高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想運(yùn)用問(wèn)題的闡述

【摘要】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解題策略，它是教學(xué)的重難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的熱點(diǎn).加強(qiáng)對(duì)分類討論思想的運(yùn)用，能使學(xué)生的思維更嚴(yán)密、更嚴(yán)謹(jǐn)、更靈活，有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；分類討論；運(yùn)用

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.分類討論問(wèn)題已成為高考的“寵兒”，運(yùn)用分類討論思想解決分類討論問(wèn)題有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)和能力進(jìn)行全面考查.分類討論問(wèn)題覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，解答題目時(shí)需要一定的分析能力，又常常與實(shí)際問(wèn)題和高等思想相結(jié)合.教師一定要重視數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論思想，在教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力的提高.

一、分類討論思想的概念

在數(shù)學(xué)題中，每個(gè)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法也有它自己的適用范圍.在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，當(dāng)問(wèn)題所給出的對(duì)象不能夠用統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究的時(shí)候，就需要以一定的標(biāo)準(zhǔn)、按照不同情況對(duì)其進(jìn)行分類研究，轉(zhuǎn)化成若干類小問(wèn)題，并得出每一類的結(jié)論，最后綜合每一類的結(jié)果，找到整個(gè)問(wèn)題的答案.這個(gè)過(guò)程就叫做分類討論，這種思想稱為分類討論思想.

二、哪些問(wèn)題需要進(jìn)行分類討論

1.數(shù)學(xué)中有一些概念、性質(zhì)、定理、公式、法則是分類的定義或分類討論所給出的，如實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、直線與平面所成的角、完全平方式的算術(shù)根等，這些數(shù)學(xué)的概念都是分類定義的，在運(yùn)用它們時(shí)需進(jìn)行分類討論.

例1若logx12<1，則x的取值范圍是（）.

A.12，+∞B.12，1

C.0，12∪(1，+∞)D.0，12∪12，+∞

分析我們知道，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由x∈(0，1)和x∈(1，+∞)這兩種情況來(lái)確定的，因而如果從對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的角度來(lái)解答，也應(yīng)分兩種情況：①即當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)為增；②當(dāng)0

2.某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式有范圍和條件限制，當(dāng)解題過(guò)程的變換需突破這些范圍或限制條件時(shí)，必然要分類討論.研究含參數(shù)的方程、函數(shù)不等式等問(wèn)題時(shí)，由參數(shù)值的大小的變化而導(dǎo)致結(jié)果的變化，也需要分類討論，如異面直線所成角、反正弦的主值、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式等.

例2已知-π6≤β＜4，3sin2α-2sin2β=2sin2α，試求sin2β-12sin2α的最小值.

分析本題要注意隱含條件對(duì)結(jié)果的制約作用，將整體化為部分，經(jīng)分類討論解答后可得函數(shù)y=sin2β-12sin2α的最小值是-29.

3.在推理過(guò)程中，如果遇到數(shù)量大小的不確定，圖形位置或形狀不確定時(shí)，必須要用分類討論來(lái)保持解題結(jié)果的完整性，如幾何圖形中由于圖形的變化或形狀不確定，使問(wèn)題結(jié)果具有多種可能性.

例3與空間不共面的四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面共有()個(gè).

A.7B.6C.5D.4

分析由空間四點(diǎn)不共面可知它們不可能都位于某一平面的同一側(cè)，滿足條件的平面可以分為兩類：①將已知的四點(diǎn)隔成一側(cè)3個(gè)，另一側(cè)1個(gè)，這樣的平面有4個(gè)；②將已知的四點(diǎn)隔成每側(cè)各有兩個(gè)，這樣的平面有3個(gè).綜上可知答案為A.

4.在某些問(wèn)題中，運(yùn)算的實(shí)施需要一定條件，如除法中必須滿足除數(shù)不為零，開(kāi)偶次方被開(kāi)方式必須非負(fù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算的真數(shù)必須大于零，等等，當(dāng)需要實(shí)施這些運(yùn)算時(shí)就要考慮用分類討論.另外在某些問(wèn)題中，能滿足已知條件的不止一種，需要對(duì)所有的可能情況進(jìn)行分類討論.

例4若A={x|x2+(m+2)x+1=0，x∈R}，且A∈R+=(空集)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為().

A.m≤-2B.m≥-2

C.m>-4D.m≥0

分析由A∈R+=，可知方程x2+(m+2)x+1=0沒(méi)有正根，可能情況有兩種：①方程沒(méi)有實(shí)根;②有實(shí)根但沒(méi)有正根.分別從（m+2）2-4<0和（m+2）2-4≥0來(lái)解，得出答案為C.

三、分類討論的方法和步驟

1.確定分類的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)

分類的對(duì)象是指使問(wèn)題變幻不定的因素，分類標(biāo)準(zhǔn)就是使變幻不定的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)穩(wěn)定的問(wèn)題的分類界值.分類討論的第一步是要確定分類的對(duì)象和分類的標(biāo)準(zhǔn)，要確定分類討論的對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn)，必須要首先明確引起討論的原因是什么.

2.依據(jù)分類的原則進(jìn)行科學(xué)分類

分類討論思想實(shí)際上就是邏輯劃分，是將整體化為部分來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法.用分類法來(lái)解題時(shí)，必須保證分類時(shí)不重不漏，并力求最簡(jiǎn).設(shè)全域?yàn)榧螦，每一種分類都是集合A的子集，那么把所有子集相并，必然等于集合A；任意子集相交，必然為空集.

3.逐類討論、求解，注意分類的層次性

當(dāng)一次分類不能解決問(wèn)題或討論的對(duì)象為兩個(gè)以上時(shí)，必須進(jìn)行多層次分類.每一層次的分類必須要有各自統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn).另外，在同一次討論中，只能確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

4.進(jìn)行結(jié)論的歸納和總結(jié)，得出最終答案

分類討論結(jié)論的歸納有三種方式：并列歸納.并集歸納和交集歸納.并列歸納是將討論的結(jié)果用并列復(fù)句的形式給出；并集歸納是對(duì)每一類歸納的結(jié)果求并集并作為最后的結(jié)論；交集歸納是對(duì)每一類歸納的結(jié)果求交集作為最后的結(jié)論.

例5設(shè)M={x|x2+4x=0}，N={x|x2+2(b+1)x+b2-1=0}，若M∩N=N，求b的值.

解由已知得，M={0，-4}.

∵M(jìn)∩N=N，

∴NM.

按集合N中所含元素的個(gè)數(shù)分類:

(Ⅰ)若N=，則4(b+1)2-4(b2-1)<0，解得b<-1.

(Ⅱ)若集合N含有一個(gè)元素：

①當(dāng)N={0}時(shí)，則b2-1=0，得b=±1.

當(dāng)b=1時(shí)，N={x|x2+4x=0}={0，-4}；

當(dāng)b=-1時(shí)，N={x|x2=0}={0}.

∴b=-1.

②當(dāng)N={-4}時(shí)，則b2-8b+7=0，解得b=1或b=7.

當(dāng)b=1時(shí)，N={0，-4}，此類無(wú)解；

當(dāng)b=7時(shí)，N={x|x2+16x+48=0}={-12，-4}.

(Ⅲ)若集合N中含有兩個(gè)元素即N={0，-4}，此時(shí)解得b=1.

綜上，b≤-1或b=1.

四、如何在教學(xué)中滲透分類討論思想

1.充分挖掘數(shù)學(xué)教材中的分類討論思想

數(shù)學(xué)是思想方法和知識(shí)的結(jié)合，兩者缺一不可.教材中很多地方包含了分類討論問(wèn)題，教師要充分挖掘蘊(yùn)含在教材中的分類討論思想，并予以闡述、揭示和強(qiáng)調(diào)，引起學(xué)生對(duì)這種數(shù)學(xué)思想的重視.

2.在解題指導(dǎo)中突出分類討論思想方法的運(yùn)用

教師是教學(xué)過(guò)程的主導(dǎo)，教師有效地指引對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和能力的形成具有不可估量的作用.“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”，解題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維的重要手段.通過(guò)對(duì)題目的解決，能夠從中提煉出方法，并上升到思想的高度.

3.在作業(yè)中培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用分類討論思想的習(xí)慣

“實(shí)踐出真知”，作業(yè)是學(xué)生實(shí)踐和鞏固課堂知識(shí)的途徑，合理布置作業(yè)，能夠激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，體會(huì)題目中蘊(yùn)含的分類討論思想，獲得成就感，從而養(yǎng)成自覺(jué)運(yùn)用分類討論思想的習(xí)慣.

4.在教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)分類討論思想的培養(yǎng)

分類討論思想的形成和掌握不是一蹴而就的，需要老師在教學(xué)過(guò)程中循序漸進(jìn)地指導(dǎo).在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，老師應(yīng)讓學(xué)生了解概念、結(jié)論產(chǎn)生的背景及其運(yùn)用，理解其基本概念，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.例如在不等式的關(guān)系教學(xué)中，有一題：“設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式a2x2+2ax-3<0.”可向?qū)W生說(shuō)明，在解此不等式時(shí)由于a∈R，因此，不能按一元二次不等式的解法進(jìn)行求解，因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，原不等式化為-3<0，解集為R，因此解題必須應(yīng)分為a=0與a≠0這兩種情況進(jìn)行討論.在求出a2x2+2ax-3<0的兩根數(shù)值時(shí)也需對(duì)其進(jìn)行討論.

【參考文獻(xiàn)】

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（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an3-2an，證明：bn

解析（1）易得an=1-(1-a1)-12n-1(過(guò)程略).

（2）由（1）可知.00.

那么，b2n+1-b2n=a2n+1(3-2an+1)-a2n(3-2an)=3-an223-2×3-an2-a2n#8226;(3-2an)=9an4(an-1)2.

又由（1）知an>0且an≠1，故b2n+1-b2n>0，因此bn

2.用數(shù)學(xué)歸納法確定an+1與an的大小

例5（2008年浙江卷22題）已知數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，a2n+1+an+1-1=a2n(n∈N*).記Sn=a1+a2+…+an，Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1（1+a1）(1+a2)…（1+an).求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，（Ⅰ）ann-2；（Ⅲ）Tn<3.

證明（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n=1時(shí)，∵a2是方程x2+x-1=0的正根，∴a1

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，ak

根據(jù)①和②，可知an

3.用輔助函數(shù)確定an+1與an的大小

例6設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與數(shù)列{an}滿足：a1>α，其中α是方程f(x)=x的實(shí)數(shù)根；an+1=f(an);f(x)可導(dǎo)，且f′(x)∈(0，1).（1）證明:an>α;（2）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并證明.

證明（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證，證明略.（2）構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=x-f(x)，則g′(x)=1-f′(x)>0，

∴g(x)在R上是增函數(shù).

由（1）得an>α，∴g(an)>g(α).

又∵g(an)=an-f(an)，g(α)=α-f(α)=0，

∴an-f(an)>0，∴an>f(an)，

即an>an+1，∴{an}為單調(diào)減數(shù)列.

4.用代換法確定an+1與an的大小

例7設(shè)函數(shù)f(x)=1+x2，數(shù)列{an}滿足a1=13，且an+1=f(an)，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.

解析設(shè)a1=13=cosθ，θ∈0，π2.則a2=1+a12=1+cosθ2=cosθ2，a3=cosθ4，…，an=cosθ2n-1，且π2>θ>θ2>θ4>…>θ2n-1>0，

∴cosθ