探索一階常微分方程的課堂教學

摘 要:針對種類繁多的一階常微分方程，通過幾個典型的例題的求解來說明其教學方法，教給學生一種解題的規律。

關鍵詞:常微分方程教學方法

中圖分類號:G642文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(b)-0157-01

常微分方程有著深刻而生動的實際背景，它從生產實踐與科學技術中產生，是數學科學聯系實際的一個應用，也是現代科學技術中分析問題與解決問題的一個強有力的工具，如今在自動化技術、自動控制、星際航行等科學中，常微分方程已成為了必要的工具。常微分方程是微分學與積分學的實際應用，它的求解離不開導數積分，是高等數學的一個重要組成部分。在常微分方程中，一階常微分方程是最基礎的部分，因此，一階常微分方程的課堂教學是極其重要的。一階常微分方程的種類繁多，因此求解的方法也很多，對于不同的一階常微分方程，我們在求解時一定要先分析方程的類型，然后再運用適當的方法進行求解。下面就我在教學工作中的一點體會，把一階常微分方程的求解分為四類，通過四個典型例題的求解來談一談一階常微分方程的課堂教學方法。

1 可分離變量的微分方程

形如或的微分方程稱為可分離變量的微分方程。可分離變量的微分方程在求解時要先分離變量，就是要把有關x的函數部分與微分全部移到一邊，而有關y的函數與微分全部移到另一邊，再對等式兩邊同時進行積分求解的。

例1:求微分方程的通解。

解:這是一個可分離變量的微分方程，分離變量后得，兩邊積分，有，從而或，它又可寫為，c為任意常數

2 用變量代換法求一階常微分方程

例2:求微分方程的通解。

解:令，則有，代入原方程得，這是一個可分離變量的微分方程，分離變量得，兩邊積分得，因而有，將代到解中還原，得通解為

上例題從表面上看不易判斷方程的類型，似乎不容易求解，但是通過變量代換卻化為了可分離變量的微分方程，就容易求解了。由此可見，解方程時一定要準確地判斷方程的類型，然后再根據方程的特點求方程的解。

3 一階線性微分方程

形如的方程稱為一階線性微分方程，“線性”是指在方程中含有未知函數和它的導數的項都是關于、的一次項，而稱為自由項。當時，方程稱為一階線性齊次微分方程。對于一階線性齊次方程，通過整理化為可分離變量的微分方程求解;如果是非齊次微分方程，可先求相應的齊次方程的解，再用常數變易法(即將線性齊次微分方程的通解中的常數c變為待定函數c(x)，然后代入非齊次方程，求出c(x))求通解。

例3:求微分方程的通解。

解:這是一階線性非齊次微分方程，先求對應的線性齊次微分方程的通解。

，分離變量得，積分得:

，

再用常數變易法求線性非齊次微分方程的通解，令此通解為，，

則有代入原方程，得:

，簡化得，積分得，故原方程的通解為，其中D為任意常數。

4 全微分方程

例4:求的通解。

解:觀察這個微分方程，它既不是可分離變量的微分方程，又不是一階線性微分方程，也無法用變量代換法換成上述兩種類型的方程，但我們仔細觀察方程的特點，會發現，所以是一個函數的全微分。原函數為，所以原方程的通解為

通過上一例題可以看出，解全微分方程的關鍵是判斷方程是否是一個函數的全微分，如果是的話，求出原函數就可以得到方程的通解。

綜上所述，一階常微分方程的求解最終都是歸結為積分法，但是不同類型的方程又有各自不同的解法。因此我們在教學時，首先要求學生要注意認真審題，認清方程的類型，掌握各種類型方程的解法。學生只有通過做各種不同類型的題進行比較，才能熟練掌握解題技巧，提高應變能力，開闊解題思路，為以后學好高階常微分方程的求解打下一個良好的基礎。