排列組合問題的解題策略

摘 要:排列、組合應用題在每年高考的重要內容，本文對近幾年常出現的排列組合問題進行了整理和歸類，大致可總結為:排組分清，加乘明確;有序排列，無序組合;分類為加，分步為乘。

關鍵詞:排列、組合元素位置主體

中圖分類號:G633文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)05(c)-0202-01

排列組合問題是中學數學的重要內容之一，是學習概率的基礎。該部分內容，不論其思考方法和解題方法都有特殊性:概念性強，抽象性強，思維方法新穎，解題過程極易犯“重復”和遺漏的錯誤，并且結果數目較大，無法一一檢驗，因此給學習帶來一定困難。

縱觀近幾年高考，排列組合問題幾乎每年必考，特別是與概率或概率分布問題結合在高考中占有相當的比重。

1 相鄰問題——整體捆綁法

對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁并看作一個元素再與其他元素進行排列，同時對相鄰元素進行自排。

例1．7名學生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？

解:兩個元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。

2 不相鄰問題——插空法

對于不相鄰問題，可以先安排好沒有限制條件的元素，然后在排好的元素之間的空位和兩端插入不能相鄰的元素。

例2．7名學生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？

解:甲、乙二人不相鄰的排法一般應用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數應為:種。

3 復雜問題——總體排除法

在直接法考慮比較難，或分類不清或多種時，可考慮用“排除法”，解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構成元素的限制。

例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有個。

解:從7個點中取3個點的取法有種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有－3＝32個。

4特殊元素——優先考慮法

對于含有限定條件的排列組合應用題，可以考慮優先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考題)1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種。

解:先考慮特殊元素(老師)的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有種，而其余學生的排法有種，所以共有＝72種不同的排法。

例5．(2000年全國高考題)乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種。

解:由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有種排法，所以不同的出場安排共有＝252種。

5多元問題——分類討論法

對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。

例6．(2003年全國高考試題)如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰地區不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種。(以數字作答)

解:區域１與其他四個區域相鄰，而其他每個區域都與三個區域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色．用三種顏色著色有 =24種方法，用四種顏色著色有=48種方法，從而共有24+48=72種方法，應填72。

6混合問題——先選后排法

對于排列組合的混合應用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略。

例7．(2002年北京高考)12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有( )

A．種B．種

C．種D．種

解:本試題屬于均分組問題。則12名同學均分成3組共有種方法，分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有:種，故選A。

例8．(2003年北京高考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有( )

A．24種B．18種C．12種D．6種

解:先選后排，分步實施.由題意，不同的選法有:C32種，不同的排法有:A31·A22，故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12，故應選C。

7相同元素分配——檔板分隔法

例9．把10本相同的書發給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數不小于其編號數，試求不同分法的種數。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？

本題考查組合問題。

解:先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書;再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當于在7本相同書之間的6個“空檔”內插入兩個相同“I”(一般可視為“隔板”)共有種插法，即有15種分法。

總之，排列、組合應用題的解題思路可總結為:排組分清，加乘明確;有序排列，無序組合;分類為加，分步為乘。

具體說，解排列組合的應用題，通常有以下途徑:1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不合要求的排列組合數。