淺談數(shù)學(xué)思維在教學(xué)實(shí)踐中的靈活運(yùn)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-925X(2011)09-0142-02

作者簡(jiǎn)介：高小英，女（1976-)，籍貫：陜西，職稱(chēng)（職務(wù)）中教一級(jí)。

摘要：數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，不僅僅是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，而是為所有人的未來(lái)發(fā)展打下基礎(chǔ)；還在于培養(yǎng)人本質(zhì)看問(wèn)題的意識(shí)。更在于培養(yǎng)人的良好的思維習(xí)慣，形成良好的思維策略，增強(qiáng)人的反應(yīng)能力。那么在教學(xué)上如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力？提高他們解題思路與方法？下面從幾個(gè)不同角度展示思維靈活性的教學(xué)實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：思維 靈活 數(shù)學(xué) 教學(xué)實(shí)踐

Brief discussion on mathematical thinking in the teaching practice of flexibility in the use of

Gao Xiaoying

【Abstract】Mathematical thinking teaching， not only to train mathematicians， but for all the future lay the foundation for development; also lies in the culture of human nature problem consciousness. In cultivating the good habit of thinking， good thinking strategies， enhance human reaction ability. So in teaching how to cultivate students' thinking ability? Improve their problem-solving ideas and methods? The following from several different angles show the flexibility of thinking in teaching practice.

【Key Words】Thinking; flexible; mathematics; teaching practice

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，不僅僅是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，而是為所有人的未來(lái)發(fā)展打下基礎(chǔ)；還在于培養(yǎng)人本質(zhì)看問(wèn)題的意識(shí)。更在于培養(yǎng)人的良好的思維習(xí)慣，形成良好的思維策略，增強(qiáng)人的反應(yīng)能力。那么在教學(xué)上如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力？提高他們解題思路與方法？下面從幾個(gè)不同角度展示思維靈活性的教學(xué)實(shí)踐。

1 來(lái)自心里過(guò)程的數(shù)學(xué)思維是思維靈活性的根本保證

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，學(xué)生首先要把所學(xué)的知識(shí)同它的腦海中的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行類(lèi)比，比較，辨析，從而使新的知識(shí)納入原有的知識(shí)框架，這就產(chǎn)生了聯(lián)系的正確與否，緊密與否，合理與否等問(wèn)題。這就是來(lái)自心里過(guò)程的數(shù)學(xué)思維。從而要求學(xué)生對(duì)課本中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的深刻理解與熟練掌握，如果沒(méi)有扎實(shí)基本功或基礎(chǔ)不扎實(shí)，那么思維的靈活性就大打折扣，因此，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)“雙基”的教學(xué)。

例1 M為橢圓，x24＋y23＝1上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，定點(diǎn)P(1，1)

求|MP|＋2|MF|的最小值

圖1

分析 多數(shù)學(xué)生首先考慮到用兩點(diǎn)的距離公式|MP|＋2|MF|，但這樣求解式子更為復(fù)雜且運(yùn)算量特別大。提示學(xué)生能否用橢圓的第二定義間接求值，然后要求學(xué)生獨(dú)立思考，看誰(shuí)最先完成而且整理規(guī)范，從而激發(fā)學(xué)生的探求欲望。

解如(圖1)，易見(jiàn)拋物線的右準(zhǔn)線l：x＝4 作MQ⊥l于Q，由橢圓的第二定義知，2|MF|＝|MQ|，故|MP|＋2|MF|＝|MP|＋|MQ|≥|PQ|

顯然，P、M、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|MP|＋2|MF|最小，此時(shí)PQ⊥l，Q(4、1)，故|PQ|＝3，故所求最小值為3。

用橢圓的第二定義是解決本題的關(guān)鍵，可見(jiàn)：抓好“雙基”教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性方面顯得十分重要。

2 求同思維傾向和求異思維傾向是思維靈活性的重要支柱

2．1 有的學(xué)生的思維風(fēng)格是“多入一出”型，多個(gè)信息輸入，一個(gè)信息輸出，這種思維我們稱(chēng)為求同思維，也叫集中思維。這種思維嚴(yán)格按照既有的理論知識(shí)，即既有的公式，定理，法則，使思維規(guī)范化，采用既有的最好的模式，掌握知識(shí)的一般規(guī)律。而另一些學(xué)生，則較多地存在“一入多出”的思維風(fēng)格，一個(gè)信息輸入，多個(gè)信息輸出，也就是依據(jù)定理，公式法則或已知條件，產(chǎn)生多種想法，廣開(kāi)思路，提出新的假設(shè)和新的構(gòu)想，發(fā)現(xiàn)和解決新的問(wèn)題，這種思維就是所謂求異思維，也稱(chēng)為發(fā)散思維。

比如例1問(wèn)題的解決就著重思考。2|MF|表示什么，“2”與橢圓中的哪個(gè)量有關(guān)系？從這里學(xué)生可以自主探索一系列問(wèn)題。

變式一 M為雙曲線x2－y23＝1上一點(diǎn)，P為(2，1)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)

求|MP|＋12|MF|的最小值并求出M的坐標(biāo)。

變式二 M為拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，定點(diǎn)p(3，1)，求|MP|＋|MF|的最小值。

并由此讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義有了進(jìn)一步理解和掌握，從而又讓學(xué)生自主探究，變化得

變式三 已知p(3，1)直線l(x＋y＋1＝0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足|x＋y＋1|＝2(x-3)2+(y-1)2，則動(dòng)點(diǎn)M(x，y)表示的是什么軌跡。(拋物線)

變式四 動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足|x＋y＋1|＝(x-3)2+(y-1)2，則動(dòng)點(diǎn)M(x，y)表示的是什么軌跡。(雙曲線)

變式五動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足|x＋y＋1|＝2(x-3)2+(y-1)2，則動(dòng)點(diǎn)M(x，y)表示的是什么軌跡。(橢圓)

從以上變式中，首先讓學(xué)生深刻理解點(diǎn)到直線的距離公式|x+y+1|2與兩點(diǎn)的距離公式（x-3）2+(y-1)2，再次把兩種不同的距離公式整合在一起，使學(xué)生對(duì)圓錐曲線有了更深層次的理解與應(yīng)用。

一題多變可以拓寬思路，增強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。

2．2 每一個(gè)思維過(guò)程都有與之相反的思維過(guò)程，從一種正向思維轉(zhuǎn)向反向思維，即逆向思維。

例2 若點(diǎn)A(1，2)既在函數(shù)f(x)＝ax+b的圖象上，又在其反函數(shù)的圖像上，求a、b的值。

分析 利用點(diǎn)(a，b)在函數(shù)f(x)的圖像上點(diǎn)(b，a)又在反函數(shù)f－1(x)的圖象上，則不必求出反函數(shù)f－1(x)的解析式。

解 因?yàn)辄c(diǎn)(1，2)在函數(shù)f(x)＝ax+b的圖象上，所以a+b＝2①，又因?yàn)锳(1，2)在其反函數(shù)f－1(x)圖上，故點(diǎn)A1(2，1)在函數(shù)f(x)＝ax+b的圖象上，所以2a+b＝1②，①②可得a＝－3，b＝7

加強(qiáng)對(duì)學(xué)生求同思維傾向和求異思維傾向的培養(yǎng)，在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程有著事半功倍的效果。

3 縱向思維，橫向思維，是思維靈活性的關(guān)鍵

積極的探索有利于發(fā)展思維，在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于提出的每一個(gè)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主探索，聯(lián)想已經(jīng)解決了同類(lèi)問(wèn)題。稱(chēng)為縱向思維，更應(yīng)注意問(wèn)題的多重性，將各類(lèi)不同知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的轉(zhuǎn)化，稱(chēng)為橫向思維，從而迅速找到問(wèn)題的解決。

例3 已知x＞0，y＞0，x2＋y2＝1，求x＋y的最大值

首先，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，由x2＋y2＝1聯(lián)系三角代換。

點(diǎn)評(píng)1 由x2＋y2＝1，且x＞0，y＞0

令x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈(0，π2)

則x＋y＝cosθ＋sinθ

＝2sin(θ＋π4)

∵θ∈(0，π2)∴θ＋π4∈(π2，34π)

故當(dāng)θ＝24時(shí)，(x＋y)max＝2

當(dāng)時(shí)這道題是在剛學(xué)完基本不等式解重要不等式時(shí)出的，緊接著有學(xué)生問(wèn)能不能用這兩個(gè)不等式進(jìn)行解答。

點(diǎn)評(píng)2 ∵2＝2x2＋2y2≥x2＋y2＋2xy

即2≥(x＋y)2

故x＋y≤2

當(dāng)且僅為x＝y(tǒng)＝22時(shí)，

(x＋y)max＝2

最后提問(wèn)學(xué)生滿足x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)，求出(x＋y)max，能否應(yīng)用可行域與目標(biāo)函數(shù)求最值的方法呢？組織學(xué)生討論并派代表回答。

圖3

點(diǎn)評(píng)3 如圖所示，x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)(1)表示第一象限的單位圓，設(shè)z＝x＋y，求x＋y的最大值，則求x＋y＝z在滿足(1)的條件下，求出直線x＋y＝z在y軸上的最大截距。故(x＋y)max＝2。

引導(dǎo)學(xué)生自主探索，加強(qiáng)知識(shí)縱向、橫向聯(lián)想的教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性、敏捷性和廣闊性。

4 創(chuàng)造性思維是加強(qiáng)思維靈活性的重要方面

對(duì)于某些一般抽象或復(fù)雜的問(wèn)題，似乎老覺(jué)得無(wú)從下手，但是如果對(duì)它們進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化，把問(wèn)題的環(huán)境轉(zhuǎn)化為熟悉的環(huán)境，然后進(jìn)行解決，那么問(wèn)題就迎刃而解。那么腦海轉(zhuǎn)化知識(shí)的過(guò)程就是思維創(chuàng)造的過(guò)程，這也就是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法

例4 求函數(shù)y＝2x-3＋37-x的值：

此題看似簡(jiǎn)單，但是許多學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，但仔細(xì)觀察(x－3)與(7－x)的關(guān)系，我們得到(x－3)＋(7－x)＝4為定值，那么我們通過(guò)換元u＝x-3 V＝7-x，則y＝2x-3＋37-x的值式，轉(zhuǎn)化為y＝2u＋3v在u2＋v2＝4，u、v∈［0，2］可行式中的目標(biāo)函數(shù)的最值。

圖4

點(diǎn)評(píng) 令u＝x-3 v＝7-x(3≤x≤7)則u2＋v2＝2

u、v∈［0，2］又y＝2u＋3v

由圖可知 ymax＝213 ymax＝4

故所求值式為［4，213］

數(shù)學(xué)思維靈活性的數(shù)學(xué)，需要教師多方面加強(qiáng)引導(dǎo)培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生積極的探索，靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行推理，從而更能有效地解決問(wèn)題的途徑。

參考文獻(xiàn)

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