非彈性結構體系的概率地震損傷分析

摘 要：綜合考慮強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的影響，提出了雙向激勵下非彈性體系地震損傷分析的新型數值模型。結合所篩選的69條地震記錄，定量地分析了雙向地震激勵、強度退化、剛度退化、捏攏效應等因素對地震損傷指標的概率統計特征的影響。計算結果顯示：非彈性雙自由度體系的地震損傷指標可以描述為Frechet或Lognormal分布隨機變量；雙向激勵下非彈性雙自由度體系的地震損傷指標可以近似表達為單向激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標的平方和開方；減小結構的屈服后剛度或考慮強度退化、剛度退化和捏攏效應的影響可以明顯加劇結構的地震損傷程度。

關鍵詞：地震損傷指標；捏攏效應；剛度退化；強度退化

中圖分類號：TU311.3

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764（2012）04-0059-07

Probabilistic Seismic Damage Analysis of Inelastic Structural System

YU Bo1， YANG Lyufeng1，2

(1. Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety of China Ministry of Education，

Guangxi University， Nanning 530004， P.R. China;

2. Agency of Housing and Urban-Rural Development， Guangxi Autonomous Zhuang Region， Nanning 530028， P.R. China)

Abstract:A novel numerical model for seismic damage analysis of inelastic two degree of freedom (2DOF) system under bi-directional excitations was developed by taking the strength degradation， stiffness deterioration and pinching effect into account. The influences of bidirectional excitations， strength degradation， stiffness deterioration and pinching effect on statistical characteristics of seismic damage index of inelastic 2DOF system were investigated using 69 selected earthquake records. The results show that seismic damage index of inelastic 2DOF system can be described as either the Lognormal or the Frechet distribution variable; the seismic damage index of inelastic 2DOF system can be approximated by the square root of sum of square (SRSS) of seismic damage index of single degree of freedom (SDOF) system; an decrease in post-yielding stiffness or consideration of strength degradation， stiffness deterioration and pinching effect may increase the seismic damage index remarkably.

Key words:seismic damage index; pinching effect; stiffness degradation; strength deterioration



地震動對工程結構的作用實際上是一個能量的輸入、轉化與耗散的過程。結構在地震作用下不僅會產生變形，而且會發生能量耗散，兩者都會對結構造成不同程度的損傷。因此，地震作用下結構的最大位移響應和能量耗散能力是結構抗震設計的2個重要性能指標［1］。

由Park等［2-3］提出的地震損傷指標綜合考慮了結構的最大非彈性位移和累積滯回耗能的影響，是目前比較常用的地震損傷模型。楊偉等［1］根據能量方程建立結構最大彈塑性位移和累積滯回耗能的關系，提出了Park-Ang地震損傷指標的簡便算法。王東升等［4］根據鋼筋混凝土構件低周疲勞試驗數據，利用臨界延性系數和能量等效系數來確定能量項加權因子，提出了改進的Park-Ang地震損傷模型。于琦等［5］通過建立多自由度體系與等效單自由度體系之間滯回耗能的轉化關系，提出了基于變形與能量雙重準則的鋼筋混凝土結構地震損傷評估方法。易偉建等［6］利用Pushover建立多自由度體系結構與等效單自由度體系之間位移及能量的轉換關系，進而采用Park-Ang模型對結構的整體地震損傷程度進行了綜合評估。Ghosh等［7］比較了確定平面多層框架Park-Ang地震損傷指標的三種等效單自由度體系方法。張國軍等［8］分析了加載循環水平對高強混凝土框架柱累積滯回耗能的影響規律，進而確定了適用于高強混凝土框架柱的Park-Ang損傷模型的耗能因子。傅劍平等［9］根據鋼筋混凝土柱的試驗數據，對鋼筋混凝土結構的Park-Ang雙參數破壞準則的識別和修正問題進行了討論。

值得注意的是，現有的研究主要針對單向地震激勵下的理想彈塑性或雙線性結構體系進行分析，而對于雙向地震激勵下具有強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的結構體系的地震損傷關注較少。然而，實際工程結構大多承受雙向地震激勵，特殊情況下還有必要考慮豎向地震作用和轉角激勵的影響［5］。此外，震害資料和試驗數據顯示，鋼筋混凝土結構在地震作用下往往發生混凝土開裂、破碎、剝落甚至壓潰，鋼筋與混凝土之間也會發生粘結滑移，結構整體表現出明顯的強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性。鑒于此，筆者引入規一化屈服強度和規一化位移的概念，并利用規一化位移作為控制參數，以圓形屈服面來描述雙向規一化恢復力之間的耦合效應，且綜合考慮強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的影響，建立了雙向地震激勵下非彈性雙自由度體系地震損傷分析的新型數值模型，并結合所篩選的69條地震記錄定量地分析了非彈性2DOF體系的地震損傷指標的概率統計特征。

1 地震延性需求和損傷指標

如圖1所示，雙向水平地震激勵下非彈性雙自由度體系的運動控制方程為式(1)。

mbx+cxbx+αxkxubx+(1－αx)kxzbx=－mgx

mby+cyby+αykyuby+(1－αy)kyzby=－mgy(1)

式中：m為集中質量；下標i (i = x和y)表示地震激勵和結構響應的方向；ki和ci分別表示初始線彈性剛度和粘滯阻尼系數；αi為屈服后剛度比；gx和gy為地震加速度；ubi、bi和bi分別表示集中質量的相對側向位移、速度和加速度；zbi為非線性滯回位移。

圖1 雙向地震激勵下的非彈性2DOF體系

假設在單向水平地震激勵下，線彈性體系的位移峰值為Dei (i = x，y)，非彈性體系在屈服點處的位移為Dyi，則可以引入無量綱量［10］，得到式(2)、(3)。

μbx=ubxDyx；μby=ubyDyy(2)

μbzx=zbxDyx；μbzy=zbyDyy(3)

式中Dyi =iDei；i為規一化屈服強度；μbi和μbzi分別表示集中質量在雙向地震激勵下的規一化側向位移和規一化滯回位移。利用式(2)所定義的無量綱量，可以將式(1)表示為式(4)。

bx+2ξxωnxbx+αxω2nxμbx+

(1－αx)ω2nxμbzx=－gxDyx

by+2ξyωnyby+αyω2nyμby+

(1－αy)ω2nyμbzy=－gyDyy (4)

式中ξi = ci /(2mωni)和ωni =(ki /m)0.5分別表示非彈性體系在初始線彈性階段沿i(i=x，y)方向的粘滯阻尼比和自振圓頻率(rad/s)。此外，非彈性體系的規一化側向位移(μbi)與規一化滯回位移(μbzi)之間的關系［10-11］為式(5)～(11)。

bzi=hibi，bzi，εn b1+δηiεn bbi－1+δv iεn bμbziIb(5)

Ib=bxμbzxnx－1βx+γxsgnbxμbzx+

byμbzyny－1βy+γysgnbyμbzy(6)

hibi，μbzi，εnb=1－a1i?ea4i(7)

a1i=ζsi1－e－piεnb(8)

a2i=ψi+δψiεnbλi+a1i(9)

a3i=1+δviεnbβi+γi－1ni(10)

a4i=－μbzisgnbi－qia3ia2i2(11)

式中：βi、γi和ni為形狀參數；δη i和δv i分別為剛度和強度退化參數；ζsi、pi、qi、ψi、δψ i和λi為捏攏效應參數［12-13］；sgn(x)為符號函數；εn b為非彈性體系在時程T內的規一化累積滯回耗能。當nx = ny = n時，εn b定義為［11］式(12)。

εn b=∫T01－αxbxμbzx+1－αybyμbzy×

cosnθ+sinnθ2/ndt(12)

式中θ=tan-1(μby/μbx)為規一化側向位移μbx和μby之間的夾角。

若引入向量{y1， y2， y3， y4， y5， y6， y7}T= {μbx，bx，μby，by，μbzx，μbzy，εnb}T，則可以將式(4)～(12)轉換為一階偏微分方程組(13)。

1=y2

2=－2ξxωnxy2－αxω2nxy1－(1－αx)ω2nxy5－gx/Dyx

3=y4

y4=－2ξyωnyy4－αyω2nyy3－(1－αy)ω2nyy6－gy/Dyy

5=sx?［y2－(1+δν iy7)?y5?Ibxy］/(1+δηiy7)

6=sy?［y4－(1+δν iy7)?y6?Ibxy］/(1+δηiy7)

7=(1－αx)y2?y5+(1－αy)y4?y6×

|cosnθ|+|sinnθ|2n (13)

式中：

si=1－ζsi(1－e－piy7)e－(b1i－b2i)b3i2，(i=x，y)(14)

b1i=y5?sgny2(15)

b2i = qi 1 + δνi y7 βi + γi -1nx (16)

b3i=ψi+δψiy7?λi+ζsi1－e－piy7(17)

Ibxy=y2?y5nx－1?βx+γxsgny2?y5+

y4?y6ny－1?βy+γy?sgny4?y6(18)

利用Gear法［14］求解式(13)所定義的偏微分方程組，可以得到規一化位移時程μbi(t)、規一化滯回位移時程μbzi(t)、規一化累積滯回耗能εnb。當nx = ny = n時，非彈性2DOF體系的地震延性需求(μb，max)和Park-Ang地震損傷指標(Db)［11］為式(19)、(20)。

μb，max=maxt∈Tμbx(t)n+μby(t)n1n(19)

DPAb=μb，maxμcb+δEbεnbμcb(20)

式中：δEb為循環加載的影響系數，其典型取值在001～025之間［7］；μcb為單調加載下結構的延性能力。由于DPAb與μcb有關，而不同結構的μcb可能千差萬別，難以統一衡量。所以本文選用Db =μcbDPAb =μb，max+δEbεnb進行分析并建立其概率預測模型，然后結合Db和目標結構的μcb，利用損傷指標DPAb=Db/μcb對特定的工程結構進行損傷評估［10］。

2 雙向激勵下的非彈性地震動力響應

2.1 捏攏效應和退化效應的影響

首先利用幅值遞增的簡諧荷載來分析捏攏效應以及強度和剛度退化對滯回曲線的影響。假定結構的自振周期Tn=1.0 s，阻尼比ξ=0.05。除圖2中特別注明外，模型參數{α，β，γ，n，δη，δv，ξs，p，q，ψ，δψ，λ} = {0.05，0.5，0.5，1，0，0，0，2.5，0.15，0.1，0.005，0.5}。在單向簡諧荷載激勵下，非彈性體系的滯回曲線如圖2所示。由圖2（a）可知，當剛度退化參數δη=0.15時，隨著加卸載循環次數的增加，滯回曲線在加卸載過程中的切線剛度逐漸減小。由圖2（b）可知，當強度退化參數δv=0.03時，隨著加卸載循環次數的增加，滯回曲線的屈服強度逐漸減小。由圖2（c）和圖2（d）可知，當捏攏效應參數ξs=0.95時，滯回曲線在平衡位置附近出現明顯的收縮效應，滯回曲線的飽滿度明顯下降。由此可見，該模型可以充分考慮捏攏效應、剛度退化、強度退化等因素的影響，具有較強的適用性。

圖2 捏攏效應和退化效應對滯回曲線的影響

2.2 雙向地震激勵的影響

在雙向地震激勵下，非彈性體系沿一個方向的屈服或累積損傷，往往會削弱另一個方向的剛度或強度，進而明顯改變非彈性體系的地震動力響應。假定結構沿x和y方向的自振周期Tnx = Tny = 05 s，阻尼比ξx =ξy=5%，規一化屈服強度x =y= 0.5，模型參數{αi，βi，γi，ni，δηi，δvi，ζsi，pi，qi，ψi，δψi，λi} ={0.05，0.5，0.5，2，0，0，0，2.5，0.15，01，0.005，0.5}。上述參數均符合文獻［10， 13， 15］的推薦取值。從NGA數據庫［16］中任意選擇一條地震記錄進行分析。例如，由LA-Wadsworth VA Hospital South監測站所記錄的1994年1月17日發生的6.69級Northridge-01地震。非彈性體系在單、雙向地震激勵下的滯回曲線如圖3所示。圖中，fi和μi分別表示單向地震激勵下的規一化恢復力和規一化位移；fbi和μbi分別表示雙向地震激勵下的規一化恢復力和規一化位移；εnx、εny、εnbx和εnby為規一化累積滯回耗能。由圖3可知，雙向地震激勵促使滯回曲線在卸載點附近出現明顯的圓角效應；取決于地震激勵和結構動力參數的特性，雙向地震激勵作用既可能增大也可能減小非彈性體系的累積滯回耗能。

圖3 單向和雙向地震激勵下的滯回曲線

3 概率地震損傷指標分析

由于地震的發生以及地震加速度的傳播均具有較強的隨機性，所以非彈性體系的地震損傷指標也不可避免地存在隨機性。下面分析雙向地震激勵下非彈性2DOF體系的地震損傷指標的概率統計特征。

3.1 地震記錄的篩選

地震記錄的選擇通常需要考慮地震動對目標結構的潛在破壞勢，進而根據震級、震中距、場地條件等參數從實際地震記錄中選取。從美國太平洋地震工程研究中心所建立的NGA強震數據庫［16］中篩選地震記錄，并采用以下篩選準則［17］：1) 震源位于美國加利福尼亞州；2) 地震記錄的場地條件為NEHRP分類［16］中的B類或C類；3) 地震記錄監測設備安置在自由場地或單層輕型結構的地表，即屬于Geomatrixs分類［16］中的I類或A類；4) 地震記錄具有完整的3個加速度分量，且同時滿足高通濾波器拐角頻率≤0.5 Hz和低通濾波器拐角頻率≥40 Hz。通過篩選，可以確定有13次地震的69條地震記錄符合上述條件，見表1。

3.2 地震損傷指標的經驗分布模型

首先確定地震損傷指標(Db)的經驗分布模型。假定參數{αi，βi，γi，ni，δηi，δvi，ζsi，pi，qi，ψi，δψi，λi }={0.05，0.5，0.5，2，0，0，0，2.5，0.15，0.1，0.005，05}。將非彈性體系在69條地震記錄作用下的Db的樣本點分別描繪在Frechet和Lognormal概率紙上，如圖4所示。由圖4可知，當Tn=0.5 s或1.0 s時，采用Lognormal或Frechet分布來描述Db的差異性并不明顯，因為Db的樣本點在這2種概率紙上的分布均較好地呈現直線；當Tn=0.2 s時，采用Lognormal分布來描述Db的概率分布則更為合理，因為Db的樣本點在Lognormal概率紙上的分布更趨近于直線，當規一化屈服強度較小時尤為明顯。

圖4 Db在Lognormal和Frechet概率紙上的分布

3.3 地震損傷指標的統計特征值

下面確定地震損傷指標(Db)的統計特征值。當自振周期(Tn)為0.1、0.2、0.5、1.0或1.5 s，規一化屈服強度()從0.1到0.5變化時，Db的均值和變異系數如圖5所示。由圖可知，Db的均值隨著Tn和的減小而增大；隨著的減小，Db的變異系數逐漸增大并趨于穩定，最終維持在1.0～2.0之間。

圖5 Db的均值和變異系數

根據圖5中的變化趨勢，可以將Db的均值和變異系數的預測方程選取為［15］：

mD=expa1+a21－e－φa31－e－φa4+a5ln(min(1，φ))(21)

νD=b11－e－b2φb3φb4+b5ln(min(1，0.5φ))(22)

其中：φ=1；mD和vD為Db的均值和變異系數；ai和bi (i=1， 2，…，5)為預測方程的擬合參數，可以利用非線性最小二乘法確定(見表2)，對應的擬合曲線見圖5。

3.4 地震損傷指標的影響因素分析

選用表1中的69條強震記錄，對20種不同情況下的地震損傷指標(Db)進行概率統計分析。假定結構的自振周期Tnx=Tny= Tn= 0.5 s，規一化屈服強度x =y==0.5，模型參數{αi，βi，ni，pi，qi，ψi，δψi，λi}={0.5，0.5，2，2.5，0.15，0.1，0.005，05}，其他參數的取值見表3。其中，情況1為基準體系；情況2和3用于分析屈服后剛度比(αi)的影響；情況4～7考慮規一化屈服強度x和y的影響；情況8～11考慮自振周期(Tnx和Tny)的影響；情況12～17 用于揭示強度和剛度退化參數(δvi和δηi)的影響；情況18和19 用于分析捏攏效應系數(ζsi)的影響；情況20綜合考慮強度退化、剛度退化和捏攏效應的影響。

利用單向地震激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標(Dx和Dy)，可以將雙向地震激勵下非彈性2DOF體系的地震損傷指標近似表示為：

Db1=Dx+Dy ；Db2=D2x+D2y(16)

在69條地震記錄作用下，地震損傷指標(Dx，Dy，Db，Db1和Db2)的均值和變異系數分別見表4和5。為了方便比較，r1=Db/Db1和r2=Db/Db2的均值和變異系數也列于表中。由表可知，地震損傷指標

(Dx，Dy和Db)的均值隨著規一化屈服強(i)和自振周期(Tni)的減小而增大；減小非彈性體系的規一化屈服強度(i)和自振周期(Tni)，或增大結構的強度退化系數(δvi)、剛度退化系數(δηi)和捏攏效應系數(ζsi)都會明顯增大地震損傷指標的變異性；Db1為Db提供了一個近似下限值，通常低估約25%；雖然r1和r2的變異系數相似，但r2的均值比r1的均值更接近1.0，說明利用Db2來近似估計Db更為合理。也就是說，雙向地震激勵下非彈性2DOF體系的地震損傷指標可以近似表達為單向地震激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標的平方和開方。

5 結 論

綜合考慮強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的影響，建立了雙向地震激勵下非彈性2DOF體系地震損傷分析的新型數值模型。結合69條地震記錄，定量地分析了非彈性2DOF體系的地震損傷指標的概率統計特征。根據計算結果可知，對于橋梁、水塔、單層或多層框架等可以模型化為集中質量體系且主要受第一階振型控制的工程結構具有以下結論：

1)受雙向恢復力耦合效應的影響，雙向激勵下非彈性2DOF體系的滯回曲線在卸載點附近出現明顯的圓角效應，取決于地震激勵和結構動力參數的特性，雙向地震激勵作用既可能增大也可能減小非彈性體系的累積滯回耗能。

2)在雙向地震激勵下，將柔性結構體系(如Tn=0.5 s或1.0 s)的地震損傷指標(Db)描述為Frechet或Lognormal分布隨機變量的差異性并不明顯，而將剛性結構體系(如Tn=0.2 s)的Db描述為Lognormal分布隨機變量則更為合理。

3)在雙向地震激勵下，非彈性2DOF體系的地震損傷指標可以近似表達為單向地震激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標的平方和開方。

4)降低結構的屈服后剛度比或考慮強度退化、剛度退化和捏攏效應的影響，可以明顯增大非彈性2DOF體系的地震損傷指標的均值和變異性。

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（編輯 王秀玲）