多維標度法在地震動空間特性分析中的應用

摘 要：為尋找適于工程應用的空間地震動輸入合理性的判定工具，提出了一種將多維標度法（MDS）和動態時間彎曲距離（DTW）相結合揭示空間地震動相關結構的方法。該方法可將多點地震動數據的差異轉化在一個低維空間內，從而通過各點地震動在該空間內對應的位置反映空間地震動臺陣數據之間的差異。較傳統的方法，該方法具有較好的直觀性且有利于挖掘地震動數據間的潛在關聯，利用該方法在對某次地震的臺陣記錄以及相應合成人工波的分析中取得了較好的效果。

關鍵詞：多點地震動；空間相關性；動態時間彎曲距離；多維標度法；臺陣記錄

中圖分類號：TU318 文獻標志碼：A 文章編號：16744764（2012）05000606

合理的地震動輸入是結構抗震分析與設計的基礎，實際地震臺站所記錄的地震動往往是地震波穿過復雜介質后的結果，由于波的頻散效應、幾何擴散以及介質的非彈性吸收、非均勻性導致的波速的隨機漲落， 都會使得任意2個相鄰地震臺站測點所記錄的地震動不僅僅是時間延遲上的復制， 而是隨著臺站距離的增大、其差別也隨之增大。為此，對空間人工合成地震動而言，其模擬地震動的分布特性是否能準確反映實際地震動隨空間和時間的變化特性，并與實際的臺站記錄具有良好的相關性，對研究合成地震動尤其是空間多點合成地震動的合理性、準確性是一個非常重要的問題。

目前，對于人工多點地震動合成結果可靠性判定而言，尚沒有統一的標準，當前的研究大多只是簡單的比較生成地震動與指定反應譜及相關（或相干）函數的差異，結論不具有直觀性，而且無法較好的反應出地震動在一定空間尺度內的相關結構。為此，筆者提出了一種基于相關性理論的數據統計方法（相關構圖法），通過選擇多點地震動數據之間的差異度量標準，并利用多維標度法將地震動數據的差異反映在一個低維空間內（構圖），從而通過各地震動在該低維空間內的相對位置反映數據之間的差異。該方法不僅能直觀準確地反映真實地震臺陣記錄的空間分布特性變化，而且能對人工合成多點地震動結果的合理性進行判定。1 實際地震動臺站記錄空間特性分析

1.1 基于傳統相關系數的空間地震動分布特性分析

取Smart1臺陣中位于同一直線位置上的7個測點的（event40，NS）強震記錄為例（其對應臺站名稱及對應坐標如圖1所示），同時考察不同性質的奇異波形在實際臺站記錄空間特性中所處的分布特征，將El Centro地震波（1940，NS）截取對應時間段作為與該臺站記錄存在較大差異的已知奇異記錄，記為EL，讓C00臺陣記錄人為的使其時間軸上壓縮和彎曲（見1.2）產生一條人工波，記為CD波（見圖2），并將其視為一個具有9個測點的地震動臺陣記錄場。〖=D（〗 李英民，等：多維標度法在地震動空間特性分析中的應用。

若以傳統的相關系數來區分此9個測點記錄的空間分布特性，可首先根據文獻[1]中Vanmarcke給出的計算延遲的方法，取MaxCor（X，Y）所對應的時間坐標，再用統計平均的方法計算出各測點地震動之間的延遲效應，然后利用延遲對各地震動進行平移處理，進而計算各測點之間的相關系數。表1為考慮延遲效應后的各測點之間的相關系數表。

表1中的相關系數反應的只是臺站記錄兩兩間的差異的信息，而無法反應臺站記錄在平面空間內整體相關性的變化。

1.2 基于多維標度法的空間地震動分布特性分析

多維標度法（簡稱MDS）是一種在低維空間展示“距離”數據結構的多元數據分析技術[2]，它通過尋找各事物中存在的潛在變量，并在低維空間內以圖形的形式表示出來，在這些潛在變量空間圖中（構圖），每個事物都是一個點，而這些點之間的距離能表明事物在維度特征上接近程度，通過分析這些點的分布特性，就能獲得空間各點地震動之間的內在聯系和差異。

分別定義2個N×N矩陣Δ=[δij]和D=[dij]，令δij表示矩陣Δ中的元素i和j之間在某種人為設定標準基礎上的真實差異程度（或稱相似度），dij表示生成的低維空間內點i和點j之間的距離。那么，MDS的目的就是要將各事物間的相似程度用一個低維空間內點的距離dij表示，使得dij盡可能和事物間的近似程度δij接近[2]。

通常是不可能構造一個精確的函數形式使得矩陣Δ能與構圖中距離矩陣D很好的重合，此時在滿足單調變化δij≤δlkD（δij）≤Dδlk的情況下將矩陣D的空間變化擴大記作。

部分時間軸上收縮和變形生成而保存了C00臺站記錄原有的形狀，其與C00記錄應該是具有一定相關性，而用相關系數計算的結果。如表2和圖3（b）藍點所示的CD點，表現出和EL一樣的和原臺站記錄不相關的特性。這是由相關系數計算本身所造成的，如圖4（b）所示，相關系數或相干系數作為地震動相似度的一種傳統度量標準[67]，其計算要求2個地震序列等長，且2個序列中的值必須是一一對應，并無法對具有振幅平移、伸縮等情況的復雜序列進行準確度量。而實際地震動記錄在傳播過程中由于各種不確定因素的影響，比如波傳播中通過不均勻介質導致的波速隨機漲落以及波的散射或是儀器的誤差都可能導致地震動記錄不能滿足上述要求，相關系數就無法再作為地震記錄的一個有效的衡量標準，最為明顯的表現是小尺度空間內相關性較大的變異[79]；如Kiureghian等[9] 發現，當剪切波速大于250 m/s 時，距離65 m兩點在頻率1 Hz處的相關系數為0.5，在2 Hz變為0.07。而在較大的距離，這種相關性的丟失更為顯著。因此一種更為合理的相似度度量標準的提出是有必要的，為此，可采用由Berndt等[10]所提出動態時間彎曲距離（DTW）來進行相似性度量，該距離通過計算兩序列之間的最小距離來刻畫序列間的最大相似性，作為一種把時間規劃與距離測度結合起來的非線性技術，較之相關系數（或歐拉距離）方法能夠支持時間序列的時間軸伸縮和彎曲，并且不要求數值一一對應[11]，且不需要對延遲進行估計，另外相比歐氏距離的適用場合為2個序列長度一致，而動態時間彎曲距離則可以用于任意長度的序列比較。因為動態時間距離定義了2時間序列之間的最佳對齊匹配關系，所以對具有相似復雜度較高的序列可進行有效識別。另一方面，在反應序列特性上，與相關函數僅僅反映數據間相位的變化相比，動態彎曲距離可以體現出幅值的變化。

因此，利用該動態時間彎曲距離取代廣義距離重新定義相似度矩陣Δ=[δij]=[DTW（i，j）]，計算結果如表3所示，根據本文給出的算法重新計算各地震動在低維空間構圖中的坐標和位置，可得到表4和圖5的結果。

比較圖3及圖5 可以看出，無論是基于動態時間距離或是廣義距離，得出的計算結果都均有一個共同的特性，即臺陣記錄點C00與I01、I07較為接近，而相對而言O07、 O01在構圖中的距離較遠，如圖5（a）所示，處于構圖中的最外圈，而在真實的地理位置上O01和O07也位于Smart1臺陣的最外圈（半徑R=2 000處），計算的結果體現出隨著地理距離的增大臺陣間的相關性有下降的趨勢，這與實際的情況是相吻合的。而EL作為與實際臺陣記錄差異較大奇異點，在構圖中表現出孤立于臺陣記錄的點（構圖中用紅點表示）。CD記錄由于是C00時程記錄在時間軸上的伸縮和彎曲，比起EL來CD波至少應該在某種程度上與原始的C00存在某種相關關系，相關系數無法反映出這種相關性，表現為一旦出現這種波形的彎曲，就像EL那樣和C00等地震波完全不相關的特性，如表1和圖3（b）所示，這是與實際情況不符的。而DTW能分辨出CS和CD和原C00記錄的相關性，這體現出DTW較之相關系數有更強的適用范圍的。

從本質上來說，相關系數是2個序列在向量空間內的夾角，其反應的是時間序列間的一種相位特征。這種特征與序列本身的幅值無關。而動態彎曲時間距離首先作為一種距離度量，不僅能反應出相位的變化、而且能體現的幅值的特性。然而DTW不同于像歐拉距離等靜態點距離為基礎的描述方法，后者對以“變化趨勢”時間序列匹配存在本質的缺陷， 因為點距離是一種靜態的度量， 無法有效體現時間序列的動態特性。相對而言DTW可以克服了點距模式下可能出現誤匹配以及物理概念不明確等缺陷。2 多維標度法在人工合成地震動結果合理性的判定中的應用 國內多點地震動合成方法大多是基于Hao[12]的思想，并在屈鐵軍方法[13]基礎上改進的，但事實證明屈鐵軍給出的多點地震動合成方法不具備很好的收斂性，特別是當兩點距離較為接近時其地震動往往不一致[14]，即不具備良好的空間相關結構。為避免以上合成方法的不足，筆者采用Vanmarcke等[15]及Zavoni等[16]提出的基于Fenton的Krings算法基礎上改進的方法，該方法借助于最佳線性無偏估計，能更好的保持地震地面運動原有相關結構特征[16，20]。其主要計算流程如圖6，采用的空間時滯相關函數是Harichandran等[17]提出的模型，計算中，采用了時程記錄分段模擬再加窗疊加辦法反映地震動時間非平穩特性，其中窗函數的選取參考文獻[1819]。

為便于比較，文中記錄地震動與模擬地震動所在位置均在一條直線上。以Smart1臺陣第40次地震記錄臺陣點C00、I01、M01，O01已知記錄，生成A、B、C、D、E、F、G點位置人工波，位置如圖7所示。圖8為模擬的多點地震動結果，為方便比較，各人工地震動已用文中計算出的延遲對所有地震動臺陣記錄與模擬記錄進行平移。

從圖9可以看出，隨著與已知臺陣記錄點C00的距離增大，無論是已知記錄點還是模擬點，其相關性表現出1種逐漸遞減的趨勢，而距離C00最遠的點O01（2 000 m）、H（2 200 m）、G（1 800 m），距離最大。在地理空間內位置相近點，比如A、B、I01點，或是M01、F等點在構圖中距離都較為接近，在構圖即在地理空間內接近的點如其在構圖中的位置趨于一致，說明該合成方法具有較好的收斂性。若以C00為參考，可以看出隨著臺陣或是模擬點地理位置距離C00的增大，在構圖陣中的位置（圖9）表現為以臺陣C00為球心，半徑逐漸擴大的球面上的分布。即體現出一種隨著地理距離增大，相關性降低的趨勢，這與理想的結果也是符合的。分析表明，文中所采用的方法模擬出的人工多點地震動記錄，表現出于原臺站記錄一致的空間內相關結構。3 結 語

指出了相關系數作為判定地震動記錄相似度的缺陷，介紹了1種更為合適的地震動記錄相似程度的度量標準（DTW），同時應用于MDS方法進一步挖掘地震臺陣波數據內在結構。第1個算例借助于Smart1第40次地震的7條臺陣記錄和EL Centro（1940，NS）以及1條基于C00發生彎曲和伸縮的奇異波，說明了DTW較相關系數能更好的識別較為復雜的地震動變化，并驗證了所提出相關構圖法的合理性，結果表明相關構圖法具有較為明確的物理意義和直觀性。第2個算例為筆者提出的相關構圖法在地震動合成結果的判定中的應用，采用Smart1臺陣的3個真實臺站記錄和7條人工波記錄進行比較，計算結果反映出生成的地震動之間不僅互相間具有良好的相關性，更與實際的臺陣記錄相吻合，說明合成的人工波具有較好的空間相關結構和收斂性。

參考文獻：

[1]Boissières H P，Vanmarcke E H.Estimation of lags for a seismograph array： wave propagation and composite correlation[J].Soil Dynamics Earthquake Engineering，1994，14：522.

[2]Johnson D E.Applied multivariate methods for data analysts[M].Belmont， C A： Duxbury Press，1998：711.

[3]Shepard R N.The analysis of proximities： multidimensional scaling with an unknown distance function I[J].Psychometrica， 1962，27（2）：125140.

[4]Kruskal J B.Nonmetric multidimensional scaling： a numerical method[J].Psychometrika，1964，29（2）： 115129.

[5]Ayer M.An empirical distribution function for sampling with incomplete information[J]. Annals of Mathematical Statistics，1955，26：641647.

[6]Boissières H P，Vanmarcke E H.Spatial correlation of earthquake ground motion： nonparametric estimation[J]. Soil Dynamics Earthquake Engineering，1995，14（1）：2331.

[7]Smith S W，Ehrenberg J E，Hernandez E N.Analysis of the El Centro differential array for the 1979 Imperial Valley earthquake[J].Bulletin of the Seismologid Society of America，1982，72：23758.

[8]Todorovska M I，Trifunac M D.Amplitudes， polarity and time of peaks of strong ground motion during the 1994 Northridge， California Earthquake[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，1997，16 （4）：235258.

[9]der Kmreghian A，Neuenhofer A.Response spectrum method for multi support seismic excitation[J]. Earthquake Engineering Structural Dynamics，1992， 21：713714.

[10]Berndt D J，Clioffrd J.Finding patterns in time series： a dynamic programming approach[M].Advances in Knowledge Discovery and Data Mining，AAAI/MIT Press，1996：229248.

[11]Li Y M，Chen H G，Wu Z Q.Dynamic time warping distance method for similarity test of multipoint ground motion field[J].Mathematical Problems in Engineering， 2010，1：112.

[12]Hao H，Oloveria C S，Penzien J.Multiplestation ground motion processing and simulation based on SMART1 array data[J].Nuclear Engineering and Design，1989，111：293310.

[13]屈鐵軍，王前信.空間相關的多點地震動合成（Ⅰ）——基本公式[J].地震工程與工程振動，1998，18（1）：815.

QU Tiejun，WANG Qianxin.Simulation of spatial correlative time histories of multipoint ground motion， Part I： Fundamental formulas[J].Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1998，18（1）：815.

[14]董汝博，周晶，馮新.非平穩空間相關多點地震動合成方法研究[J].地震工程與工程振動，2007，27（3）：1114.

DONG Rubo，ZHOU Jing，FENG Xin.Simulation of nonstationary spatial correlative time histories of multipoint ground motion[J].Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2007，27（3）：1114.

[15]Vanmarcke E， Fenton G.Conditioned simulation of local fields of earthquake ground motion[J].Structural Safety，1991，10：247264.

[16]Heredia Z E.On the response of multisupport MDOF systems to spatially varying earthquake ground motion[D].Princeton： Princeton University，1993.

[17]Harichandran R，Vanmarcke E.Stochastic variation of earthquake ground motion in space and time[J].Journal of Engineering Mechanics，1986，112：154174.

[18]Saragoni G R，Hart G C.Simulation of artificial earthquake[J].Earthquake Engineering Structural Dynamics，1974，2（3）：249267.

[19]屈鐵軍，王前信.空間相關的多點地震動合成（Ⅱ）——合成實例[J].地震工程與工程振動， 1998，18（2）： 2532.

QU Tiejun，WANG Qianxin.Simulation of spatial correlative time histories of multipoint ground motion， Part Ⅱ： Example of simulation[J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1998，18（2）：2532.

[20]Vanmarcke E H，Heredia Z E，Fenton G A.Conditional simulation of spatially correlated earthquake ground motion[J].Journal of Engineering Mechanics （ASCE），1993， 119（11）：23332352.

（編輯 王秀玲）doi：10.3969/j.issn.16744764.2012.05.003