狀態，接觸、貫入、脫開。對于接觸或貫入的情況，測試對已轉變為實際的接觸對，還要找出接觸點及貫入量。上述尋找測試對的過程，稱為全局搜索;確定測試對中的接觸狀態以及計算接觸點和貫入量的過程，稱為局部搜索。全局搜索算法的關鍵是計算效率，局部搜索算法的關鍵是計算精度。

全局搜索算法目前使用較普遍的全局搜索算法主要包括主從面算法、單曲面算法、級域算法、位碼算法等。局部搜索的目的是精確定位有限元節點與單元之間的相互關系，即確定在全局搜索中找到的接觸塊中的接觸位置，目前已有的局部接觸搜索算法主要有三類:點面算法、小球算法、光滑曲面(曲線)的算法等。

2 全局搜索

對于板料成型的例子，我們通過簡單的二維的例子來說明修改后算法的簡單與實用性。我們將板料網格剖分后，判斷主面和從面之間是否接觸，通過模型圖1，主面被剖分成若干個單元，虛線部分表示定義的接觸范圍，接觸范圍一般是板料厚度的1/5～1/10之間，根據具體板料來設定。

2.1 求出單元的外法線

假設點的位置矢量為，B點的位置矢量為，根據切向量與法向量垂直的關系，則有

(1)

根據這個等式可以求出的坐標，則單元的外法線求出。

2.2 求出有限元節點的外法線

如圖2所示，對于單元AB和單元BC在節點B處得法線，我們可以根據平行四邊形法則求出它們的和向量n作為節點B處的外法線。

a=1，2(2)

2.3 確定接觸范圍，構造最小長方形

如圖3所示，接觸單元A1，A2，A3，A4，是節點的法線與定義的接觸范圍的交點。設A1的坐標，A2的坐標，A3的坐標A4的坐標構造最小長方形，長方形四個頂點坐標為:

=min(，)

=max()=max()

這樣得到長方形四個頂點的坐標(，)(，)(，)(，)

2.4 執行全局搜索

判斷節點I是否是可能接觸點，我們可以根據以下方法作為判斷依據:

若節點I的橫縱坐標都滿足以上條件，則節點判定為可能接觸點。

3 局部搜索過程

如果一個發現節點接近單元(也就是符合全局搜索的要求的點)，然后我們通過局部搜索過程確定該點接觸單元表面或者它與單元表面的距離，和確定該節點到接觸面之間的距離是貫入或者間隙。對于局部搜索的主要問題是計算成本、計算準確度、和穩定性。對于第一部分的討論，傳統算法不能同時滿足以上的所有條件。

3.1 判定可能接觸點的投影是否在接觸單元內

經過全局搜索我們找到了一些可能接觸的點，我們要判定該點在此單元內是否有接觸點，以及節點與單元的距離。首先我們要確定該點的投影是否在該單元內，因為該點雖滿足了全局搜索要求，有可能該點的投影在另一個單元內，那么它的可能接觸點必然不再該單元內。下面我們來判斷節點的投影位置。

在此類問題中節點I是從面的上的節點，我們要判斷節點是否與主面上的節點是否有接觸。設節點I的法向量為，單元面的法向量設為n，兩個向量做內積，根據內積的符號判斷投影是否在單元內。，由和都是單位向量，所以

(i)若<0，則投影點在單元內

(ii)若>0，則投影點在單元外

(iii)若=0，則投影點和單元切向量平行，在單元外。

3.2 求出投影點

根據以上步驟，判斷出節點的投影在單元內，下面需要判斷節點和單元面是否接觸，并且確定該節點與接觸面之間距離是貫入或者間隙。方法如下:如圖4所示

3.2.1 在單元內根據單元法線求投影

3.2.2 根據節點的法線求投影

設節點I的位置矢量為，所要求的投影點位置矢量為，A點的位置矢量為，B點位置矢量為。根據三角形法則

=+t(-) (3)

(4)

將(3)代入(4)得

解得:

代入(5)

=+(-)

(5)

這里說明是脫開，如果說明是貫入，說明有限元的節點位于表面段上。并且可以直接計算出就是貫入量。

4 結語

接觸判斷是板料成形有限元分析中核心技術問題之一。而且也是我們學術界一直關注的熱點問題之一。針對板料成形過程，我們通過采用長方形的方法，省略了位碼構建，加少了計算量，同時也能保證準確找出接觸點及貫入量。

在點面算法中采用迭代的方法求解接觸點及貫入量，迭代的步驟不僅多，而且準確性和計算量得多少兩者不能兼顧。采用修改過算法，能夠準確找出每一個單元接觸點及貫入量，前提只要單元設置適當。

參考文獻

[1]SHENG PING WANG，EIIJI NAKAMACHI. THE INSIDE-OUTSIDE CONTACT SEARCH ALGORITHM FOR FINITE ELEMENT ANALYSIS[J].INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING.1997.

[2]王曉林，周賢賓.基于曲面單元法的板料成形有限元接觸判斷模型研究[J].航空基金資助項目.

[3]寇淑清，楊慎華，黃良駒，傅沛福. 體成形數值模擬中的模具型腔、網格生成及接觸搜索的一直描述[J].吉林工業大學自然科學學報，2001(31).

[4]李南生，沙德松，周晶.一類基于點面模式的低階單元接觸搜索算法[J].力學季刊，2000.

[5]丘維聲.解析幾何(第二版)[M].北京大學出版社，2008.

[6]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].北京:高等教育出版社，2006.

[7]K.L.Johnson.接觸力學[M].北京:高等教育出版社，1997.