淺析小學數學問題表征的研究及其展望

摘 要：問題表征是數學問題解決的關鍵，學生建構表征的質量將影響其后對問題的解決。該領域已成為近些年來數學教育研究的焦點之一。本文介紹了數學心理表征的研究方法、表征理論和差異比較等內容，并就目前這一領域中關注的問題進行了探討。

關鍵詞：小學數學；問題表征；研究現狀和展望

1 引言

小學數學應用題是以現實世界中的事件與關系為題材，用自然語言陳述，以執行數學運算為主的問題。當解決應用題時，學生需要在不同的標志代碼間進行轉換，將普通語言描述的日常事件轉換成數學的概念系統，使其語義和句法變成數學的推理結構，然后才可以進行數學意義上的正規運算［1］。數學問題理解的兩個主要過程：問題理解和問題執行。雖然學生們問題理解階段存在很大的困難，但是許多數學教學都集中于問題執行，而忽略問題理解，這也是造成一些人之所以在理解關系句上存在困難的原因。表征有助于學生對數學概念和關系的理解，有助于建立相關數學概念之間的關系，將數學應用到真實問題情境之中。所以近年來，教育學家們開始越來越重視對于這方面問題的研究［2］。本文將就數學問題表征中研究方法、表征理論和差異比較等問題進行介紹，并對未來研究進行了展望。

2 數學問題表征的研究方法

2.1 口語報告法

在表征研究中通常在被試問題解決之后馬上進行個別訪談，以考察被試在問題解決過程中的認知加工過程。如Garderen(2003)等人從六年級中選取學習不良兒童、學業中等兒童和學業優秀兒童，讓他們完成一套數學測驗，并評價其視空間表征的使用情況。視空間表征分為圖式表征和圖片表征。圖式表征指對問題中的空間關系進行編碼；圖片表征指對問題中的人物、地點和事件進行編碼。實驗中，主試向被試提問以確定被試主要使用了何種策略。將每個題目印在一張卡片上，向學生呈現。然后，詢問并記錄學生他們是如何解決問題的，是否使用了視－空間表征。以下為提問的問題：1)你是如何得出答案的？(如果學生沒有作出來，就問“你剛才是怎樣試圖解決問題的？”)2)當你解決問題時，你在頭腦中看到一幅圖畫了嗎？(如果答案為肯定的，則繼續回答后面兩個問題；否則，停止提問)3)請描述一下你頭腦中的圖畫；4)問題圖畫是如何幫助你解決問題的？

如果被試在描述他們的策略時使用畫圖表、手勢來表示問題中事物的空間關系和動態轉換，或者口頭報告出這種關系和轉換，則計為圖式表征策略；如果被試報告說在腦中出現問題中人或物的具體形象而不是他們之間的關系，則計為圖像表征策略。結果顯示，學業優秀兒童更多使用圖式表征，學業不良兒童更多使用圖片表征；問題解決成功與圖式表征的使用呈正相關，與圖片表征的使用呈負相關。

2.2 臨床觀察法

一些研究者通過觀察兒童在問題解決過程中的表現，以確定他們對問題的表征情況。實驗者通常將問題讀給兒童聽，確保兒童理解題目之后，由兒童解決問題，允許使用積木或數手指以幫助計算。實驗者對兒童的解題過程或操作行為盡可能作仔細觀察與記錄。如在研究中，在聽完主試念的合并題之后，兒童左手伸出3個手指，右手伸出5個手指，逐一點數手指1、2……8，回答說“一共是8個?！眱和抢檬种笜嫿▋蓚€數集之后，把這兩個集合在一起。由此可見，兒童是使用手指策略來表征應用題的。

2.3 眼動實驗

解答數學應用題需要閱讀文本信息，掃描過程中的眼動模式在一定程度上可以反映出心理加工過程，所以一些研究者通過眼動記錄技術揭示數學言語加工特點。在Hegarty 等人(1995)的研究中，他們在考查學生閱讀應用題的情況中發現學困生對題目中的數字和關鍵詞回看的次數最多，而學優生對題目中的變量名回看的次數最多。結果表明，學優生傾向使用問題模型策略，學困生傾向使用直接轉換策略。

3 數學問題表征的理論

3.1 Presmeg的表征理論

Presmeg(1986)等人指出，可以根據個體在解決數學問題時對使用視覺表象或圖表的喜好程度將他們置于一個連續體中。據此，Suwarsono 編制出一種測量個體視覺表象水平的工具——MPI(the Mathematical Processing Instrument)。然而，采用這個工具的后繼研究卻發現視覺表象并不一定促進數學問題的解決，有時甚至起妨礙作用?；谶@些研究，Presmeg總結出中學生在解決數學時常用的五類表象：1)具體圖形表象(在腦中出現圖形)；2)模式表象(以視覺—空間格式勾勒出純粹的關系)；3)動覺表象(包括手的運動和其他的手勢)；4)動態表象(包括對幾何圖形的動態轉換)；5)記憶表象(將數學公式以視覺化的方式提取出來，進行問題解決)。Presmeg 研究發現，對問題關系能夠進行很好理解的問題解決者傾向使用模式表象和動態表象，而對問題關系不能很好理解的問題解決者傾向使用具體表象和記憶表象。

3.2 Kintsch和Greeno的表征理論

Kintsch 和 Greeno 認為，問題表征是雙重的：一方面是表征文本性輸入的命題性文本框架。在算術應用題中，基本命題性文本框架就是集合或集合之間的關系，問題解決者必須把語言輸入轉化成這種文本框架。另一方面是抽象的問題表征或問題模型，它包含源自文本框架的問題相關信息以及問題解決者從有關算術問題領域中推理出的信息。在建構問題模型時，問題解決者要推想解題所需的但文本框架中沒有的信息，同時排除文本框架中解題不需要的信息。

3.3 Mayer等人的表征理論

Mayer等人認為，在數學心理表征中存在兩種基本的策略—直接轉換策略(direct translation strategy)和問題模型策略(problemmodel strategy)。直接轉換策略是指當面對數學應用題時，個體首先從題中選取所含數字和關鍵詞，然后對數字進行加工，其中強調對量的推理，即運算過程；問題模型策略是指當面對數學應用題時，個體首先試圖理解問題情境，然后根據情境表征制訂計劃，其中強調對質的推理，即理解問題中條件之間的關系［3］。

總之，由上面介紹的數學問題表征理論，我們發現，數學問題問題表征大致可以分為兩個步驟：1)問題的字面理解。這是指解題者逐字逐句讀懂描述問題的每個句子。讀懂的標志是能夠用自己的話重述問題的條件，同時還要用自己的話陳述問題的目標。現代信息加工心理學把這種問題的理解看成是把問題中的每一陳述轉換成解題者內部的心理表征的過程；2)問題的深層理解。問題的深層理解也稱問題的綜合，指在問題表層理解的基礎上，進一步把問題的每個陳述綜合成條件、目標統一的心理表征。問題深層理解需要問題圖式的知識?，F代認知心理學認為，人之所以能識別某種物體或事件，是由于通過學習和長期的經驗積累，人腦中儲存了該事物或事件的圖式的緣故。圖式是人腦對事物或事件對一般特征的概括，儲存于人的長時記憶中。在問題解決時，個體頭腦中必須儲存有關題型的圖式，才能迅速識別題型。一旦識別了題型，他便能區分問題中的有關信息與無關信息，甚至能補充題目中缺乏的必須信息。

4 數學問題表征的差異比較研究

4.1 文化差異

Silver、Leung和Cai(1995)在一項研究中要求學生對一個非常規的問題給出多種解釋。日本學生傾向使用符號表征，而美國學生傾向使用視覺表征。在解釋的正確率上，日本學生要高于美國學生(96%和66%)。Cai(2000)研究發現，中美學生在問題表征上存在明顯的差異。中國學生更多使用數學表征，而美國學生更多使用圖片或言語表征，表征的類型與他們的數學成績有著密切的聯系，使用高級表征策略的學生成績較好，反之則較差。該研究結果說明，中國學生的優異成績主要源于他們使用了高級的表征策略。

4.2 專家/新手差異

在專家/新手的研究中發現，專家和新手最重要的差異在于二者對問題空間信息進行編碼時所建立的心理表征不同，在專家建立的心理表征中，事物之間的關系與現實問題結構中的關系相對應，而新手則不然。專家和新手在組織概念上也有所不同，新手常以句子結構來組織概念，而專家則以抽象語義來組織概念。Sternberg在對專家/新手的研究資料中進行因素分析后得出，兩者對問題的知覺方式不同，新手是根據表面結構來知覺問題，例如問題陳述中所使用的字或物體，而專家則使用規則或原理來知覺問題。

4.3 個體差異

為考查智力因素、運算步驟和問題情境等因素對問題解決結果的影響，Judd等人在實驗中以聽覺形式呈現了40道數學應用題。被試為48名輕度智障青少年(25名男性、23名女性)和48名正常兒童(24名男孩，24名女孩)。輕度智障青少年的平均智商是66.62，平均年齡為16.97；正常兒童的平均智商是102.17，平均年齡為10.19。所有被試在進行實驗之前都完成了一個計算測驗，以考查他們是不是具備實驗中要求的計算能力。對被試在應用題中的列式進行編碼，共分為四種類型：1)正確列式；2)運算錯誤，在兩步應用題中其中一步使用了錯誤的運算形式，和兩步都使用了錯誤的運算形式；3)重復錯誤，帶錯題目中的數字；4)猜測錯誤，其他各種錯誤。運算錯誤反映了被試可以正確回憶題目中的數字，但是對問題進行了錯誤的表征；重復錯誤反映了被試部分正確地回憶了題目中的數字；猜測錯誤反映了被試的問題解決過程是全憑猜測的。

實驗結果顯示，輕度智障青少年在數學應用題上存在很大的困難，他們在解決加法和減法應用題上的正確率都要低于正常兒童，盡管兩組被試在正式實驗前進行的計算測驗上沒有顯著的差異。兩組被試的正確率差異主要反映在輕度智障青少年出現過多的運算錯誤。運算錯誤反映了學生可以正確回憶題目中的數字，但是卻使用了錯誤的運算形式。所以研究得出結論認為，輕度智障青少年出現的過多的運算錯誤顯示了他們在理解和表征問題上出現了障礙，而不是在回憶數字信息和執行運算操作中出現障礙。

5 研究展望

隨著計算機科學和認知心理學的發展，數學問題表征已成為當代認知科學的核心概念。有能力的問題解決者的一個很重要的優勢在于他們具有建構適當問題表征的能力，適當的表征調節著個體與環境之間的關系，有助于個體理解信息和情境的關系。所以學生能否建構恰當的問題表征將會影響到其后對數學認知任務的有效處理和解決。一些研究已經發現，通過對兒童表征能力的培養和訓練，可以有效地提高其問題解決的成績，并促進其思維能力的發展。如學生將所獲得的知識不斷的精致化、結構化，形成互相關聯的組塊，才能在形成問題表征時提取這些組塊，產生有利的問題表征；在思維表征策略訓練之后，進行有針對性的元認知監控訓練，能進一步提高思維表征策略訓練的效果，使得學生能夠自覺對思維表征策略進行自我監控［4］。除此之外，動機、情緒、個性特征等因素也影響著數學問題表征的形成?？傊?，數學問題表征受多方面因素的影響，提高學生的表征能力不是一蹴而就的事情，需要在嚴謹的教學設計和合理的教學安排下穩步進行［5］。

參考文獻：

［1］ 李艷利.提高學生數學問題表征能力的三個著眼點［J］.數學學習與研究，2012(03)：1416.

［2］ 張向陽.論心理表征及其規律對教學的啟示［J］.華南師范大學學報(社會科學版)，2003，2(03)：128132.

［3］ 陳英和，仲寧寧，耿柳娜.關于數學應用題心理表征策略的新理論［J］.心理科學，2004，27(1)：246247.

［4］ Teong S K.The Effect of Metacognitive Training on Mathematical Wordproblem Solving［J］.Journal of Computer Assisted Learning，2003，19(1)：4655.

［5］ 李丹，辛自強.小學數學學優生和普通生的學習動機與表征水平的關系［J］.數學研究，2010，3(4)：7480.