一道“三點共線”數學題多種解法的思考

摘 要:一題多解對于培養學生從不同角度、不同側面去分析問題、解決問題的能力有很大的作用，通過運用不同的方法和知識去推導，從而得出一樣的結論，可以加深學生對教材和知識的理解，同時提高他們的學習能力和學習興趣。

關鍵詞:三點共線解法一題多解

中圖分類號:O1文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(a)-0177-01

一題多解，就是對同一題目從不同的角度去分析和判斷，運用不同方法和知識去推導，從而獲取多種解決途徑。

在高中數學中，三點共線是常見的一種題型，雖然難度不大，但多種方法的運用展現了數學的魅力，給教師與學生留下了深刻的印象。

下面對一道“三點共線”數學題的多解進行講述

例:已知:A(2，1)，B(3，2)，C(6，k)三點共線，求k的值。

1 用向量的知識求解

∵A、B、C三點共線

∴與共線

∴由AB的坐標為(1，1)，BC的坐標為(3，k-2)可得 3＝k-2

∴k＝5

解析:這種方法需要掌握向量共線的條件。

2 用斜率的知識求解

∵A(2，1)，B(3，2)，C(6，k)三點共線

∴直線AB的斜率等于BC的斜率

又∵直線AB的斜率為1，直線BC的斜率為

∴k-2＝3

∴k＝5

解析:這種方法需要掌握斜率公式

3 用方程的知識求解

∵A(2，1)，B(3，2)，C(6，k)三點共線

∴點C在直線AB上

又∵直線AB的方程為＝即x-y-1=0

∴6-k-1＝0

∴k＝5

解析:這種方法需要掌握直線方程的求法

4 用定比分點的知識求解

∵A(2，1)，B(3，2)，C(6，k)三點共線

∴與共線

令＝

則＝=

∴2＝==+

∴k＝5

解析:這種方法需要掌握定比分點坐標公式

5 用函數的知識求解

∵A(2，1)，B(3，2)，C(6，k)三點共線

∴由一次函數的圖象是直線而且解析式為y=kx+b(k≠0)可得

解得k＝1，b=-1

∴y=x-1

∴k=6-1=5

解析:這種方法需要掌握一次函數的應用

6 用長度的知識求解

∵A(2，1)，B(3，2)，C(6，k)三點共線

∴/AB/+/BC/=/AC/

∴+＝

∴2+32+(k-2)2+

=42+(k-1)2

∴=k+1

∴2[32+(k-2) 2]=(k+1) 2

∴k2-10k+25=0

∴(k-5)2=0

∴k=5

解析:這種方法需要觀察圖形來發現長度之間的關系，要求掌握兩點間距離公式。

我認為要學好、用好一題多解，需要注意以下幾個問題。

6.1 學生對知識的掌握要全面、常用

有了豐富的知識，才能會做各種類型的題目，而牢固地掌握知識才能在運用上得心應手，這是一題多解的前提。

6.2 學生要有充分的想象能力具備數形結合考慮問題的能力

通過數形結合可以讓學生找到不同的解法，從而在多種解法中尋找適合自己的方法。

6.3 教師要注意培養發散思維

發散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程，它具有流暢性、變通性和創造性的特征。加強發散思維能力的訓練是培養學生創造思維的重要環節。根據現代心理學的觀點，一個人創造能力的大小，一般來說與他的發散思維能力是成正比例的。因此，在教學中，培養學生的發散思維能力對完成一題多解的教學過程很重要。

6.4 教師要遵循啟導性原則

教師充分利用“學生渴求他們未知的、力所能及的問題”的心理，能培養學生的創新興趣。利用數學中圖形的美以及數學中的歷史人物、典故、數學家的童年趣事、某個結論的產生等等能激發學生的創新興趣。因此，恰當地對學生進行啟發引導，能讓學生縮短考慮的時間，并且在自然中讓學生多角度地去觀察和分析，從而更快地發現多種解法。

6.5 有明確的目的

通過一題多解，要達到鍛煉學生的思維，拓寬學生的思路，增長學生的知識，培養和提高學生靈活解答問題的能力。所以，要根據不同的教學需要去安排教學內容、教學活動、教學方法的形式和手段，才能有利于實現這個根本目的。

6.6 教師要有獨到的洞察力

一道題是否有多種解法，有幾種解法，適合不適合學生做，都需要教師能夠發現或加以改動，才能讓學生在做題中學到不同的方法，甚至達到舉一反三的效果。

6.7 給學生更多獨立思考的機會

教師要重視師生之間、學生之間的交流。在交流和比較中，能讓每一個學生在面對數學問題時獨立思考，盡可能自己找出解決問題的方法。教師要充分地鼓勵學生發現問題，提出問題，討論問題，解決問題，通過質疑、解疑，在一題多解中讓學生具備創新思維、創新個性、創新能力。

6.8 要注意把握做這種題的時間

如果學生對有關的知識和技能沒有熟練掌握，就談不上靈活運用，就談不上縱向、橫向聯系，也就不能進行一題多解。所以，做這種題，一般是在學生對某一部分知識或某幾部分知識熟練掌握的時候，在綜合練習時進行。學生對基礎知識掌握得越深刻，越透徹;基本技能越嫻熟，越靈活，就越能夠進行一題多解。

6.9 選題要得當，方法要靈活

并不是任何一道題都有多種解法，選題得當是學生一題多解的前提條件。要根據學生學習的具體情況和實際教學需要，靈活選擇教學方法。既要能夠一題多解，又要顧及班上差生、好生的具體情況，使差生也能想出幾種解法，使好生有用武之地，也使差生有自豪感;只有這樣，才能調動全班學生的學習積極性，取得好的教學效果。

6.10 要注意題目的使用數量

過多的題目容易導致學生的思維疲勞，甚至產生厭煩的心理。要通過適當的、典型的訓練題目，達到最佳的教學效果，提高學生對數學的樂趣。

總之，中學階段是學生思維最為活躍的階段之一。學生的求知欲最為強烈，并且理解能力和學習能力是最為活躍，因此，對中學生進行創新能力、思維能力、分析和解決問題能力的培養是最有成效的。而數學作為一門應用最為廣泛、最能培養創造性思維和問題解決能力的基礎課程，其在培養學生的能力上具有獨特的優勢。