高層建筑救火非線性模型研究

【摘要】根據高層建筑火災蔓延及救火過程的非線性的特點，建立了火勢隨時間變化的非線性模型．進而確立高層建筑救火總費用的目標函數，建立一個高層建筑救火的非線性數學模型．然后，運用微積分和數值計算的有關知識對數學模型進行分析與求解，從而得到高層建筑救火的最低費用和需要投入消防員的人數．

【關鍵詞】高層建筑；火災；非線性模型

近年來，城市建筑越來越高，高層建筑火災的危害越來越大．高層建筑救火已成為一個社會性的難題，筆者運用數學方法對其進行研究，可提高火災救援的工作效率，從而緩解目前消防部隊普遍存在的經費不足與火災救援任務日漸繁重的矛盾．

1.問題的分析

一旦發現高層建筑失火后，應派多少消防員前去救火？派的消防員越多，燒毀建筑物的損失越小，但是救援的開支會越大，所以需要綜合考慮建筑物損失費和救援費與消防隊員人數之間的關系，以總費用最小來決定派出消防隊員的數目．

損失費通常正比于建筑物燒毀的體積，而燒毀體積與失火、滅火（指火被撲滅）的時間有關，滅火時間又取決于消防隊員的數目，消防隊員越多滅火越快．救援費除了與消防隊員人數有關外，也與滅火時間長短有關．記失火的時刻為t=0，開始救火的時刻為t=t1，滅火的時刻為t=t2．設時刻t時建筑物的燒毀體積為V(t)，則造成損失的建筑物燒毀體積為v(t2)．

dVdt是單位時間燒毀的體積，表示火勢蔓延的程度．在消防隊員到達之前，即0≤t≤t1，火勢越來越大，即dVdt隨著t的增加而增加；開始救火后，即t1≤t≤t2，如果消防隊員救火能力足夠強，火勢會越來越小，即dVdt應減少，并且當t=t2時，dVdt=0．

救援可以分為兩部分：一部分是滅火器材的消耗與消防隊員的薪金等，與消防隊員人數及滅火所用的時間均有關；另一部分是運送消防隊員和滅火器材等一次性支出，只與消防隊員人數有關．

2.模型的建立

需要對燒毀建筑物的損失費、救援費及火勢蔓延程度dVdt的形式作出假設．

(1)損失費與建筑物燒毀體積V(t2)成正比，比例系數為c1，c1即燒毀單位體積的損失費．

(2)火災以失火點為中心，按照近似半橢球體積不斷蔓延（見下圖）.

圖1燒毀體積V(t)

假設火災按軸a、軸b的蔓延都是勻速的，稱之為線速度，豎向蔓延的線速度是β，橫向蔓延的線速度是γ，且向上蔓延更快，即β>γ．

從失火到開始救火這段時間（0≤t≤t1）內，火災自由蔓延，燒毀體積V隨時間變化:

V(t)=23πa2b=23π(γt)2βt=23πγ2βt3．

燒毀體積隨時間的變化率稱為火勢，即火災蔓延的體積速度，記為E：E(t)=dV(t)dt=2πγ2βt2.火勢變化率E′(t)=4πγ2βt，火勢加速度A=E″(t)=4πγ2β.由此可見開始救火之前，火勢是以一個內在恒定的加速度在蔓延.

(3）假設派出消防隊員x名，每個隊員滅火的平均線速度為λ．那么開始救火以后（t1≤t≤t2），火災豎向蔓延的速度為β-λx，橫向蔓延的速度為y-λx．要最終撲滅火，應有λx>β>γ．于是火勢加速度變為A(t1，t2)=4π(γ-λx)2(β-λx)<0，說明火勢有減弱的趨勢.在區間［t1，t］上對該加速度進行兩重積分，不難得到火勢隨時間變化函數為：

E(t)=dV(t)dt=2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+2πγ2βt21，t>t1.

所以，火勢隨時間變化dV(t)dt如下圖所示：

圖2火勢dV(t)dt變化趨勢

記t=t1時，dV(t)dt=c．即：

c=2πγ2βt21．（１）

當t=t2時，dV(t)dt=0．于是，2π(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)2+c=0，故：

t2-t1=c2π(γ-λx)2(λx-β).（２）

由定積分的相關知識

V（t2)=∫t102πγ2βt2dt+∫t21［2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+c］dt

=2π3γ2βt31+2π3(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)3+c(t2-t1).

將（１）式、（２）式代入上式得

V(t2)=2π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12.（３）

(4）假設每個消防隊員單位時間的費用為c2，于是每個消防隊員的救火費用是c2(t2-t1)；每個消防隊員的一次性支出是c3．

根據假設條件(１）和(4），燒毀建筑物的損失費為c1V(t2)，救援費為c2(t2-t1)x+c3x．將式（２）、式（３）代入，得到救火總費用為

C(x)=c1V(t2)+c2(t2-t1)x+c3x

=c12π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12+c2c2π(γ-λx)2(λx-β)x+c3x

=2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y#8226;1λx-β+c2γβ12t11λx-y1λx-βx+c3x.（４）

問題歸結為求x使C(x)達到最小．令dC(x)dx=0，x需滿足下列方程：

λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-y)-1+12(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12=c3.（5）

3.結論

由式（４）給出的總費用由四項三部分組成．第一部分是由前兩項組成的燒毀建筑物的損失費：

2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y#8226;1λx-β.

其中第一項是在救火前造成的高層建筑物損失費，可見此項與單位建筑物體積的價值c1及火勢蔓延的速度β，γ成正比，這顯然是符合實際的；這一項還與自然著火的時間t1的立方成正比，這也是符合實際的，且說明了要減少損失，就必須盡早發現火情．

第二部分是救援費中的消防隊員在救火期間的救火費用：c2γβ12t11λx-γ#8226;1λx-βx，這一項與c2，β，γ，t1成正比，與λ成反比，這顯然是符合實際的．

第三部分是救援費中消防隊員的一次性支出：c3x，這一項顯然符合實際．

在應用這個模型時，c1，c2，c3是已知常數，β，γ，λ是由建筑物類型、消防隊員素質等因素決定的．

方程（5）是一個無理方程，直接求解是很困難的.但如果借助計算機編程來求解就比較容易了.一種方法可以借助Matlab工具畫出函數C(x)的圖像，從圖像中就可查出C(x)的有意義的最小值和對應的x值，這是一個比較直觀的方法.

方法二，根據最速下降法，將方程（5）轉化成一個迭代方程：

xt=λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-γ)-1+12#8226;(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12-c3.

用這個迭代的方法也能找到最優解.

以方法一為例，假設某高層建筑深夜11：00失火，5分鐘后被發現并報告給消防隊，消防隊在了解基本情況后初步斷定火勢蔓延豎向速度為β=0.1 m/s，橫向蔓延速度為γ=0.02 m/s，并迅速研究對策，決定5分鐘內到達現場開始滅火，t1=600 s.假設每個消防員的滅火速度為λ=0.03 m/s，則必須派3個以上的消防員才有可能滅火.假設建筑物平均單位體積的價值c1=2000元，每個消防員的一次性消耗費用c3=1000元，單位時間內平均每個消防員的救火費用c2=10元/s.將這些參數代入到（４）式得到：

C(x)=3.6191×107+4.5779×106×10.03x-0.02#8226;10.03x-0.1+37.947×10.03x-0.02#8226;10.03x-0.1x+1000x.

用Matlab畫出其圖像如下圖：

圖3救火總費用隨消防員人數變化從上圖可以看出，隨著投入救火隊員數量的增加，救火費用會迅速下降，達到一定的人數后，費用又開始慢慢上升.顯然后面緩慢增加的都是人員的費用，因為燒毀建筑物的損失費是不會因為多投入消防員而增加的.這說明并不是消防隊員人數越多越好，達到一定數量后，不但對救火沒有幫助，反而增加救火的費用.

圖4救火中費用隨投入的消防員人數變化（圖像局部放大）在90和120之間將圖像局部放大，如圖4所示，可以明顯地看出C(x)在114處取得最小值.說明派出114名消防員最合適，對應的救火總費用為36379741元.

【參考文獻】

［1］高云，張浩，王輝．高層建筑救火模型的研究［J］.中國安全科學學報，2009，19（9）：87-90.

［2］趙樹嫄．微積分［M］．北京：中國人民大學出版社，2007.

［3］同濟大學數學系．高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2006.