基于偏激分方程(PDE)的圖像去噪的方法綜述

摘 要:偏微分方程(PDE)方法，是圖像處理中的一種較新的方法，有著很強的數學基礎，在圖像處理中的應用發展非常快。本文將近幾年應用較多的幾種圖像去噪方法進行了系統的概括總結，指出了該領域的學者是如何一步步進行改進得到新方法的，并對該領域的發展做了新的展望。

關鍵詞:圖像去噪偏微分方程平滑濾波總變差

中圖分類號:TP3文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)07(b)-0110-02

1 引言

圖像去噪是數字圖像處理中的一個經典問題。隨著數字圖像處理技術的發展，大量數字圖像經由信道傳輸或通過介質保存。圖像在傳輸或存儲過程中受到外界物理條件的限制，所產生的噪聲會影響圖像的視覺效果。而在眾多的應用領域中，又需要清晰的、高質量的圖像，因此，圖像去噪是一類重要的圖像處理問題，同時也是其它圖像處理的重要預處理過程，對后繼處理帶來很大的影響。基于偏微分方程(PDE)的方法進行圖像處理因具有各向異性的特性，自適應性強，能夠在平滑噪聲的同時更好的保持邊緣與紋理等細節性息，故在過去的二十幾年中獲得了巨大的發展。這個領域的實質性的創始工作歸功于和各自獨立的研究。他們嚴格地介紹了尺度空間理論并指出圖像與具有遞增方差的高斯函數做卷積實現低通濾波和求解以原圖像為初值的熱傳導方程等價。然而由于高斯濾波是各向同性擴散，在去除噪音的同時模糊了邊界。改進濾波技術，在去噪的同時能完好的保存邊緣等重要信息，一直是這一領域的目標。本文詳細介紹了現存的基于PDE的圖像去噪的主要方法，并指出了它們之間的聯系。

2 圖像去噪模型

偏微分方程與圖像去噪的結合產生了許多模型，大體上可以分為兩大類:一種是基本的迭代格式，隨著時間的變化更新，使得圖像向所要得到的效果逐步逼近，這種算法的代表為的方程以及對其改進的后續工作。該方法在前向擴散的同時具有向后擴散的功能，所以具有平滑圖像和邊緣銳化的能力，并且擴散系數有很大的選擇空間。但是該方法是病態問題，在應用中不穩定。另一種是基于變分法的思想，確定圖像的能量函數，通過求能量函數的最小值，使得圖像達到平滑狀態，現在得到廣泛應用的總變差TV(Total Variation)模型[4]就是這一類。找到合適的能量方程，保證演化的穩定性獲得理想的結果是這類方法的關鍵所在。它比第一種方法穩定，且具有明確的理論解釋，是現在普遍應用的方法。全變分不具備后向擴散的能力，處理的圖像模糊，無邊緣銳化。本文以PM模型和TV模型為基礎，并詳細介紹對其改進的后續工作。

2.1 迭代去噪模型

2.1.1 熱擴散模型

基于偏微分方程的圖像處理是從運動的觀點來處理圖像的，起源于熱傳導方程的初值問題:

我們可以用傅里葉變換方法來求解該方程，此方程的解可以表示為Gaussian函數與的卷積，即，其中是Gaussian函數，代表一個尺度參數。這說明熱方程在t時刻的解相當于用高斯函數對初始圖像作高斯低通濾波，因此熱擴散保留初始圖像的低頻成分，濾除高頻成分。該方程是一個各向同性擴散方程，具有磨光作用，雖然能去除噪聲但不能保護邊緣。究其原因是這種模型在平滑圖像的時候沒考慮到圖像的特征位置，在整個圖像邊緣處沿切向和法向采用了相同的擴散速度。如果能使方程在平滑圖像的同時考慮到特征的位置，在特征區域內部的擴散速度較快，而在邊緣位置擴散速度較慢，那么就可以保持圖像的邊緣了。于是出現了下面的模型。

2.1.2 PM模型

1990年，Perona和Malik提出了能夠保持邊界的各向異性擴散方程代替高斯平滑濾波，模型為:

這里是原始圖像，且是單調遞減函數。稱為擴散系數，與圖像梯度成反比。當時，退化為熱方程，通過適當定義擴散率函數，PM模型既可以去噪又能較好地保持邊緣。

擴散率函數應滿足是單調減函數且

其中。下面是Perona和Malik在[3]中給出的兩個常用既能去除噪聲又能增強邊緣的擴散率函數

或

和可以取成與時間相關的函數。其中常數可預先設定，也可隨著圖像每次迭代的結果變化而變化，它和噪聲的方差有關，用于控制保持邊緣和消除噪聲的平衡。這種方程在迭代的過程中不斷地根據最近一步所獲得的圖像梯度作為邊緣檢測子，因而能減少噪聲對邊緣檢測的影響。

由于數學上PM模型解的存在唯一性不能保證，因此出現了許多該模型的正則化方法。下面給出兩個具有代表性的正則化。

2.1.3 正則化的PM模型

針對PM模型的病態性，等給出了如下空域正則化模型:

即對進行了高斯正則化，用代替，克服了對噪聲敏感的問題。正則化模型的解是存在唯一的，并且關于初值是穩定的。

Nitzberg-Shiota給出PM模型的一個時域正則化形式:

其中，是對的時間延遲正則化，參數是延遲時間。

2.1.4 前向—后向擴散模型

在這些研究的基礎上，為進一步解決邊緣處的模糊問題，2002年，Gilboa[6]等人研究了一種前向后向擴散方程，這種方程在邊緣處的擴散系數取負值，目的是使模糊的邊緣得到銳化。該模型為:

其中

Gilboa等人還給出了參數的參考取法，，代表的均值，，，經驗值。該模型在梯度小的地方擴散系數取值較大，多擴散平滑（常假設）；在范圍內擴散系數取值為負，相當于去卷積的過程，可實現圖像增強；在大的地方（如邊緣）少擴散平滑，保護邊緣；同時達到去噪和增強的目的。

2.1.5 Weickert擴散張量模型

PM模型在邊緣處的擴散系數取的很小，這實際上相當于沒有對邊緣處的噪聲進行處理，因而邊緣處的噪聲幾乎保持不變。為解決邊緣處去噪問題，1998年Weickert[7]等人在非線性擴散方程的基礎上進一步研究了非線性各向異性擴散方程。首先，Weickert定義了如下局部結構張量:

其中為高斯函數，標準差為，，*表示與的元素逐個卷積。

根據結構張量定義了擴散張量，得到如下形式的非線性各向異性張量擴散方程:

其中，D是依賴于結構張量的矩陣，稱為擴散張量，表示平面二維向量的歐幾里得內積。

2.1.6 Brox與Weickert模型

由于線性結構張量存在模糊效應，并且隨著增大，邊緣會逐漸消失，同時殘留的邊緣位置會發生改變，2006年，通過將結構張量的線性各向同性擴散替換為非線性各向同性擴散

或非線性各向異性擴散

得到了非線性結構張量，他們指出，這兩種非線性結構張量都可以避免線性結構張量的模糊效應。利用這兩種非線性結構張量替換Weickert的各向異性擴散方程中的線性結構張量，得到如下耦合系統:

在上式中，擴散率函數決定了擴散張量的構造，擴散張量可以取為Weickert針對邊緣增強或相干增強而提出的擴散張量，而擴散函數可以取成PM給出的擴散率函數。數值試驗表明，該系統能夠更好地保留圖像的邊緣，也能更好地增強紋理圖像。另外，可以證明，該系統存在唯一的光滑解。

2.2 基于變分法的圖像去噪模型

2.2.1 TV模型

1992年L.Rudin，S.Osher和E.Fatemi提出了總變差模型，該模型為在的約束下使圖像的能量函數方程:

最小。該模型是現在廣泛采用的方法，取。

為正則化項，其作用是使得迭代后的圖像不會較大偏離原圖像。與該泛函所對應的歐拉方程為:

求解該方程的一種思路是引入時間變量t，將直接看作u在某時刻t與0時刻的差，即有:

從而得到擴散方程:

這是與Perona和Malik所提出的各向異性擴散方程相聯系的。

該模型的解空間是有界變差函數空間(BV空間)，而該空間中的函數允許存在邊緣等灰度不連續的信息，這為在圖像去噪過程中保持圖像邊緣提供了理論依據。

2.2.2 基于擴散張量的自適應正則化變分模型

2010年，劉孝艷，馮象初提出了基于擴散張量的自適應正則化變分模型[9]，該模型為:

選擇合適的參數，就可以達到去除噪聲和增強邊緣的目的。

雖然總變差模型能夠有利于保持圖像的邊緣成分，但是總變差半范圖像模型在圖像非光滑情況下并不好定義，所以學者TonyChan[12]根據弱導數的概念提出了適合非光滑函數的總變差半范的對偶定義。對偶總變差模型的優點在于它能夠很好地對非光滑函數進行建模，而且對偶模型的變分偏微分方程在求解過程中不存在不能處理處的情況。當然對總變差模型還存在很多其它的改進方法，有興趣的讀者可參考文獻[10]。

3 結語

用偏微分方程進行圖像處理是一種較新的方法，有著很強的數學基礎，在圖像處理中的應用發展非常快。偏微分方程理論作為圖像處理中的一種新型工具，其發展經歷了由線性到非線性，以及由各向同性擴散到各向異性擴散的過程。本文介紹的方法中除了Brox and Weickert模型，其他模型在去噪的過程中都沒有考慮紋理分析。即使是邊緣保持較好的算法，也不能在去除噪聲的同時保持圖像的紋理細節。如何在圖像去噪的同時保持紋理細節，是今后的研究重點。

參考文獻

[1]Koenderink J.The structure of images.Biol Cybem，1984，363-370.

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[3]Pietro Perona and Jitendra Malik. Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. Vol.12， No.7， July 1990.12(7):629-639.

[4]Leonid.Rudin，Stanley Osher and Emad Fatemi. Nonlinear total variation based noise removal algorithm. Physica D， 60(1992)， 259-268.

[5]F Catte，P L Lions，J M Morel. Image selective smoothing and detection by nonlinear diffusion. SIAMJ.Num.Anal.，1992， 29(1):182-193.

[6]Guy Gilboa，Nir Sochen and Yehoshua Y Zeevi. Forward-and-Backward Diffusion Processes for Adaptive Image Enhancement and Denoising. IEEE Transactions on Image Processing ，July 2002.11(7):689-703.

[7]Joachim Weickert. Anisotropic Diffusion in Image Processing. ECMI Series.1998.

[8]Thomas Brox，Joachim Weickert. Nonlinear Structure Tensors. Image and Vision Computing，January 2006，41-55.

[9]劉孝艷，馮象初.基于擴散張量的自適應正則化變分模型.系統工程與電子技術，2010，32(1):188-194.

[10]T.F.Chan，S.Esedonglu，F.Park，et al. Recent Development in Total Variation Image Restoration.Technique Report，University of California，Los Angeles，2005.