幾何證明中中點的輔助線作法

我們在平時的數(shù)學學習中，幾何題的證明往往存在著一定的難度.而添加輔助線的問題，一直是幾何證明的難點，很多同學往往感覺無從下手，理不出頭緒，找不到問題的切入點.根據(jù)我個人在平時做的幾何證明題中的感悟，對幾何證明中，涉及中點問題的相關輔助線作法，進行了簡單的歸納總結，希望能給大家在這類問題的證明上，能有啟發(fā)，能有幫助.

一、連接中點，構造中位線

如果已知的條件中，有兩個中點，那么一般是連接這兩個中點，形成中位線，利用中位線的性質(zhì)：平行于第三邊，且等于第三邊的一半來進行證明.

例1如圖所示，點G，F(xiàn)分別是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊的中點，其中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接DC，點P是線段CD的中點，試探索∠GPF與α的關系，并加以證明.如果反復探索無結論，從圖2或圖3中選擇一個進行解答.

已知：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，BG=CG，DF=ED.求證：∠GPF與α的關系.

用圖3猜結論，用圖2想證法，用圖1寫證明.

圖1圖2圖3

猜想如圖3∵F，P為DE，CD中點，

∴FP為△DEC的中位線，

∴FP∥CE，

∴∠4=∠1，

又∵∠5=∠3+∠2（將欲證的角分解為幾個小角），

P，G為DC，CB的中點，

∴GP為△DBC的中位線，

∴GP∥DB，

∴∠3=∠6，

∴∠5=∠6+∠2.

又∵∠GPF=∠4+∠5，

∴∠GPF=∠1+∠2+∠6.

∵∠1+∠2+∠6+∠4=180°，∠A=α，

∴∠1+∠2+∠6=180°-α(發(fā)現(xiàn)∠GPF與α的關系).

即∠GPF=180°-α.

證法1如圖2，∵有多個中點，∴想到中位線.

∴連接BD，CE（構成中位線）.

∵等腰三角形ABC，等腰三角形ADE，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α.

∴在△ABD和△ACE中，AB=AC，

∠BAC=∠DAE，

AD=AE.

∴△ABD≌△ACE，

∴∠1=∠2.

又∠BOA=∠COD，

∴∠BAC=∠OQC(特征圖形，“8”字形).

∵∠BAC=α，∴∠OQC=α.

∵F，P為DE，CD中點，

∴FP∥CE，

∴∠GPF=∠GHQ.

又∵P，G為DC，CB的中點，

∴GP∥DB，

∴∠GHQ+∠BQH=180°，

∴∠GPF+∠BQH=180°.

∵∠BQH=α，

∴∠GPF=180°-α.

證法2如圖4，在AC上取中點M，在AD上取中點N，連接GM，MP，NP，F(xiàn)N.

∵G，M為CB，AC的中點，N，P為AD，CD的中點，

圖4

∴GM∥AB，GM=12AB，PM∥AC，PM=12AC.

∵等腰三角形ABC中，AB=AC，

∴GM=PM.

∵M，P為AC，CD的中點，N，F(xiàn)為AD，ED的中點，

∴MP∥AD，MP=12AD，NF∥AE，NF=12AE.

∵等腰三角形ADE中，AD=AE，

∴NF=MP.

∵∠BAG=∠DAE=α，

∴∠BAG+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE.

∵GM∥AB，MP∥AD，PN∥AC，NF∥AE，

∴∠BAC=∠GMC，∠CAD=∠CMP，∠CAD=∠PND，∠DAE=∠DNF.

∴∠GMP+∠CMP=∠PND+∠DNF.

即∠GMP=∠PNF.

在△GMP與△PNF中，GM=PN，

∠GMP=∠PNF，

MP=NF，

∴△GMP≌△PNF.

∴∠MGP=∠NPF.

∵AC∥NP，∴∠MPF=∠CMP.

∴∠GPF=∠GPM+∠MPN+∠NPF

=∠GPM+∠CMP+∠MGP

=180°-∠GMC.

∵AB∥GM，∴∠GMC=∠BAC=α.

∴∠GPF=180°-α.

圖1輔助線如圖5，請讀者自行完成證明.

圖5

二、中點是一條線段的對稱中心，充分利用這個對稱中心，將相關三角形繞中點旋轉(zhuǎn)180°，構造中心對稱圖形，也就是我們同學常說的倍長中線

例2如圖6，矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，成矩形GFED，M，N分別是GD，AD中點，連接FC與MN交于點O.探索OF與OC的數(shù)量關系.

圖6

若證明數(shù)量關系，應證明包含這兩條線段的兩個三角形全等.下面想辦法證明△FOH≌△COM.

∵∠OHF=∠OCM，∠OHF=∠OMC，

∴FH=MC.

證明∵GD=AD，M，N分別是GD，AD中點，

∴DM=12GD，ND=12AD，

∴DM=DN.

∵∠GDA=90°，

∴∠NMD=∠DNM=(90°)×12=45°.

則△NEH為等腰直角三角形，∴NE=HE.

∵CM=DM+DC=DM+DE=DM+DN-NE=2DM-NE=DG-NE=EF-EH=FH，

∴△FOH≌△COM.

在證明了上圖問題的結論后，我又在此基礎上將這道題目的證明范圍進行了拓展，如下：

如圖，若矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)任意角度成矩形GFED，其他條件不變，則上題中結論是否不變？請說明理由.

圖7

若證明數(shù)量關系，則構造全等三角形.

則連接NC，F(xiàn)M，過F作FH∥NC，交NM延長線于H，

∴∠H=∠HNC，∠FOH=∠NOC.

∴需證NC=FH.

∵N，M是AD，DG中點，

∴ND=12AD，DM=12DG.

∵AD=DC，

∴MD=DM.

∴在△NDC與△MGF中，ND=MD，

∠NDC=∠MGF，

DC=FG，

∴△NDC≌△MGF.∴∠1=∠2，F(xiàn)M=NC.

∵∠4=∠5，ND=DM，

∴∠5=∠3，

∴∠4=∠3，

∴∠1+∠3=∠2+∠2.

即∠HNC=∠FMH.

∵FH∥NC，

∴∠H=∠CNH，

∴∠H=∠FMH，

∴FH=FM.

又∵FM=NC，

∴FH=NC（等量代換）.

∴在△CNO與△FHO中，∠NOC=∠FOH，

∠CNH=∠FHN，

CN=FH，

∴△CNO≌△FHO.

∴FO=CO.

∵∠HEN=90°，∠ENM=45°，

∠NHE=180°-90°-45°=45°=∠ENM，

∴EN=EH，

∴設FG=b，GD=a，

∴MC=b+a2.

又∵ND=12a，ED=b，

∴NE=12a-b=EH，

∴FH=a-1aa-b=a2+b.

∴MC=FH.

∴矩形FEDC，

∴FE∥DG.

∴∠HFO=∠OCM，∠OHF=∠ONC.

∴在△FOH與△COM中，∠HFO=∠OCM，

MC=FH，

∠OHF=∠OMC，

∴△FOH≌△COM，∴FO=OC.

由于原題的點O不是中點，無法倍長，只能找平行，以構造全等.

與此類似的題:

例3如圖8，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點A1B2E共線，P是DF中點，連接PG，PC.

圖8

（1）求證：PG⊥PC，PG=3PC.

（2）將上圖中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD共線，其他條件不變，上面的結論依然成立.

（3）若圖8中∠ABC=∠BEF=x(0°

（1）證明若證垂直，則需證全等，則延長GP交DC于H，證△CPH≌△CPG.

∵GF∥DC，

∴∠DFG=∠FDC.

∵P為DF中點，

∴DP=PF.

∴在△DPH與△FPG中，∠DFG=∠FDC，

DF=PF，

∠HPD=∠FPG.

∴△DPH≌△FPG.

∴HP=PG，GF=DH.

∵菱形GFEB，

∴GF=GB，

∴GB=DH.

∵菱形DC=CB，

∴DC-DH=CH-GB.

即CH=CG.

∴在△CPH與△CPG中，

∴CP=CP，

CH=CG，

PH=PG.

∴△CPH≌△CPG.

∴∠CPH=∠CPG=12×180°=90°，

∴CP⊥PG.

∵△CPH≌△CPG，

∴∠HCP=∠PCG=12×120°=60°.

∴∠COP=30°.

設CP=1，

則CG=2EP=2.

在Rt△CPG中，

∠CPG=90°，

∴CP2+PG2=CG2.

PG=3，

∴PG=3PC.

（2）

抓住P為中點，作輔助線.

∴延長GP交AD于H，連接CH，CG.

有平行條件，不需外加，所以只延長.

∵GF∥AD，

∴∠GFD=∠HDP.

∵P是FD中點，

∴DP=PF.

∴在△PHD與△PGF中，

∠HDP=∠GFD，

DP=PH，

∠DPH=∠GPF，

∴△PHD≌△PGF，∴GF=DH.

∵BG=GF，

∴BG=DH.

∴在△CDH與△CBG中，

DH=BG，

∠HDC=∠CBG，

CD=CB.

∴△CDH≌△CBG.∴∠1=∠2，CH=CG.

∵∠DCB=120°，∴∠HCG=120°，

∵CH=CG，P為HG中點，

∴CP⊥HG（三線合一）.

∵∠PCG=60°，∠CPG=90°，

∴設CP=1，

∴CG=2CP=2，

∴PG=3PC（同上）.

（3）∵是旋轉(zhuǎn)任意角度，不可平行，

∴倍長GP于H，連接DH，延長DH，GB交于Q，連接CH，CG.

∵P為GH，DF中點，

∴HP=PG，DP=PF.

∴在△DPH與△FPG中，

DP=PF，

∠DPH=∠GPF，

HP=PG.

∴△DPH≌△FPG，

∴DH=GF.

∴DH=BG.

∵∠HDC+∠CHQ=180°，

∴∠HDC=∠CBG，

∴△CDH≌△CPG，

∴CH=CG，

∴∠1=∠2，

∴CP⊥PG.

以上幾道例題，是我在平時練習中，自己的一點心得體會.希望同學們在平時做題中，能夠總結歸納解決一類問題的方法，這一類問題具有什么條件，根據(jù)這些條件，怎么去作輔助線.將一類問題的規(guī)律方法總結歸納出來，就形成了自己的能力，培養(yǎng)了自己的思維.從而能力就會逐步提高，再遇到相同問題，就知道怎么作輔助線了，正確作出輔助線以后，問題就會迎刃而解.

（指導教師劉宏）