對(duì)教材一道習(xí)題的再挖掘

中圖分類號(hào)：G634文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-925X(2011)09-0170-01

摘要：通過(guò)對(duì)高三復(fù)習(xí)中遇到的一道題的再認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)，這是一道由課本習(xí)題改編而成的題目，從不同角度和方法對(duì)教材上這道題目進(jìn)行解答，不但拓寬思路，而且引起我們對(duì)課本習(xí)題的輻射作用的重視。

關(guān)鍵詞：教材習(xí)題方法再挖掘

在高三的復(fù)習(xí)中曾做過(guò)這樣一道題目：已知a，b，c是△ABC的三條邊，比較大小（a＋b＋c）24（ab＋bc＋ca）。這道題的解答可以用特殊值法。取a＝b＝c＝1，得（a＋b＋c）2＝9，4（ab＋bc＋ca）＝12，所以（a＋b＋c）2＜4（ab＋bc＋ca）。后來(lái)閱讀教材發(fā)現(xiàn)，將這道題稍微變形，就是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）第33頁(yè)B組的第6題：設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）。這道題的解法緊緊圍繞三角形的邊的特征，依據(jù)不同的思維，不同的入口結(jié)合不等式證明的不同方法，可以得到不同的證法。并且依據(jù)已經(jīng)證明的結(jié)論，還可以進(jìn)行引申。

1 常規(guī)思維法，不等式的證明最基本的方法就是作差比較法，基于此，有如下的解法：

證法一：∵ a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）

＝a2 －2ab＋b2＋c2－2ac＋a2＋c2－2bc＋b2－a2－b2－c2

＝（a－b）2＋（c－a）2＋（c－b）2－a2－b2－c2

＝（a－b）2－c2＋（c－a）2－b2＋（c－b）2－a2

＝（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）

又∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a－b＋c＞0 a－b－c＜0 c－a＋b＞0

c－a－b＜0 c－b＋a＞0 c－b－a＜0

∴（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）＜0

∴ a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）

利用不同的組合，仍然利用作差比較法可以得到

證法二：∵a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）

＝（a2－ab－ca）＋（b2－ab－bc）＋（c2－bc－ac）

＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）

＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕

又∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a

利用兩邊都是正數(shù)的同向不等式可以相乘，得到

∴a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）＞0

∴ －〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0

∴a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）

2 利用分析法，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系和兩邊都是正數(shù)的同向不等式可以相乘的性質(zhì)可以得到

證法三：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a

利用同向正則不等式可以相乘，得到

a(b＋c)＞a2 b(a＋c)＞b2 c(a＋b)＞c2

又∵ 2（ab＋bc＋ca）

＝ab＋ac＋bc＋ba＋bc＋ac

＝a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)＞a2＋b2＋c2

∴ a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）

在討論題目的證明過(guò)程中，有的同學(xué)想到了這樣的證明方法：

證法四：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a－b＜c， b－c＜a，a－c＜b

∴（a－b）2＜c2， （b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2

上述三個(gè)不等式相得

（a－b）＋（b－c）2＋（a－c）2＜a2＋b2＋c2

即a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）

這種證明簡(jiǎn)明扼要，非常優(yōu)秀，說(shuō)明學(xué)生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由a－b＜c， b－c＜a，a－c＜b就一定推出（a－b）2＜c2， （b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2的推理不嚴(yán)謹(jǐn)，師生共同改進(jìn)證明方法可以得到下列優(yōu)秀證法

證明：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴|a－b|＜c， |b－c|＜a，|a－c|＜b

∴（a－b）2＜c2， （b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2

上述三個(gè)同向不等式相得

（a－b）＋（b－c）2＋（a－c）2＜a2＋b2＋c2

即a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）

題目證明完成后，進(jìn)一步引申，可以得到下面的命題：

已知a，b，c為△ABC的三邊，求證：關(guān)于x的不等式

x2＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc＞0的解集為R。

證明：∵ a，b，c為△ABC的三邊

x2＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋b

＝（x＋a+b+c2）2－(a+b+c2)2＋ab＋ac＋bc

＝（x＋a+b+c2）2＋14〔4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）2〕

由前面的命題可知

（a＋b＋c）2－4（ab＋ac＋bc）

＝a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）

＝（a2－ab－ca）＋（b2－ab－bc）＋（c2－bc－ac）

＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）

＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0

∴4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）2＞0

又∵（x＋a+b+c2）2＞0

∴（x＋a+b+c2）2＋14〔4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）2〕＞0恒成立

∴關(guān)于x的不等式x2＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc＞0的解集為R

由上面的證明可以看出，精心研究習(xí)題的解答，重視課本習(xí)題的輻射作用，無(wú)論對(duì)教師和學(xué)生都是極其有利的。