克龍尼克—潘納模型的能帶結構

摘 要:利用圖解法來確定一維周期勢作用下晶體的能帶結構。研究發現，當勢壘高度為零時沒有帶隙結構，隨著勢壘的增加在布里淵區邊界上出現帶隙。勢壘越高，能帶的最低能量越大，較低的允帶越窄;壘寬增大，能帶抬高;能量越高，允帶寬度越大，而禁帶寬度則越窄。相關研究有助于理解固體的能帶結構。

關鍵詞:能帶結構 克龍尼克—潘納勢 布里淵區 色散曲線

中圖分類號:TN2文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(b)-0083-02

1 引言

能帶理論是固體物理學的核心內容。計算固體能帶結構的方法有很多，如平面波法、近自由電子近似、緊束縛近似、正交化平方波法等[1]。實際固體是一個復雜的多體系統，上述的每一種計算方法都是近似理論，在一定的條件下可以對固體的能帶結構進行相關描述。

為了對固體的能帶結構有一個較為清晰的認識，不少參考書都舉一個簡單的模型，周期勢是一維的克龍尼克—潘納勢(Kronig-Penney)來進行圖示說明[2]。目前的制備技術，人們可以通過分子束外延(MBE)，或金屬有機物化學氣相沉積(MOCVD)等技術制備出人造晶格，如GaAs /AlGaAs超晶格[3-4]。在這類材料中，由于兩種成份的帶隙不同，使得電子在其中的運動受到周期性勢壘的作用，而這種周期勢就可視為一維的克龍尼克—潘納勢[5]。

本文以克龍尼克—潘納勢為研究內容，通過一種新穎的圖解法給出其能帶結構，并了解不同參數對能帶的影響。

2 模型及理論

一維克龍尼克—潘納勢模型如圖1所示，粒子勢壘高，寬，勢阱寬，為晶格常數。

勢能為，其他區域的勢能為，為任意常數。

通過求解薛定諤方程，并結合布洛赫定理，可以得到如下方程:

(1)

式中:能量，，，。由于(1)式中、都是能量(無量綱數)的函數，故方程(1)是能量必須滿足的一個超越函數方程。設方程右邊表達式值為，則當時，布洛赫波數為實數，相應的給出了粒子能量的允帶范圍;而當時，為虛數，相應的則為能量禁帶;則是允帶、禁帶的邊界。

3 分析與討論

3.1 圖解法

本文采用圖解法來進行研究。為了清晰了解各參數對能帶的影響，我們改寫(1)式，令，，為壘寬大小，則(1)式為

(2)

在平面內我們作出滿足的曲線來，如圖2所示。圖2給出了=0.5時的變化曲線。當、為實數時，相應的曲線如圖2右側所示。由于，當的取值小于時，為虛數，為此亦在圖2的左側繪出了為虛數，為實數時的相應變化曲線。圖2中，陰影區域為禁帶區域，而白色區域則為允帶區域。

對于其他值的變化曲線，帶結構與之相類似。此外，(2)式中的、值滿足:

(3)

對于不同的勢壘高度，(3)式表示的方程曲線如圖3所示，圖3中同樣繪出了取實數、虛數時的曲線形狀。

可見要求解方程(1)，我們只要利用方程(2)、(3)所示的曲線交點(如圖2所示)，即可給出解的結構。

3.2 能帶結構

根據圖2，當時，方程(2)、(3)的交點所給出的能帶結構，將出現禁帶(參閱圖4)，而當時，方程(3)為，是一條直線，在圖2中的交點不出現禁帶，這就是自由電子的情形，能帶結構如圖4所示。

可見勢壘的高度不同，晶體的能帶結構不同，圖4給出了=0.5時不同值的能帶變化圖。從中可以清晰看到，隨著的增大，電子的最低能量值將不再為零，而是隨之高升。允帶范圍也出現了明顯的變化，特別是能量較低的允帶，隨著的增大，將越來越窄。這很容易理解，很大時這就相當于一維無限深勢阱，較低能量的電子將不易穿透勢壘，不同阱間的電子影響小，相互之間的耦合弱，能量劈裂小，允帶窄。

此外，還可以看到一個現象，隨著能量的增大，允帶的寬度將越來越大，相應的禁帶寬度則越來越窄，這從圖2很容易看出這一規律。

上面的討論我們主要是針對壘寬=0.5來討論的。如果不同，由圖解法得到的能帶結構亦不同，圖5繪出了=0.2，0.5，0.8時不同值時的能帶結構，可以看到，隨著的增大，相應的能帶結構均有不同程度的提高。

4 結論

本文采用一種新穎的圖解法來確定一維周期勢作用下晶體的能帶結構。當勢壘高度為零時，實際上是自由電子情形，粒子能量，沒有帶隙結構;隨著勢壘高度的增大，粒子能量將出現帶隙結構，帶隙出現在波長(為整數)處，即禁帶出現在布里淵區邊界上。隨著的增大，最低能量逐漸升高，較低的允帶逐漸變窄。隨著壘寬增大，能帶逐漸抬高。隨著能量升高，允帶寬度逐漸增大，而禁帶寬度則逐漸變窄。

參考文獻

[1]胡安，章維益.固體物理學[M].北京:高等教育出版社，2005.

[2]曾謹言.量子力學導論[M].北京:北京大學出版社，1998.

[3]賀利軍，程興奎，張健，等.GaAs/AlGaAs超晶格的光致發光[J].量子光學學報，2006.

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