淺談含參量無界函數反常積分

摘 要:本文定義了含參量無界函數反常積分，并給出了使其一致收斂的判定準則。

關鍵詞:含參量無界函數反常積分一致收斂

中圖分類號:O172文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(b)-0158-01

積分問題一直是數學分析的一塊重要內容.關于含參量無窮積分的各種定理已有完整理論體系，而含參量無界函數反常積分被提及很少.本文主要研究含參量無界函數反常積分定義，并給出了使其一致收斂的判定準則。

設在上有定義.若對的某些值，為函數的瑕點，則稱為含參量的無界函數反常積分，簡稱含參量反常積分.若對，積分都收斂，則其積分值是在上取值的函數.含參量反常積分在上一致收斂的定義是:對，，當時，對，有，則稱含參量反常積分在上一致收斂.

定理1:在上一致收斂當且僅當對，，當時，對，有.

證必要性:在上一致收斂可知，對，，當時，對，有:

，，

充分性:對，，當時，對，有.由瑕積分的柯西收斂準則知收斂.對，，當時，對，有:

，當，有:

，在上一致收斂.

定理2:在上一致收斂當且僅當對任一趨于的遞增數列(其中)，函數項級數在上一致收斂.

證:必要性:在上一致收斂，故對，，當時，對，有.又，對，，當，有，，在上一致收斂.

充分性:反證法，假設在上不一致收斂，則.對，和，使≥，取，則和，使≥，一般的取，有和，使≥，所得數列是遞增，且.考察級數，由≥知，對，只要，有，使≥，與在上一致收斂矛盾，故假設不成立.

以上是對含參量無界函數反常積分的相關定理研究，希望對廣大讀者有所幫助.

參考文獻

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