思維定勢在高等數學教學中的影響及教學策略

2011-12-31 00:00:00吳葉民

中小企業管理與科技·上旬刊 2011年12期

摘要：本文對一道函數極值應用題的學生解答進行了教學反思，分析了思維定勢對高等數學教學影響的二重性，并提出了如何在高等數學教學中揚長避短，營造積極靈活的思維定勢，克服消極呆滯的思維定勢，取得更好的教學效果。

關鍵詞：函數極值思維定勢二重性教學策略

筆者在高等數學《導數的應用》這一章布置了這樣一道課后作業題：

例1：一塊正方形鐵皮，邊長為60cm，從它的四角截去四個相等的小正方形，剩下的部分做成一個無蓋的長方體盒子，問被截去的小正方形邊長為多少時，方能使盒子的容積最大？

筆者在批改時發現，有不少學生采取了如下方法：

解1-1：設被截去的小正方形邊長為x厘米，則盒子的容積為

因此x=10時，盒子的容積V(x)有最大值16000cm3。

顯然，這個解答是正確的。但學生求極值的方法用了中學里學過的基本不等式，而不是新學的導數方法，顯然沒有達到筆者預期的教學效果。

筆者預期的解答應該是這樣的：

解1-2：設被截去的小正方形邊長為x厘米，則盒子的容積為

V(x)=x(60-2x)2=4x3-240x2+3600x，（0

令V'(x)=12x2-480x+3600=12(x-10)(x-30)=0

則x=10或x=30（舍去），因此x=10為唯一駐點，在x=10處有最大容積16000cm3。

那么解1-1是怎么產生的呢？筆者和部分學生作了交流，學生說：“看到函數的形式，就立刻想到了可以用基本不等式來做。”老師說：“那用導數的方法會做嗎？”學生說：“可能也行，但我導數的知識還不怎么熟練。”

以上說明，中學利用基本不等式求函數極值的方法在學生頭腦里根深蒂固，已經形成了思維定勢，以致于學生碰到類似的問題首先就考慮用基本不等式，從而弱化了對新學習的導數方法的印象。

那么什么是思維定勢？思維定勢對高等數學教學有什么樣的影響？如何利用思維定勢來改進我們的高等數學教學呢？

心理學認為所謂定勢，就是在連續活動中發生的，先前活動經驗為后面的活動形成的一種預備性反應或反應的準備。定勢本身是在一定活動的基礎上形成的，它使得學生傾向于在學習時以一種特定的方式進行反應。

既然思維定勢是關于選擇學習活動方向的一種傾向性，因此它對學習的影響存在二重性。當后續作業是先前作業的同類課題時，思維定勢會幫助我們迅速利用已有的模式和方法，促使問題順利的解決；反之，如果后續作業與先前作業貌似相同但本質不同，或者雖然類似但需要進行變通，這時思維定勢可能產生干擾作用，使思維僵化、解題方法固定化，不利于解決問題。

那么如何在高等數學教學中避免思維定勢的消極影響，發揮起積極影響呢？筆者在教學中總結了一些經驗，并提出相應的教學策略，以起到拋磚引玉的作用。

1 教學中明確界定概念，消除思維定勢消極影響

在教學中要明確界定概念的內涵和外延、定理和方法的適用范圍，并引導學生養成仔細閱讀和理解題目的習慣，幫助學生更好地表征問題，避免機械地應用固有模式，消除思維定勢的消極影響。

如在講解洛必塔法則時，應明確其使用范圍是■或■未定式，使用之前先要先看清楚題目，判斷該極限是否屬于■或■未定式，否則可能會發生錯誤。如：

例2：

解2-1：用洛必塔法則

顯然解2-1是錯誤的解法，因為這個極限并不屬于■或■未定式，不能用洛必塔法則求解。學生之所以會發生錯誤，一方面可能是忽略了洛必塔法則的適用范圍，另一方面可能是沒有好好地閱讀題目，誤以為是■未定式。正確的解法如下：

解2-2：

2 采用變式練習，打破舊的思維定勢，建立新的思維定勢

如采用例1作為應用導數求最值的例題，老師在用解答1-1講解之后，提出以下問題：“用中學學過的方法能不能求解這個問題？”學生回答：“可以用基本不等式。”老師：“請考慮一下，如果現在要求該長方體盒子的高在3到8cm之間，那還能用基本不等式來做嗎？”顯然此時，基本不等式等號成立的條件已經不在函數定義域內了，學生回答：“不能”。老師：“讓我們看看用導數的方法還能求出這時盒子容積的最大值嗎？”于是學生在老師指導下不難作出如下解答：

解1-3：V(x)=x(60-2x)2=4x3-240x2+3600x，（5

V(x)=12x2-480x+3600=12(x-10)(x-30)>0，（5≤x≤8）

此時V(x)為單調遞增函數，則x=8處有最大容積15488cm3。

老師還可以換一些其他的題目，如：

例3：求函數y=2x2-Inx的極小值。

這時，學生用基本不等式的方法也不能求解，就會嘗試使用新的知識解決問題。

通過適當的變式練習，使學生明白應用以前的知識和方法不能解決新的問題的時候，固有的思維定勢就會被打破，從而接受能更好地解決新問題的知識和方法，形成新的思維定勢。

3 在教學中允許學生試誤，通過比較，消除思維定勢的消極影響，發揮其積極影響

如看下面一道題的兩種解法：

例4：еx+y=xy-1

解4-1：

解4-2：