反射棱鏡物像坐標變化判斷方法的比較研究

摘 要:在光學設計和光學加工過程中，反射棱鏡的物像坐標變化判斷是非常重要的問題，也是《應用光學》等課程中的教學重點和難點。文中對比研究了四種反射棱鏡的物像坐標變化判斷方法的各自優缺點，并提出了一種簡單高效易記的方法。

關鍵詞:反射棱鏡物像坐標變化判斷

中圖分類號:O435文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(a)-0004-01

目前，在現有教材中主要有四種關于反射棱鏡的物像坐標變化的判斷方法，鑒于反射棱鏡的物像坐標變化判斷是在光學設計和光學加工過程中非常重要的問題，也是《應用光學》等課程中的教學重點和難點，為此文中分析這些方法的各有優缺點，以利于理解和應用。

第一種判斷方法，即反彈折轉法:

本方法假設x軸與入射光軸重合，y軸位于棱鏡主截面內，z軸垂直于主截面;x/y/z/表示xyz坐標通過棱鏡系統后像的方向。設想有一支筆，一頭是尖，一頭是尾，將筆垂直光軸放置，并使之與y/軸和z/軸重合，用筆尖代表y/軸和z/軸的方向，將筆沿光軸x移動，先碰到反射面的尖或尾反彈到反射后和光軸垂直的位置，這時筆尖代表的方向就是經過這一反射面后y/軸和z/軸的方向[1]。

方法點評:本方法對于簡單的棱鏡系統雖簡便易行，但不能顯示出規律，尤其對于復雜的棱鏡系統很容易搞錯。

第二種判斷方法:

本方法定義物體的三個坐標分別取:①沿著光軸(如z軸);②位于主截面內(如y軸)③垂直于主截面(如x軸)。按照平面鏡成像的物像對稱性，可以用幾何方法判斷出棱鏡系統對各坐標軸的變換，歸納如下:1)沿著光軸的坐標軸在整個成像過程中始終保持沿著光軸，并指向光的傳播方向。2)垂直于主截面的坐標軸在一般情況下保持垂直于主截面，并與物坐標同向。但遇有屋脊面時，每經過一個屋脊面反向一次。3)在主截面內的坐標軸，由平面鏡的成像性質來判斷，根據反射鏡具有奇次反射成鏡像，偶次反射成一致像的特點，首先確定光在棱鏡中的反射次數，再按系統成鏡像還是一致像來決定該坐標軸的方向:成鏡像時反射坐標左右手系改變，成一致像時反射坐標系不變。在統計反射次數時，每一屋脊面被認為是兩次反射，按兩次反射計數。

方法點評:本方法判斷像空間坐標時的順序是z軸→x軸→y軸，不是正常的邏輯順序，難理解，易記錯;x軸的判斷方法不清晰，沒有說明屋脊面的奇偶次情況;但y軸的判斷思路較清晰。

第三種判斷方法:

本方法對于單光軸面棱鏡系統，設物為左手坐標系統xyz，Oz軸為光軸方向，yOz面和主截面重合，Ox軸垂直于主截面，并和所有的反射面平行，通過棱鏡組后的坐標為x/y/z/。棱鏡系統的轉像可由以下原則確定[3]:1)O/z/軸和光軸出射方向一致。2)O/x/軸方向視棱鏡組中屋脊棱鏡的個數而定。沒有或偶數個屋脊面，O/x/和Ox同向;奇數個屋脊面，O/x/和Ox反向。3)棱鏡組中反射次數(屋脊算兩個面)而定。奇數次反射，O/y/方向按x/y/z/為右手坐標系來確定，偶數次反射按x/y/z/為左手坐標系來確定。

方法點評:本方法判斷像空間坐標時的順序是z/軸→x/軸→y/軸，不是正常的邏輯順序，難理解，易記錯;沒有指出在判斷y/軸時的反射次數是光軸反射還是系統總反射次數，表述不清晰。

第四種判斷方法:

本方法在物空間取一直角坐標xyz，x軸與入射光軸重合，y軸位于棱鏡主截面內，z軸垂直于主截面;x/y/z/表示xyz坐標通過棱鏡系統后像的方向，但并不表示其位置。顯然x/軸與出射光軸重合，因此我們需確定y/軸和z/軸的方向。確定y/軸和z/軸方向的方法是[1]:

1)垂直于主截面的z軸。沒有屋脊面或者偶數個屋脊面時，z/與z同向;有奇數個屋脊面時，z/與z反向。2)位于主截面內的y軸;光軸同向:主截面內光軸反射次數為偶數，y/與y同向;反射次數為奇數，y/與y反向。光軸反向:主截面內光軸反射次數為偶數，y/與y反向;反射次數為奇數，y/與y同向。主截面內的反射次數，屋脊面只計算一次;系統的總反射次數，屋脊面計算兩次。3)與光軸重合的x軸。沿著光軸進行的方向，即為x/ 與x的對應方向。在x/、y/和z/三個坐標中，只要任意地確定了兩個，第三個就可以根據系統的總反射次數和物像空間的坐標關系來確定。一般x/的方向是已知的，因此y/和z/中只要用前面的規則確定了其中的一個，另一個就可以根據總反射次數來確定。

方法點評:本方法判斷像空間坐標時的順序是z/軸→y/軸→x/軸，不是正常的邏輯順序，難理解，易記錯;本方法區分了光軸反射次數和系統總反射次數，本意是好的，但反而讓人容易搞混淆，使用時經常出差錯。

鑒于上述四種方法的各自優缺點，文中提出了一種簡單高效易記的判斷方法:設物空間坐標系為:x軸與入射光軸的方向一致;y軸垂直于主截面;z軸位于棱鏡主截面內，則像空間坐標系的判斷方法是:第一步:x/與光軸出射方向一致。第二步:屋脊面個數為0、2、4、6、...時:y/與y同向。屋脊面個數為1、3、5、7、...時:y/與y反向。簡便記憶方法:y/看屋脊面，偶次則相同。第三步:系統總反射次數為0、2、4、6、...時，用成一致像性質判斷z/。系統總反射次數為1、3、5、7、...時，用成鏡面像性質判斷z/。注意:每遇到一次屋脊面，則總反射次數計為兩次。簡便記憶方法:z/看系統總反射次數偶次則成一致像。

本方法的顯著優點是:判斷像空間坐標時的順序是x/軸→y/軸→z/軸，是正常的邏輯順序，易記憶。x/軸方向的判斷方法非常簡單實用，一般不要強化記憶就可以掌握。y/軸方向的判斷方法只與屋脊面有關，不用再判斷光軸的次數，又因為奇次情況與偶次情況恰相反，所以不用記憶奇次情況的規律，這樣也就不易產生混淆。z/軸方向的判斷方法只需要計算系統中總反射次數，成一致像的意思是物像空間坐標系一致;成鏡面像的意思是物像空間坐標系不一致，而不用考慮物空間是左手坐標系還是右手坐標系。這樣一個很復雜的反射棱鏡物像空間坐標變化判斷問題利用本方法只需要記住三句話就輕松解決了，即“x/與光軸出射方向一致，y/看屋脊面偶次則相同，z/看系統總反射次數偶次則成一致像。”

參考文獻

[1]安連生.應用光學[M].北京:北京理工大學出版社，2002.

[2]李湘寧.工程光學[M].北京:科學出版社，2005.

[3]張以謨.應用光學[M].北京:電子工業出版社，2008.