論不確定性原理及應用

摘 要:本論文給出不確定性原理的精確推導，說明不確定性原理是關于量子力學測量問題的一個重要原理，探討不確定性原理的物理涵義，列舉二個應用不確定性原理的例子。

關鍵詞:不確定性原理位置與動量的不確定度關系能量與時間的不確定度關系

中圖分類號:O159文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)08(a)-0226-02

1 引言

19世紀末，經典物理大廈已經建成，當時人們基本認為對物理規律的探索已經基本告成，剩下的只是使實驗數據更精確。開爾文便是飽含著這種樂觀情緒提出物理學晴朗的天空上存在兩種烏云的看法。這兩朵烏云分別是“以太漂移”假說及紫外災難，而正是這兩朵烏云醞釀出20世紀的物理學革命。

德國物理學家普朗克通過對黑體輻射的研究于1900年提出能量是一份一份的能量子假說，解決了紫外災難所提出的理論與現實的矛盾。后經愛因斯坦、玻爾等人的發展，形成量子論。利用量子論的光量子、定態、躍遷等概念及原理能夠解釋微觀世界的一些現象，但對于越來越多的新現象，量子論卻無法給予滿意的解釋，如對比氫原子及類氫原子復雜的原子的光譜的解釋。

面對量子論的困難，海森堡等人思考通過新的途徑來解釋微觀世界的現象，終于在1925年和1926年海森堡、玻恩和約旦先后發表四篇論文，創建了矩陣力學，標志了理論物理在對微觀世界規律的探索上前進了一大步。1926年薛定諤一連發表四篇論文，建立了波動力學，后來又證明矩陣力學與波動力學是互相等價的，于是矩陣力學與波動力學統稱為量子力學。

在創建矩陣力學的論文中，海森堡強調任何物理理論只應出現可以觀測的物理量，對于沒有實驗根據的傳統概念，例如粒子軌道的概念則必須摒棄。那么量子理論本身決定哪些物理量能被實驗觀測到呢？海森堡通過對實驗的觀察和對數據的思考得出結論，即人們無法同時知道一個粒子的坐標和動量，對其中一個物理量的測量必然會對另一個物理量造成影響，對坐標的動量的測量會給出坐標和動量的不確定度，其不確定度滿足

上式稱為位置—動量不確定度關系。這個關系說明經典物理學中的坐標和動量概念并不完全適用于微觀世界中。

互為共軛的物理量之間都具有不確定度關系，如能量—時間不確定度關系，這些統稱為海森堡不確定性原理。

2 對不確定性原理物理涵義的探討

對于不確定性原理物理涵義的理解，有兩種不同的觀點。一種是以海森堡為代表，認為“不確定關系所討論的是在量子力學中同時測量幾個力學量的精度問題。”是對不確定性原理的傳統解釋。另一種是由1950年馬根瑙(H.Margernau)提出的觀點，認為不確定性原理所討論的是幾個物理量的統計漲落所滿足得公式，講的是系統的離散。“此原理從未提出過任一種類的單次測量出現的精確度。”

事實上，不確定性原理中的不確定量既可以是單次測量的精確度，也可以是多次精確測量的統計漲落。

同時測量粒子的一對不對易力學量(如位置、動量等)，因粒子具有波粒二象性，所得到的關于粒子不對易力學量的信息必存在精確度問題，且服從不確定性原理。

對于束縛態，在保證粒子不發生躍遷的情況下，可以分別測量粒子的一對不對易力學量，根據所得信息，計算出不對易力學量各自的平均值和統計漲落，且不對易力學量的統計漲落也服從不確定性原理。

例如，對處于一維諧振子勢某能級的粒子，分別測量位置和動量的概率分布，計算其平均值和統計漲落，發現位置和動量的統計漲落服從不確定性原理。

用數學形式表示，即設諧振子處于態下，其位置和動量的統計漲落

其中，得到

符合不確定性原理。

從上面探討來看，不確定性原理中的不確定量在單次測量中指的是同時測量一對不對易力學量的精確度，而在束縛態中也可以指一對不對易力學量的統計漲落，而且不需同時測量這一對不對易力學量。

3 不確定性原理的應用

物理學是一門定量程度很高的學科，它推理性強，邏輯嚴密，實驗測量和理論計算都達到了很高的精度。然而，在某些情況下卻需要定性或半定量分析，例如理論物理學家進行詳細計算之前，為了選擇和建立恰當的物理模型和數學模型，首先進行定性分析或進行某種估算，這樣可以粗略知道各參量的大小和各種可能效應的相對重要性，以判斷什么是決定現象的主要機制。同樣，實驗物理學家在著手準備精密的測量之前，為了選擇合適的儀器和測量方法，也需要對各個有關物理量先做一番估計。又如在有些時候，我們并不一定需要準確知道某個量，只需大致了解發生現象的物理機制并估算此量。而不確定性原理的應用范圍主要就是半定量分析。

3.1 無限深對稱方勢阱

有一無限深對稱方勢阱，其阱寬為。易知，該勢阱中粒子的平均位置

平均動量

粒子的位置不確定度

根據海森堡不確定性原理

得

粒子的能量

粒子從勢阱一側運動到另一側的時間

得

滿足能量—時間不確定性。

3.2 用不確定性原理算一維諧振子零點能

量子力學零點能的出現可以用不確定性原理來說明，以一維諧振子為例。

一維諧振子勢為

因為一維諧振子勢是關于的偶函數，所以粒子在一維諧振子勢的波函數必為偶函數，即

粒子在一維諧振子勢中的平均能量為

位置的平均值和動量的平均值分別為

因為是偶函數，所以被積函數與都為奇函數，故

則

位置與動量的不確定度關系為

為求的最小值，取

取最小值，有

得

則

這正是一維諧振子的零點能。

4 結語

不確定性原理集中表現了微觀粒子的波粒二象性，是反映微觀粒子運動的基本規律，是量子力學中一條重要的原理，對其深入研究，闡明其豐富的內在意義將有助于我們更正確地認識量子世界。

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