滑坡概率分析中降雨的聯合概率結構

摘 要：降雨是降雨型滑坡概率分析和預測的主要輸入，以日降雨量和累計降雨量為重慶市降雨的控制參量，建立兩者的聯合概率模型，為后續分析提供基礎。沿用滑坡分析中常用的處理方式，將日降雨量劃分等級轉化為離散變量，將累計降雨量視為連續隨機變量。然后，導出了離散變量和連續變量的聯合概率模型，并發展了條件密度變換解及其Dirac δ函數序列逼近。將之用于重慶市累計降雨量的條件密度函數計算，并驗證了計算結果的合理性。由于累計降雨量條件密度函數的復雜性，引入混合分布模型對其進行數學建模，形式不太復雜且精度比較理想。最后，結合日降雨等級頻度函數與累計降雨量條件概率密度模型建立了聯合概率模型。

關鍵詞：滑坡； 概率密度函數； 聯合概率結構； Dirac δ函數序列； 混合分布模型

中圖分類號：TU312；O213 文獻標志碼：A 文章編號：16744764（2012）05005707

降雨型滑坡預測方法主要分為2類：基于過程的預測模型（亦稱為物理模型）和經驗模型。雨水滲入導致巖土體內的孔隙壓力增大、有效應力減小和巖土體的抗剪強度降低是降雨型滑坡發生的主要機制[1]。滑坡預測的物理模型則從上述機制出發判斷滑坡的狀態，即充分考慮降雨數據、降雨入滲過程及其對巖土體的影響，結合巖土體滑坡的穩定性分析，最終確定引發滑坡的降雨量，從而判定滑坡是否發生[29]。然而，該模型所需輸入信息，如局部地形條件、巖土的力學參數和水文學參數等都很難準確獲得，阻礙了該模型的實際應用[10]。經驗模型則部分體現了滑坡產生的機制，僅通過對降雨和滑坡的歷史數據進行統計給出滑坡的降雨閾值。模型不同，降雨閾值所采用的控制變量亦不相同，所適用的地區亦不相同。但由于簡便易行，經驗模型是目前滑坡預測中最為實用的方法。范文亮，等：滑坡概率分析中降雨的聯合概率結構〖=〗

本質上，無論是物理模型還是經驗模型，均是通過將降雨數據和滑坡的降雨閾值進行對比來判定滑坡的發生與否，只不過前者的降雨閾值是基于物理機制分析得到的，而后者則是通過經驗統計給出的。借鑒可靠度理論的概念，滑坡概率Pf可表示為。

式中：Pr{·}表示事件發生的概率；R表示當前降雨數據，類似于可靠度分析中的效應；[R]表示降雨閾值，類似于可靠度分析中的抗力。然而，由于降雨型滑坡影響因素的復雜性，很難由單一控制變量判定，因此R和[R]均為向量，而在可靠度分析中，效應和抗力均為標量。

目前，關于降雨型滑坡的研究主要集中于降雨與滑坡的關系、降雨的入滲和邊坡的穩定性分析方面[1116]，即更多地關注[R]，對于降雨數據R的概率描述鮮有研究涉及。筆者力圖針對重慶地區的歷年降雨數據，建立可用于重慶地區滑坡概率預測的降雨特征的概率模型。

欲建立R的概率模型，必須先將其具體化，明確其分量。文獻[10]詳細列舉了各研究者曾經使用過的控制變量，包括日降雨量、前期累計降雨量、降雨強度和降雨持時等共25種。結合文獻[13]和[17]，筆者取日降雨量和前期累計降雨量為控制變量，且取10 d為前期降雨的計算時間段。1 滑坡概率分析

若記日降雨量為R1，10 d累計降雨量為R10，與之對應的閾值分別為[R1]、[R10]，那么式（1）可改寫為式（2）。

值得指出的是，現有研究中關于R1、R10的處理方式是截然不同的。日降雨量往往用降雨等級表示，即將R1視為離散變量，而10 d累計降雨量則采用真實的數據，即R10視為離散變量，然后根據日降雨量的不同等級再結合10 d累計降雨量的具體數值判定滑坡狀態。

一般而言，根據日降雨量大小可分為4個等級，即等級1（小雨，R1∈[0，10） mm）、等級2（中雨，R1∈[10，25） mm）、等級3（大雨，R1∈[25，50） mm）和等級4（暴雨，R1∈[50，∞） mm）。若記第i個降雨等級為Ei，那么式（2）可進一步改寫為

若已知Pr{Ei}·pR10|Ei（y）和p[R10]|Ei（z），則滑坡概率計算頗為簡單。本文則著重于關注Pr{Ei}·pR10|Ei（y）的獲取。由于Pr{Ei}·pR10|Ei（y）描述了2個變量的聯合概率結構，但是此2變量分別為離散變量和連續變量，因此，文中將稱之為離散連續混合變量的聯合概率結構。2 離散連續混合變量的聯合概率模型 由上所述，Pr{Ei}表示事件Ei發生的概率，pR10|Ei（y）則表示隨機變量的條件概率密度，本質上仍屬于概率密度函數。根據降雨歷史數據可以方便地給出Pr{Ei}的統計值，但是欲較為準確地確定pR10|Ei（y）的模型則較為困難。目前應用最為廣泛的由采樣數據確定隨機變量概率模型的方法是假設檢驗方法。該方法的優點在于可以給出一個簡單的可用概率模型，但其確定亦是顯而易見的，即只能確定單峰的概率密度模型。然而，由于影響因素的復雜性，現實中的許多隨機變量并不能采用簡單的單峰，往往呈現出多峰性態。筆者擬由密度變換解獲得概率密度函數的近似值，然后引入混合分布模型對其進行建模，并通過回歸擬合確定關鍵參數，最后確定聯合概率模型。

2.1 累計降雨量的條件密度變換解及其數值逼近

式中：δρ[·]表示Dirac δ函數序列；ρ為適當小量；N為觀測數據數量；H（θq）表示θ取θq時的累計降雨量，H0=maxθ∈ΩΘHθ，由于累計降雨量已由實測獲得，因此H（θq）和H0實際上表示第q個實測樣本R10，q和所有實測值的最大值；Pq=pΘ|Ei（θq）Δθq表示點θq的賦得概率，由于概率守恒，其數值等于H（θq）出現的概率。不失一般性，可假設各觀測數據出現的概率均等，即Pq=1/N。于是，式（9）可進一步改寫為式（10）。

2.2 混合變量的聯合概率模型

根據由式（10）獲得的條件概率密度函數計算值，可采用如下的混合分布模型對其進行建模，即[19]

重慶市氣象局提供了重慶市自1980年至2009年共30 a的小時降雨數據和2003年至2009年間的分鐘降雨數據。基于以上數據可獲得日降雨量和10 d累計降雨量的聯合觀測樣本共10 818條。其中，日降雨等級為小雨的樣本10 007條，日降雨等級為中雨的樣本530條，日降雨等級為大雨的樣本211條，日降雨等級為暴雨的樣本70條。

需指出的是，10 007條小雨樣本中日降雨量為0且累計降雨量很小的記錄占有很大比例。一方面，這樣的降雨基本不會引起滑坡，另一方面，這些數據會極大地引起建模困難。例如，兩者均為0的樣本約占16.7%，而理論上連續隨機變量取任意值的概率均為零。為簡單且便于應用，對日降雨等級為小雨時累計降雨量的概率建模時僅考慮了累計降雨量超過20 mm的數據，共3 763條。此時，E1發生時滑坡的概率為

3.2 10 d累計降雨量的概率密度估計

首先，利用條件密度變換解的Dirac δ逼近對降雨等級為小雨實測樣本中選取的3 763條累計降雨量超過20 mm的樣本子集進行累計降雨量的概率密度估計，結果如圖1所示。為驗證密度估計的準確性，將其與頻數直方圖和經驗累積分布函數進行了對比。圖1（a）和（b）分別表示與等間距直方圖和等頻數直方圖的對比，其中等頻數直方圖分10個等頻率區間，圖1（c）表示與經驗累積分布函數的比較，下同。不難發現，計算結果和三者均吻合良好。

類似地，可給出降雨等級為中雨、大雨和暴雨時的密度估計，結果分別示于圖2～4。通過與直方圖、經驗累積分布函數的比較可知上述密度估計是合理且準確的。

值得注意的是，圖2中等間距直方圖和等頻數直方圖在累計降雨較小時存在著顯著差異，甚至體現于圖形趨勢上。究其原因在于此區間存在大量樣本，在等間距直方圖內均位于同一條帶內，不能描述出更精細的概率變化；而等頻數直方圖可以較好地彌補了這一缺陷。

3.3 10 d累計降雨量的混合分布概率模型

顯然，上述密度估計值是不便于應用的，為此需建立解析的概率模型。

首先，采用常用的概率模型對其進行建模。由于累計降雨量存在明顯的邊界（即≥0），因此，可嘗試用對數正態分布和3參數Weibull分布對其進行建模，建模準則為均值和標準差一致。將不同降雨等級的建模結果與直方圖、密度估計結果進行對比，分別示于圖5～8，其中（a）圖均為與等間距直方圖的比較，（b）圖則為與等頻數直方圖的比較。

圖6和圖7表明此2種情形對數正態分布較Weibull分布更接近于計算結果，但效果均不理想；圖8表明降雨等級為大暴雨時無論是對數正態分布還是Weibull分布均與實際分布相差太遠。為此需要采用式（11）所描述的混合模型對此三者進行建模。

根據試算，可得到降雨等級分別為中雨、大雨和暴雨時累計降雨量的混合模型分別為式（17）、（18）、（19）。

3.4 聯合概率模型

由式（12）可知，欲建立日降雨量與累計降雨量的聯合概率結構，除累計降雨量的條件概率密度模型外，尚需確定Pr{Ei}。根據降雨實測數據，可統計出不同降雨等級的頻度函數，如表1所示。

將表1的頻度函數和第3.3節累計降雨量的條件概率密度模型代入式（12）即可得到重慶市日降雨量和累計降雨量的聯合概率模型。

4 結 論

降雨型滑坡的概率分析和預測中，作為主要輸入的降雨是關鍵參數。筆者以日降雨量和累計降雨量為降雨量的控制參數，結合重慶氣象局提供的降雨觀測數據，建立了日降雨量和累計降雨量的聯合概率模型。與經典意義上的聯合概率結構不同，文中沿用降雨型滑坡分析的習慣，將日降雨量視為離散變量，而累計降雨量為連續變量。在此基礎上導出了離散變量和連續變量的聯合概率模型和條件密度變換解及其Dirac δ函數序列逼近，并提出了基于上述計算結果建立可用的聯合概率模型的思路。然后，將上述思路用于重慶市的降雨數據，建立了適用于重慶地區的日降雨量和累計降雨量的聯合概率模型。

值得指出的是，文中借鑒可靠度概念建立的滑坡概率分析方法思路清晰、簡單、直接，但相比較而言，對相關數據的要求卻更為嚴格，除了降雨量的概率模型之外，尚需獲得降雨閾值的概率結構。

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（編輯 王秀玲）doi：10.3969/j.issn.16744764.2012.05.010