索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險種風(fēng)險模型

摘 要 對索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險種風(fēng)險模型進行研究，給出了生存概率所滿足的積分方程、指數(shù)分布下的具體表達式及有限時間內(nèi)的積分—微分方程，并利用鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率的Lundberg不等式和一般公式.

關(guān)鍵詞 Poisson-Geometric過程；鞅；破產(chǎn)概率；Lundberg不等式

中圖分類號 O211.67 文獻標(biāo)識碼 A

A Doubletype-Insurance Risk Model with Claim

Numbers Following Compound Poisson-Geometric Process

ZHAO Jin-e1， WANG Gui-hong2， LONG Yao1

(1. College of Mathematics， Honghe University， Mengzi， Yunnan 661100;

2. Department of Computation and Science， Yuxi Agricultural Vocation College， Yuxi， Yunnan 653106)

Abstract A doubletype-insurance risk model was considered，whose claim numbers are a compound Poisson-Geometric process. The integral equation and the explicit expression under exponential distribution and the integral-differential equation of the survival probability were derived. Meanwhile， by applying martingale approach， the Lundberg inequality and the common formula of the ultimate ruin probability were obtained.

Key words Poisson-Geometric process；martingale；ruin probability；Lundberg inequality

1 引 言

保險風(fēng)險理論是當(dāng)前精算界和數(shù)學(xué)界及保險業(yè)研究的熱門課題，主要處理保險實務(wù)中的隨機風(fēng)險模型，并研究調(diào)節(jié)系數(shù)和破產(chǎn)概率等問題.國內(nèi)外許多學(xué)者在保險公司推出免賠額制度和無賠款折扣(NCD)制度的背景下，引入了一類描述索賠計數(shù)過程為復(fù)合Poisson-Geometric過程(國外稱之為Pólya-Aeppli過程)的風(fēng)險模型.文獻［1，2］研究了該模型破產(chǎn)概率所滿足的更新方程及上界估計，并在個體索賠額服從相位分布時得到了破產(chǎn)概率的顯示表達式，文獻［3］得到了破產(chǎn)概率的一般公式及積分方程，文獻［4］求出了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的更新方程及破產(chǎn)概率的Pollazek-Khinchin公式.而在這些研究中，總是假設(shè)保費的收入過程是時間的線性函數(shù)，即保險公司按單位時間常數(shù)速率取得保單，并假定每份保單收取的保險費均為c.但任何風(fēng)險事業(yè)都是在隨機環(huán)境中進行的，因此單位時間內(nèi)收到的保單數(shù)及每份保單收取的保險費都應(yīng)是隨機的；此外隨著保險公司經(jīng)營規(guī)模的日益擴大及新險種的不斷開發(fā)，必然導(dǎo)致多元化經(jīng)營，而且某一保險事故發(fā)生時往往可能會同時面臨多個風(fēng)險，因此有必要為單一險種提供更為客觀實際的風(fēng)險模型.基于上述因素本文對文獻［1－4］進行推廣，建立保費收入為復(fù)合Poisson過程且索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險種風(fēng)險模型，給出了生存概率滿足的積分方程及其在指數(shù)分布下的具體表達式，并利用鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率滿足的一般公式和Lundberg不等式，同時導(dǎo)出有限時間內(nèi)生存概率的積分微分方程.使得模型更接近保險公司的實際經(jīng)營運作，從而對保險監(jiān)管部門設(shè)計某些監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)以及保險公司設(shè)計相應(yīng)的財務(wù)預(yù)警系統(tǒng)等問題有直接的參考和指導(dǎo)作用.

2 模型引入

定義1 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一包含本文所有隨機變量的完備概率空間，則對u≥0，t≥0，定義保險公司的盈余過程為：

U(t)=u+∑M(t)i=1Xi－∑N1(t)i=1Yi－∑N2(t)i=1Zi，

其中：

1)u為常數(shù)，表示保險公司的初始盈余；

2){M(t)，t≥0}是強度為λ的Poisson過程，{N1(t)，t≥0}，{N2(t)，t≥0}是參數(shù)分別為(λ1，ρ1)(0≤ρ1＜1)，(λ2，ρ2)(0≤ρ2＜1)的復(fù)合Poisson-Geometric過程，分別表示至?xí)r刻t為止保險公司收到的保單總數(shù)、第一類保單發(fā)生的總索賠次數(shù)及第二類保單發(fā)生的總索賠次數(shù)；

3){Xi，i≥1}是獨立同分布的非負隨機變量序列，Xi表示第i份保單收取的保費，其分布函數(shù)為FX(x)，且E［Xi］=μx；

4){Yi，i≥1}，{Zi，i≥1}是獨立同分布的非負隨機變量序列，Yi表示第一類保單的第i次索賠額，Zi表示第二類保單的第i次索賠額，其分布函數(shù)分別為FY(y)，F(xiàn)Z(z)，密度函數(shù)為fY(y)，fZ(z)，且FkY(y)，fkY(y)，F(xiàn)kZ(z)，fkZ(z)分別為FY(y)，fY(y)，F(xiàn)Z(z)，fZ(z)的k重卷積，E［Yi］=μy，E［Zi］=μz；

5){Xi，i≥1}， {Yi，i≥1}，{Zi，i≥1}，

{M(t)，t≥0}，{N1(t)，t≥0}，{N2(t)，t≥0}相互獨立.

記S(t)=∑M(t)i=1Xi－∑N1(t)i=1Yi－∑N2(t)i=1Zi，表示保險公司的盈利過程.為保證保險公司的穩(wěn)定運作，通常要求(λμx－λ11－ρ1μy－λ21－ρ2μz)t＞0，并由此定義相對安全負荷系數(shù)θ=λμxλ11－ρ1μy+λ21－ρ2μz－1＞0.

定義2 記T=inf {t≥0，U(t)＜0}，表示保險公司破產(chǎn)的時刻，則在初始盈余為u的條件下，分別定義保險公司的最終破產(chǎn)概率及在t時刻之前的破產(chǎn)概率為ψ(u)=Pr {T＜∞|U(0)=u}，

ψ(u，t)=Pr {T＜t|U(0)=u}，對應(yīng)的生存概率為φ(u)=1－ψ(u)，φ(u，t)=1－ψ(u，t).

3 主要結(jié)果

引理1 lim t→∞U(t)=∞，a.s..

證明 當(dāng)t→∞時，M(t)→∞，N1(t)→∞，N2(t)→∞，由強大數(shù)定律和文獻［5］有

lim t→∞U(t)t=lim t→∞ut+lim t→∞∑M(t)i=1XiM(t)·M(t)t

－lim t→∞∑N1(t)i=1YiN1(t)·N1(t)t－lim t→∞∑N2(t)i=1ZiN2(t)·N2(t)t

=λE［Xi］－λ11－ρ1E［Yi］－λ21－ρ2E［Zi］

=λμx－λ11－ρ1μy－λ21－ρ2μz＞0，a.s..

故lim t→∞U(t)=∞，a.s..

引理2 lim u→∞φ(u)=1，a.s..

證明 由引理1知，當(dāng)t充分大時，S(t)＞0，即T＞0，對t＞T，S(t)＞0，而在T之前只有有限次索賠發(fā)生，故inf t＜T S(t)以概率1有下界，即inf t≥0S(t)＞－∞，a.s.，所以，當(dāng)u→∞時，有U(t)→∞，從而lim u→∞φ(u)=1，a.s..

引理3 對盈利過程{S(t)，t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得E［e－rS(t)］=etg(r).

證明

E［e－rS(t)］=Ee－r∑M(t)i=1Xi+r∑N1(t)i=1Yi+r∑N2(t)i=1Zi

=Ee－r∑M(t)i=1Xi·Eer∑N1(t)i=1Yi·Eer∑N2(t)i=1Zi

=eλt(MX(－r)－1)eλ1t(MY(r)－1)1－ρ1MY(r)eλ2t(MZ(r)－1)1－ρ2MZ(r)

=e［λ(MX(－r)－1)+λ1(MY(r)－1)1－ρ1MY(r)+λ2(MZ(r)－1)1－ρ2MZ(r)］t，

其中MX(r)=E［erX］為隨機變量X的矩母函數(shù). 令

g(r)=λ［MX(－r)－1］+λ1(MY(r)－1)1－ρ1MY(r)

+λ2(MZ(r)－1)1－ρ2MZ(r)，

即有E［e－rS(t)］=etg(r).

引理4 調(diào)節(jié)方程g(r)=0存在唯一正解R，稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明 因為g(0)=0，且

g′(r)=－λM′X(－r)+λ1(1－ρ1)M′Y(r)［1－ρ1MY(r)］2

+λ2(1－ρ2)M′Z(r)［1－ρ2MZ(r)］2，

從而有

g′(0)=－λμx+λ11－ρ1μy+λ21－ρ2μz＜0，

又

g″(r)=λM″X(－r)+λ1(1－ρ1)［1－ρ1MY(r)］2［M″Y(r)

+2ρ1(M′Y(r))21－ρ1MY(r)］+λ2(1－ρ2)［1－ρ2MZ(r)］2［M″Z(r)

+2ρ2(M′Z(r))21－ρ2MZ(r)］.

由于0≤ρ1＜1，0≤ρ2＜1，且MY(r)，MZ(r)遞增，則存在r1＞0，r2＞0，使得MY(r1)=1/ρ1，MZ(r2)=1/ρ2，取r=min {r1，r2}，則當(dāng)r＜r時g″(r)＞0，故g(r)在(0，r］內(nèi)是凸函數(shù)，又r→r時，g(r)→∞，所以方程g(r)=0有唯一正解R，且R＜r.

引理5 令Mu(t)=e－r(u+S(t))－tg(r)，則Mu(t)是關(guān)于σ－域Fs={Fst，t≥0}的鞅，其中Fst=σ{S(t′)，t′≤t}.

證明 υ≤t，由引理3得

E［Mu(t)|Fsυ］=E［e－r(u+S(t))－tg(r)Fsυ］

=E［e－r(u+S(υ))－υg(r)e－r(S(t)－S(υ))－(t－υ)g(r)Fsυ］

=Mu(υ)·E［e－r(S(t)－S(υ))－(t－υ)g(r)Fsυ］

=Mu(υ).

即結(jié)論得證.

引理6 T是Fs停時［6］.

引理7 設(shè){Ni(t)，t≥0}是參數(shù)為(λi，ρi)(i=1，2)的復(fù)合Poisson-Geometric過程，記αi=λi(1－ρi)ρi(ρi=0時， αi=λi)(i=1，2)，則當(dāng)t足夠小時有［1］

Pr {Ni(t)=0}=e－λit=1－λit+o(t)，

Pr{Ni(t)=k}=αiρkit+Ai(k)o(t)，k=1，2，…，

其中Aik(t)=ρki+(k-1)［ρi(1+αit)］k-2，o(t)與k無關(guān)，且∑∞k=0Aik(t)一致收斂(i=1，2).

定理1 記fρ1(y)=∑∞k=1(1-ρ1)ρk-11f*kY(y)，

fρ1(z)=∑∞k=1(1-ρ2)ρk-12f*kZ(z)，則風(fēng)險模型的生存概率φ(u)滿足下列積分方程：

(λ+λ1+λ2)φ(u)=λ∫

+λ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy

+λ2∫u0φ(u－z)fρ2(z)dz. (1)

特別地，若保費額{Xi，i≥1}服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，而索賠額{Yi，i≥1}，{Zi，i≥1}分別服從參數(shù)為b，c的指數(shù)分布，則

φ(u)=1－(a－Λ2)(λ1+λ2)a(λ1+λ2)－Λ2(λ+λ1+λ2)eΛ2u.

其中

Λ2=－［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］－Δ2(λ+λ1+λ2)，

b=(1－ρ1)b，c=(1－ρ2)c，

Δ=［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］2

－4abc(λ+λ1+λ2)(λa－λ1b－λ2c).

證明 由全概率公式及引理7，有：

φ(u)=［1－(λ+λ1+λ2)dt+o(dt)］φ(u)

+∑∞k=1∫u0φ(u-y)dF*kY(y)［α1ρk1dt

+A1k(dt)o(dt)］+∑∞k=1∫u0φ(u-

z)dF*kz(z)［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］

+［λdt+o(dt)］∫

經(jīng)整理，得

［(λ*+λ1+λ2)dt］φ(u) =∑∞k=1∫u0φ(u-

y)f*kY(y)dy［α1ρk1dt+A1k(dt)o(dt)］

+∑∞k=1∫u0φ(u-z)f*kz(z)dz［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］

+λdt∫∞0φ(u+x)dFX(x)+o(dt).

而0≤ρi＜1(i=1，2)，則由引理7知∑∞k=1ρk1f*kY(y)，∑∞k=1ρk2f*kz(z)，∑∞k=1A1k(dt)f*kY(y)及∑∞k=1A2k(dt)f*kZ(z)均一致收斂，所以

［(λ*+λ1+λ2)dt］φ(u) =

∫u0φ(u-y)(∑∞k=1α1ρk1f*kY(y)dtdy

+∫u0φ(u-z)(∑∞k=1α2ρk2f*kz(z)dtdz

+λdt∫∞0φ(u+x)dFX(x)+o(dt).

又因為αi=λi(1－ρi)ρi(i=1，2)，故

［(λ+λ1+λ2)dt］φ(u)=

λ1dt∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy

+λ2dt∫u0φ(u－z)fρ2(z)dz

+λdt∫∞0φ(u+x)dFX(x)+o(dt).

上式兩邊同時除以dt，并令dt→0，即得式(1).

因為Yi，Zi分別服從參數(shù)為b，c的指數(shù)分布，則f*kY(y)，f*kZ(z)是參數(shù)分別為k，b和k，c的Gamma密度函數(shù)，即

f*kY(y)=bkyk-1(k-1)!e-by，

f*kZ(z)=ckzk-1(k-1)!e-cz.

所以

fρ1(y)=∑∞k=1(1-ρ1)ρk-11f*kY(y)=be－by，

fρ2(z)=∑∞k=1(1-ρ2)ρk-12f*kZ(z)=ce－cz.

又FX(x)=1－e－ax，且由文獻［7］知φ(u)具有可微性，故對式(1)兩邊關(guān)于u求導(dǎo)，得

(λ+λ1+λ2)φ′(u)=aλ∫∞0φ(u+x)dFX(x)

－bλ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy－cλ2∫u0φ(u－

z)fρ2(z)dz+(bλ1+cλ2－aλ)φ(u). (2)

式(2)兩端對u再求導(dǎo)，可得

(λ+λ1+λ2)φ″(u)=a2λ∫∞0φ(u+x)dFX(x)

+b2λ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy+c2λ2∫u0φ(u－

z)fρ2(z)dz-(a2λ*+b2λ1+c*2λ2)φ(u)

+(bλ1+cλ2－aλ)φ(u). (3)

式(3)兩端再對u求導(dǎo)，得

(λ+λ1+λ2)φ(u)=a3λ∫∞0φ(u+x)dFX(x)

-b3λ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy-c3λ2∫u0φ(u－

z)fρ2(z)dz+(b*3λ1+c3λ2－c3λ*)φ(u)

-(a2λ*+b2λ1+c*2λ2)φ′(u)

+(bλ1+cλ2－aλ)φ″(u). (4)

由式(1)~(4)式，得

(λ+λ1+λ2)φ(u)+［λ(b+c)

－λ1(a－c)－λ2(a－b)］φ″(u)

+(λbc－λ1ac－λ2ab)φ′(u)=0.

其對應(yīng)的特征方程為：

(λ+λ1+λ2)Λ3+［λ(b

+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］Λ2

+(λbc－λ1ac－λ2ab)Λ=0.

解得：

Λ0=0，

Λ1=－［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］+Δ2(λ+λ1+λ2)，

Λ2=－［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］－Δ2(λ+λ1+λ2)，

其中

Δ=［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］2

－4abc(λ+λ1+λ2)(λa－λ1b－λ2c)＞0.

所以φ(u)=C0+C1eΛ1u+C2eΛ2u，由φ(∞)=1，得C0=1，而Λ1＞0，Λ2＜0，因此C1=0，即φ(u)=1+C2eΛ2u，代入式(1)，并令u=0，得

(λ+λ1+λ2)(1+C2)

=λ∫

=λ+aλC21a－Λ2.

解得C2=－(a－Λ2)(λ1+λ2)a(λ1+λ2)－Λ2(λ+λ1+λ2).

所以

φ(u)=1－(a－Λ2)(λ1+λ2)a(λ1+λ2)－Λ2(λ+λ1+λ2)eΛ2u.

定理2 風(fēng)險模型的最終破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式ψ(u)≤e－Ru.其中R=sup r＞0{r:g(r)≤0}.

證明 因為T是Fs停時，選取t0＜

e－ru=Mu(0)=E［Mu(T∧t0)］

=E［Mu(T∧t0)|T≤0］Pr {T≤t0} +E［Mu(T∧t0)|T＞t0］Pr {T＞t0}

≥E［Mu(T∧t0)|T≤t0］Pr {T≤t0}

=E［Mu(T)|T≤t0］Pr{T≤t0}. (5)

而當(dāng)T＜∞時，有u+S(T)≤0，所以e－r(u+S(t))≥1，故

Pr {T≤t0}≤e－ruE［Mu(t)|T≤t0］

≤e－ruE［e－Tg(r)|T≤t0］

≤e－rusup 0≤t≤t0etg(r).

上式兩端令t0→

 r＞0{r:g(r)≤0}，即證結(jié)論.

定理3 風(fēng)險模型的最終破產(chǎn)概率為

ψ(u)=e－RuE［e－RU(T)|T＜∞］，

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明 在式(5)中取r=R，有

e－Ru=E［e－RU(T)|T≤t0］Pr{T≤t0}

+E［e－RU(t0)|T＞t0］Pr {T＞t0}. (6)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則

0≤E［e－RU(t0)|T＞t0］Pr {T＞t0}

=E［e－RU(t0)I{T＞t0}］

≤E［e－RU(t0)I{U(t0)}］.

由于0≤e－RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且由強大數(shù)定理知當(dāng)t0→∞，U(t0)→∞，P－a.s.，故由控制收斂定理，有

lim t0→∞E［e－RU(t0)|T＞t0］Pr {t＞t0}=0，P－a.s，于是在式(6)兩端令t0→

定理4 風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)的生存概率φ(u，t)滿足下列偏積分—微分方程：

φ(u，t)u+(λ+λ1+λ2)φ(u，t)

=λ∫∞0φ(u+x，t)dFX(x)+λ1∫u0φ(u

－y，t)fρ1(y)dy+λ2∫u0φ(u－z，t)fρ2(z)dz.

證明 類似于定理1，由全概率公式及引理7，有：

φ(u，t)=［1－(λ+λ1+λ2)dt

+o(dt)］φ(u，t－dt)+［λdt+o(dt)］

∫∞0φ(u+x，t－dt)dFX(x)

+∑∞k=1∫u0φ(u-y，t-dt)dF*kY(y)［α1ρk1dt

+A1k(dt)o(dt)］+∑∞k=1∫u0φ(u-z，t

-dt)dF*kZ(z)［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］.

即

φ(u，t)－φ(u，t－dt)=－［(λ+λ1+

λ2)dt］φ(u，t－dt)+λdt∫∞0φ(u+x，t

－dt)dFX(x)+∑∞k=1∫u0φ(u-y，t-dt)f*kY(y)dy

［α1ρk1dt+A1k(dt)o(dt)］+∑∞k=1∫u0φ(u-z，t

-dt)f*kz(z)dz［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］

=-(λ+λ1+λ2)dtφ(u，t-dt

+λ*dt∫∞0φ(u+x，t－dt)dFX(x)

+∫u0φ(u-y，t-dt)(∑∞k=1α1ρk1f*kY(y)dtdy

+∫u0φ(u-z，t-dt)(∑∞k=1α2ρk2*kZ(z)dtdz+o(dt)

=－［(λ+λ1+λ2)dt］φ(u，t－dt)

+λdt∫∞0φ(u+x，t－dt)dFX(x)

+λ1dt∫u0φ(u-y，t－dt)fρ1(y)dy

+λ2dt∫u0φ(u－z，t－dt)fρ2(z)dz+o(dt).

上式兩邊同除dt，再令dt→0，得

φ(u，t)u+(λ+λ1+λ2)φ(u，t)

=λ∫∞0φ(u+x，t)dFX(x)

+λ1∫u0φ(u－y，t)fρ1(y)dy

+λ2∫u0φ(u－z，t)fρ2(z)dz.

4 小 結(jié)

本文研究保費收入為復(fù)合Poisson過程且索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險種風(fēng)險模型，給出了生存概率滿足的積分方程及其在指數(shù)分布下的具體表達式，并利用鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率滿足的一般公式和Lundberg不等式，同時導(dǎo)出有限時間內(nèi)生存概率的積分—微分方程.復(fù)合Poisson-Geometric過程是Poisson過程的推廣，它不僅保留了Poisson過程的諸多良好性質(zhì)譬如獨立增量性，而且很好地解決了Poisson過程中方差與均值相等，即散度偏大的問題，從而可以更好的刻畫風(fēng)險過程，更重要的是復(fù)合Poisson-Geometric過程是在保險公司的實際賠付政策(免賠額制度和無賠款折扣(NCD)制度)的背景下提出的，它與保險公司的保費政策、賠付政策緊密相關(guān)，有著更具體更實際的應(yīng)用背景，此外近年來隨著保險公司經(jīng)營規(guī)模的日益擴大及新險種的不斷開發(fā)，必然導(dǎo)致多元化經(jīng)營，因此對雙險種的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型進行系統(tǒng)而完善的研究無疑是非常有意義的.參考文獻

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