利用微分方程將函數展開為冪級數

摘 要:本文給出了利用微分方程展開冪級數的方法，對于導數中含有原來函數因式的某些函數，比如含有指數函數的函數、含有可變上限積分的函數、分式函數等等，本方法在使用上較為簡便。

關鍵詞:微分方程冪級數Taylor級數展開式復變函數

中圖分類號:G4文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)05(c)-0134-02

將初等復變函數展開為Taylor級數的方式通常有兩類，即直接法和間接法。直接法需要計算的各階導數，而其階導數的一般表達式往往很復雜，不易直接表示出來，因此，人們總是避免用直接法而采用間接法。因為函數展開式是唯一的，所以兩種方法所得結果一樣。常用的間接法有:通過變形或變換，利用已知的Taylor展開式;利用級數的逐項積分或逐項求導;利用兩個已知級數的相乘或相除;等等。這些方法在文后所列的許多專著中都有比較詳細的說明。但是，如果難以找到可以利用的已知展開式，上述方法就難以實現了。本文將針對研究利用微分方程將其展開為冪級數的方法。

1 本方法的思路

以處的展開式為例。先對函數求導，因為導數中含有原來函數因式，將其還原為原來函數，得到一個微分方程

。 (1)

假設

， (2)

求導，得

， (3)

將(2)式和(3)式代入(1)式，得恒等式

。

當、和都為已知展開式的函數時，通過比較系數法確定的值后，代入⑵式，即可得到函數的Taylor展開式。

2 應用類型

本方法可以應用于以下三種類型的函數:

類型I:型函數

求導，得，因為，得微分方程

。

當為多項式函數或已知展開式的初等復變函數時，將(2)式和(3)式代入上式，通過比較系數法確定，便可以得到函數的Taylor展開式。

類型II:

求導，得，

因為，代入上式并整理，得微分方程

。

當和為多項式函數或已知展開式的初等復變函數時，可通過比較系數法確定函數的Taylor展開式的系數。

類型III:

求導，得:

，

因為，代入上式并整理，得微分方程

‘

當和為多項式函數或已知展開式的初等復變函數時，可通過比較系數法確定函數的Taylor展開式的系數。

3 應用舉例

僅舉一例說明本方法的應用。

例:當時，求函數（是正整數）在點處的Taylor展開式。

解:積分方程兩端求導，得:

，

，

因為，代入上式得微分方程

。(4)

假設當時，有:

，

則:，

逐項積分，得:

，

根據級數的乘法可知，

(5)

其中:，，，

，……

均為待定系數。

對式(5)求導，得:

， (6)

將式(5)和式(6)代入式(4)，得:

，

比較的同次冪系數，可得:

;

，解得;

，解得;

，解得;

……

由此可以推證出第個系數為:

。

所以，在點處的Taylor展開式為:

。

當然，可以用微分方程法展開為冪級數的函數不只限于上面三種類型，本文僅僅是對這種方法進行了粗淺的研究，懇請同行予以補充和修正。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社，2002.

[2]陳傳璋，等.數學分析[M].北京:高等教育出版社，2004.

[3]劉玉璉.數學分析講義[M].北京:高等教育出版社，2003.

[4]吉米多維奇.數學分析習題集[M].北京:人民教育出版社，1980.

[5]劉連壽，王正清.數學物理方法[M].北京:高等教育出版社，2004.

[6]胡嗣柱，徐建軍.數學物理方法解題指導[M].北京:高等教育出版社，2006.

[7]鐘玉泉.復變函數論[M].北京:高等教育出版社，2004.