高考數學九大撈分策略
2012-01-01 00:00:00朱干江
高考金刊·理科版 2012年6期
雖然在平時的學習過程中，考生已經接觸過大量的高考題，但缺乏對高考試題整體認識和針對性的研究. 考前最后幾天，考生可以先把2006年—2011年本省高考數學試題系統地做一遍，并對照參考答案批改一下；然后把每題考查的知識點和方法總結一下，個別難題可以了解大致解題思路，不要拘泥于細節；接著可以從函數與導數、三角函數與平面向量、數列、不等式、立體幾何、解析幾何、統計與概率等幾部分綜觀五年來考點的分布、考查的頻率和變化、題型特點，找出考查重點中掌握不到位的內容、方法和題型進行強化訓練. 譬如，近五年高考數學中每年都考查一道復數容易題，主要關于復數的有關概念、復數的四則運算，掌握不牢固的同學可以系統訓練一下.
■ （2011全國卷）復數z=1+i，■為z的共軛復數，則z■－z－1=（ ）
A． －2i B． －i C． i D． 2i
解析 z■－z－1=（1+i）·（1－i）－（1+i）－1=2－2－i=－i，故本題答案選B.
答案 B
最后沖刺的階段，建議考生把以前的大型考試試卷、綜合復習中的隨堂試卷收集整理，建立自己的專項錯題庫，特別是對于那些因為概念理解不深刻、知識記憶失誤、思維不夠嚴謹、方法使用不當的典型錯誤，一定要收集成冊并加強研究，找出錯誤的原因. 做錯題筆記包括3個方面: （1）記下錯誤是什么，最好用紅筆畫出；（2）錯誤原因是什么，從審題、題目歸類、重現知識和找出答案這4個環節來分析；（3）錯誤糾正方法及注意事項. 譬如說，若你不能區分交集符號“∩”和并集符號“∪”，則可以背口訣“交集符號是個橋‘∩’，并集符號是個槽‘∪’”來區分. 通過自編口訣來記憶易混淆的知識點既形象又不易遺忘. 再譬如，若做“已知Sn求an”的題型時，經常忽視Sn－Sn-1=an成立的條件是“n≥2”.
■ （1）若f（x）是R上周期為5的奇函數，且滿足f（1）=1，f（2）=2，則f（3）－f（4）=_______.
（2）已知cosx－■=■， x∈■，■，則sinx的值等于____.
（3）觀察下列各式：則72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數字為（ ）
A. 01 B. 43
C. 07 D. 49
解析 （1）f（3）－f（4）=f（－2）－f（－1）=
－f（2）+f（1）=－1；（2）把所求角x表示為x=x－■+■，然后展開后就可以計算出sinx=■；（3）設an=7n，a2=49，a3=343，a4=2401，a5=16807，a6=117649，故相隔四項末屬兩位數字相同，a2011與a3的末尾項相等，故選B.
點評 這三道小題都是“知值求值”問題，但是有些同學常常找不到思路，或者把運算復雜化，導致浪費考試時間，甚至結果運算錯誤. 其實只要樹立“把所求函數值中自變量通過周期性、單調性和奇偶性化到已知值”的意識即可. 因此，在最后的復習中要善于總結自己的疏漏和缺失知識點.
近幾年，數學高考試題中對基礎知識、基本技能、基本方法的考查所占分值已達試卷分值的80%左右. 另一方面，解題速度的快慢主要取決于基本技能、基本方法的熟練程度及能力的高低. 可見，在考前切實重溫基礎知識的同時應加強對基本技能和基本方法的回顧.
■ （2011天津卷）設函數f（x）=x2-1． 對任意x∈■，+∞， f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，則實數m的取值范圍是________．
解析 我們不難把題目化為1-■+4m2≥g（x）=■，對任意x∈■，+∞恒成立的問題． 為此需求g（x）=■，x∈■，+∞的最大值，這就需要用換元法求解，一種換元法是設u=■，則0 點評 本題主要考查了不等式恒成立問題，涉及了二次函數、對勾函數、反比例函數、因式分解、高次不等式、分式不等式和一元二次不等式等基本知識點，還使用了分離變量法、換元法、配方法等基本方法. 很多同學覺得解析幾何要解得全分十分困難，因此缺乏足夠的自信. 其實解析幾何題目也有其固定的規律，題目的大致形式是：先根據條件求出圓錐曲線的方程，再出現滿足一定條件的直線，研究某些問題. 因此，只要你現在開始真正重視解析幾何，揣摩幾道十分典型的好題，相信解析幾何得全分不是夢想. 提供一道典型的解析幾何題目. ■ （2011湖南卷）如圖1，橢圓C1：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長. （1）求C1、C2的方程； （2）設C2與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與C2相交于點A、B，直線MA、MB分別與C1相交與D、E． ①證明：MD⊥ME； ②記△MAB、△MDE的面積分別是S1、S2 ． 問：是否存在直線l，使得■=■？請說明理由. ■ 解析 （1）依題意有■=■，解得a=2b；又因C2和x軸上的交點（±■，0），其線段長2■=a，解得a=2，b=1. 故C1、C2的方程分別為■+y2=1，y=x2-1. （2）①設直線l的方程為y=kx. 由y=kxy=x2-1得x2-kx-1=0. 設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1+x2=k，x1x2=-1. 又點M的坐標為（0，-1）， 所以kMA·kMB=■·■=■=■=■=-1. 故MA⊥MB，即MD⊥ME. ②設直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為y=k1x-1，由y=k1x-1y=x2-1解得點A的坐標為（k1，k21-1）. 又直線MB的斜率為-■，同理可得點B的坐標為-■，■-1. 于是S1=■MA·MB=■·■·k1·■·-■=■. 又解y=k1x-1x2+4y2-4=0得 （1+4k21）x2-8k1x=0. 解得x=0y=-1或x=■，y=■，則點D的坐標為■，■， 又直線ME的斜率為-■，同理可得點E的坐標為■，■. 于是S2=■MD·ME =■. 因此■=■4k21+■+17. 由題意知，■4k21+■+17=■，解得k21=4，或k21=■. 又由點A、B的坐標可知，k=■=k1-■，所以k=±■. 故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為y=■x和y=-■x. 點評 （1）曲線方程的常見求法有：直接法、待定系數法、定義法和相關點法. 解析幾何的第一問往往是送分題，一定要做正確. 做好后先檢驗一下再做下面的問題，如果錯誤，將影響后面的結果. （2）一般地，已知一點設點斜式直線方程時，要考慮斜率不存在的情形；已知斜率設斜截式直線方程. 如本題②中利用①的結果，使兩條直線的方程中只含有一個參數k1，這個也是一個重要的小技巧——盡量少設參數，減少運算量. （3）對于階梯式解答題，要關注問題的前后聯系，使用前面的已知結論解題. （4）本題②問中一元二次方程的常數項為0，比較特殊，采取了直接求解法. 若本題的一元二次方程的常數項不為0，怎么求交點呢？其實，本題已知了直線l和曲線C2的一個公共點M（0，－1），可以借助韋達定理來求另外一個根. 引起分類討論的原因大致可歸結為如下幾種：（1）涉及的數學概念是分類定義的；（2）運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；（4）數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導致不同結果；（5）較復雜的或非常規的數學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的. 分類討論的基本準則是：確定分類標準，逐次分級分層；找準臨界位置，不重復不遺漏. ■ （2011廣東卷）設a>0，討論函數f（x）=lnx+a（1－a）x2－2（1－a）x的單調性. 解析 已知函數f（x）的定義域為（0，+∞）. 于是可得f ′（x）=■， 設h（x）=2a（1－a）x2－2（1－a）x+1. （1）當a=1時， f ′（x）=■>0（x>0），f（x）在（0，+∞）內為增函數； （2）當a≠1時，方程h（x）=2a（1-a）x2－2（1－a）x+1=0的判別式Δ=12（a－1）·a－■. ①當0 且當0 當x1 ②當■≤a<1時，Δ≤0，h（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）內為增函數； ③當a>1時，1-a<0，Δ>0，x1=■－■>0，x2=■+■<0， 所以f ′（x）在定義域內有唯一零點x1，且當0 綜上，f（x）的單調區間如下表： ■ （其中x1=■－■，x2=■+■）. 點評 本題的二級討論還可以更加清晰明了地分成如下幾層：第一層，討論二次函數2a（1－a）x2－2（1－a）x+1=0的開口方向和根的個數；第二層，討論根與定義域的位置關系. 但這種方式較繁瑣，所以我們可以先按照函數類型→二次函數開口方向→一元二次方程根的個數→根與定義域的位置關系來思考，然后把具有相同單調區間的字母a的范圍進行合并來書寫即可. 一般地，應用題的解題步驟分為三步：建模、解模和評價，而考生害怕應用題的主要原因是不會建模. 下面結合實例來說明建模的一般過程. ■ （2011湖南卷）如圖2，長方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v＞0），雨速沿E移動方向的分速度為c（c∈R）. E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，其值與v-c×S成正比，比例系數為■；（2）其它面的淋雨量之和，其值為■. 記y為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=■時，寫出y的表達式. 解析 物體E作勻速移動，速度為v、單位時間內的淋雨量、P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量、其它面的淋雨量之和■、總淋雨量、移動距離d=100，聯系如上條件聯想到常規函數模型為： 總淋雨量y=時間×單位時間內的淋雨量；而單位時間內的淋雨量=P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量+其它面的淋雨量之和■；P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量與v-c×S成正比，比例系數為■；時間=■. 代入上面的數量關系，建立數學模型：■ y=■■v-c+■=■（3v-c+10） 點評 一般地，各類典型應用題的基本模式如下： 1. 函數模型經常涉及成本投入、利潤產出及關于效益、價格、流量、面積、體積等實際問題. 建立函數模型的關鍵是利用數量關系，列出目標函數式，注意問題中隱含量與量之間的關系. 2. 數列模型經常涉及增長率（或降低率）、利息、分期付款、產量、降價、繁殖、溶液的稀釋、污水處理、土地沙化等實際問題. 建立數列模型的關鍵是通過觀察、分析、歸納出等差數列或者等比數列，然后再利用數列知識加以解決. 有時也運用簡單的遞推方法建模. 3. 不等式（組）模型經常涉及統籌安排、最佳決策、最優化、水土流失、安全責任等一些有關不等量或最值的實際問題. 建立不等式（組）模型的關鍵是找出各變量的關系. 4. 立體與平面解析幾何模型. 立體幾何型經常涉及空間觀測、面積、體積等實際問題. 這類問題主要是用立體幾何、三角函數方面的有關知識來建模；解析幾何型經常涉及人造地球衛星、光的折射、反光燈、橋梁等實際問題，這類問題通常是通過建立直角坐標系，運用解析幾何方面的有關知識來建模. 5. 三角模型經常涉及幾何、物理、測量、航海、天文等方面的實際問題. 這類實際問題的數學模型的建立，關鍵是運用三角的知識和方法. 6. 概率模型主要涉及比賽的輸贏、產品的正次等. 建模的策略是：分清事件的性質，是互斥、獨立、還是等可能性事件，從而選擇正確的公式建模. 7. 統計模型是以圖表作為數字信息的主要載體的應用題. 解此類題型的關鍵是：理解圖形內容，找出變化趨勢和變化規律，利用相關的統計知識建模. 小題有其獨特的解法，常見解法有：①直解法——跳步驟解答；②特例法——特殊值（點）法、特殊函數法、特殊數列法等；③圖解法——借助圖形解含有幾何背景題；④歸納法——寫出前幾項，找規律；⑤結論法——直接運用小結論解題；⑥類比法——據兩類對象在某些屬性上相同或相似推理；⑦對等法. 對等法就是根據“對等的條件應有對等的結果”的理念實現問題簡化，從而使問題獲得解決. 對等法主要用于題設條件和題設結論中變量都含有對等特征的題目. ■ （2011浙江卷）設x，y為實數，若x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是________. 解析 本題的常規解法是綜合運用基本不等式和一元二次不等式進行解題，但是這樣沒有實現小題小做的理念. 不難發現，變量x，y在題設條件和題設結論中地位對等，因此x，y相等時x+y應該取得最大值. 把x=y代入x2+y2+xy=1解得，x=y=±■，此時x+y=±■，故x+y的最大值是■. 答案 ■. 點評 高考數學中的選擇題為單項選擇題，而且都是“四擇一”形式. 因此，還可以采用篩選判斷法解選擇題. 篩選判斷法包括逐一驗證法——將選項逐一代入條件中進行驗證，或用邏輯排除法，即通過對四個選項之間的內在邏輯關系進行排除與確定． 熟記一些小結論，不僅能啟迪解題思路、探求解題佳徑，防止解題易誤點的產生，還對提升數學成績起到很大的作用. 下面我們列舉出26個非常重要的結論. 1. 集合｛a1，a2，…，an｝的子集個數共有2n個；真子集有2n－1個；非空子集有2n－1個；非空的真子集有2n－2個. 2. 若f（x）是偶函數，那么f（x）=f（－x）=f（x）；定義域含零的奇函數必過原點（f（0）=0）. 3. 在公共定義域內，增函數f（x）+增函數g（x）是增函數；減函數f（x）+減函數g（x）是減函數；增函數f（x）－減函數g（x）是增函數；減函數f（x）－增函數g（x）是減函數. 4. 復合函數y=f［g（x）］在公共定義域上的單調性：若f與g的單調性相同，則f［g（x）］為增函數； 若f與g的單調性相反，則f［g（x）］為減函數. 5. 若y=f（x）對x∈R時，f（a+x）=f（b－x）恒成立?圳y=f（x）圖像關于直線x=■對稱；若y=f（x）對x∈R時，f（a+x）=－f（b－x）恒成立?圳y=f（x）圖像關于點（■，0）對稱；若y=f（x）對x∈R時，f（a+x）=f（b+x）恒成立?圳y=f（x）的周期為|a－b|對稱. 6. 若f（x+a）=－f（x）或f（x+a）=■（f（x）≠0）或f（x+a）=－■（f（x）≠0），則f（x）的周期T=2a（a≠0）. 7. 方程k=f（x）有解?圳k∈D（D為f（x）的值域）；a≥f（x）恒成立?圳a≥［f（x）］最大值， a≤f（x）恒成立?圳a≤［f（x）］最小值 . 8. 函數y=ax+■（a>0，b>0）的增區間為－∞，－■，■，+∞，減區間為－■，0，0，■. 9. 若m+n=l+k（m，n，l，k∈N*），則在等差數列中有am+an=al+ak，在等比數列中有aman=alak，但反之不一定成立. 10. 在等差數列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等差數列；在等比數列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…（注：各項均不為0）仍是等比數列（m∈N*）. 11. 已知Sn求an用作差法：an=S1， （n=1）Sn－Sn-1，（n≥2）；已知a1·a2·…·an=f（n）求an，用作商法：an=f（1）， （n=1）■，（n≥2）；已知an+1－an=f（n）求an用迭加法；已知■=f（n），求an用迭乘法. 12. 常見裂項公式■=■－■；■=■（■－■）；■=■［■－■］. 13. asinx+bcosx=■sin（x+φ）（其中tanφ=■）；（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx=1±sin2x. 14. P1，P，P2三點共線?圳存在實數λ、μ使得■=λ■+μ■且λ+μ=1. 15. a、b同向或有0?圳a+b=a+b≥a+b=a-b；a、b反向或有0?圳a-b=a+b≥a-b=a+b；a·b不共線?圳a-b 16. 若a，b>0，則■≥■≥■≥■（當且僅當a=b時取等號）；若a，b，c∈R，則■≥■2，ab≤■2，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（當且僅當a=b=c時，取等號）. 17. （1）定點直線系方程：經過定點P0（x0，y0）的直線系方程為y－y0=k（x－x0）（除直線x=x0），其中k是待定系數. （2）與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+λ=0（λ≠C），λ是待定系數. （3）垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0 （A≠0，B≠0）垂直的直線系方程是Bx－Ay+λ=0，λ是待定系數. 18. 解決直線與圓的關系問題時，要充分發揮圓的平面幾何性質的作用（如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）. 19. （1）過直線l:Ax+By+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0，λ是待定的系數. （2）過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓系方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+λ［（Ｄ1-D2）x+（E2-E1）y+F2-F1］=0，λ是待定的系數. 20. 在橢圓中，有由a，b，c構成的三角形，a2=b2+c2；若點P在橢圓上運動，則當點P在短軸端點時，張角∠F1PF2最大，點P在點A時，點P到右焦點距離最近，點P在點B時，點P到右焦點距離最遠. 21. （1）若雙曲線方程為■－■=1?圯漸近線方程：■－■=0?圳y=±■x. （2）若漸近線方程為y=±■x?圳■±■=0?圯雙曲線方程為■－■=λ. （3）若雙曲線與■－■=1有公共漸近線，可設為■－■=λ（λ>0，焦點在x軸上；λ<0，焦點在y軸上）. 22. （1）拋物線y2=2px（p>0）的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1，y1）、B（x2，y2），則有如下結論：①AB=x1+x2+p；②x1x2=■，y1y2=－p2； ③■+■=■. （2）對于y2=2px（p≠0）拋物線上的點的坐標可設為■，y0，以簡化計算. 23. 直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB =■或AB=■x1－x2=■=■·y1－y2（弦端點A（x1，y1），B（x2，y2），由方程y=kx+cF（x，y）=0消去y得到ax2+bx+c=0，Δ>0，k為斜率）. 這里體現了解幾中“設而不求”的思想； 24. （1）AB和平面所成的角是θ1，AC在平面內，AC和AB的射影AB1成θ2，設∠BAC=θ3，則cosθ1cosθ2=cosθ3；（2）面積射影公式S射=S斜cosθ. 25. 數學期望和方差：（1）E（aξ+b）=aEξ+b：D（aξ+b）=a2Dξ. （2）Dξ=Eξ2－（Eξ）2. 26. 復數中的重要結論：（1）z·z=z2=■2；（2）（1±i）2=±2i；（3）■=i，■=－i；（4）in+in+1+in+2+in+3=0（n∈N）. 拿到試卷后，不要立即著手答題，而應先通覽一遍整套試卷，摸清題型，并關注以下三個方面：1. 看看試卷上的參考公式應該在哪道題中用到；2. 把題目中小括號括起來的部分做個標志，那往往是解題的關鍵；3. 找出各小問之間有階梯關系的解答題，前問的結論在后問中可以直接使用. 孫子云：“知己知彼，百戰不殆.”下面談談評分原則. 閱卷老師是直接尋找正確的答案給分的，多寫不扣分，寫了就可能得分. 在閱卷時，筆者時常會見到這樣的情形，學生自己把“得分點”給劃掉了. 其實即使是錯誤的內容保留在那里沒有劃掉，閱卷老師也會“視而不見”的，不倒扣你的分. 解答題是按步驟給分，按“點”給分的. 當遇到不能完全解答的題目時，可根據題目的已知條件與問題的聯系寫出可能用到的公式、方法、或者判斷，把解題思路寫到答卷上. 有時，寫出一些相關的公式或知識，往往會有一些分數的，尤其當試卷非常難的時候. 同一道題， 如果考生第一問答錯了或未答， 但答對了第二問， 第二問仍給滿分. 所以當解題過程中卡在某一環節上時， 考生可以先跳過這個環節， 承認其相關結論，再往后推， 看能否得到最終結論. 一般地，評卷時對中檔題（三角函數、立體幾何、概率、應用題等）的答題規范要求非常高. 考生解題時要特別注意表達準確、書寫規范、不胡亂跳步，不缺失關鍵條件， 避免因“對而不全”失分. 譬如說，立體幾何證明題按推理過程的邏輯段給分，一個或幾個邏輯段組成一個給分段，每個給分段整體給分. 只有給或不給，不能拆分給. 每個邏輯段由條件和結論組成，無結論不成段，不給分，關鍵條件缺省也不給分（最好把每個條件都寫上！）. 每小問中獨立的給分段獨立給分，具有邏輯先后關系的給分段，一個給分段錯，則下面給分段都錯. 比如批閱2011江蘇考卷15題（滿分14分）時，若由“sinAcos■+cosAsin■=2cosA”直接推出“tanA=■”，缺失步驟“sinA=■cosA”會減2分，由“sinA=■”直接得到“A=■”，缺失“0 我堅信，只要你按照《高考數學考前九大撈分策略》中的策略來做，2012年高考數學成績會高得讓你難以置信！
