基于可替代資源的稀缺資源利用問題研究

摘 要 在線性規劃資源利用問題模型基礎上，研究了減少一種稀缺程度相對較高的資源限量，同時增加一定比例的另一種可替代該資源的稀缺程度相對較低的資源限量，而使企業原有最優生產目標值不減的問題.通過對不同情況的分類討論，得到相應的資源改變量及其比例的取值決定和取值范圍，對稀缺資源的節省利用具有一定意義.

關鍵詞 線性規劃；靈敏度分析；可替代資源

中圖分類號 TP13 文獻標識碼 A

Research on Utilization of Scarce Resources Based on Alternative Resources

FEI Wei

(Dongbei University of Finance and Economics， Mathematics and Quantitative Economics， Liaoning，Dalian 116025，China)

Abstract Based on the linear programming model of the resources utilization， this paper studied how to reduce the scarce resource limits with the relatively high scarcity by increasing a certain proportion of another alternative resource limits with the relatively low scarcity， in order to make the original optimal production target of an enterprise not reduced. And by the classification of different situations， the corresponding change of resources， the decisions of the proportion and the range of values can be obtained， which is of a certain sense for saving and using scarce resources.

Keywords linear programming；sensitivity analysis；alternative resources

1 引 言隨著經濟的發展，各種資源的消耗，尤其是稀缺資源的大量減少，已經受到人們的關注，各國各地區逐漸將經濟的可持續發展作為發展的主題，尤其對稀缺資源的節省利用問題采取了各種方法［1-3］.其中可再生資源的開發利用，以及用其替代部分稀缺或不可再生資源就是一種較好的稀缺資源節省利用方式.而將其實施到具體的企業生產過程中，就涉及到企業的最優生產計劃安排，如何能在保持原有最優生產目標值不減少的前提下，使某種稀缺程度相對較高的資源限量減少，同時增加另一種稀缺程度相對較低的資源限量？這是在稀缺資源利用問題中，企業的生產實踐所面臨的實際問題.

本文通過一般資源利用問題的線性規劃模型，對上述問題進行具體的分析研究，以期得到具有實際意義的結果，并能對企業生產安排起到適當的指導作用.

2 基于可替代資源的資源利用問題分析

2.1 一般資源利用問題模型［4-7］

對于一般的資源利用問題可表述為，企業利用m種資源生產n種產品，每種產品生產多少可使得企業總收益最大？常用如下線性規劃模型進行描述：

（LP） max f=CTX

s.t.AX≤b，X≥0，（1）

其中C=(c1，…，cj，…，cn)T∈Rn表示原問題目標函數系數向量，一般表示各種產品的效益系數；b=(b1，…，bi，…，bm)T∈Rm表示原問題約束右端項向量，一般表示各種產品生產所需的每種資源限量；A=(aij)m×n是各種產品生產時的單位消耗系數；X=(x1，x2，…，xn)T是決策變量，一般表示各種產品的產量.

該問題的對偶規劃為（DLP）min z=YTb

s.t.ATY≥C，Y≥0，（2）

其中對偶變量Y=(y1，y2，…，ym)T的經濟意義可認為是對應各種資源的影子價格，表示在這一經濟結構中各種資源在最優決策下的邊際價值.由對偶理論可得：設B是原規劃（LP）的最優基，CB是最優基變量對應的目標函數系數向量，X*、Y*分別是原問題和對偶問題的最優解，則

CTX*=Y*Tb=CBB-1b，其中Y*T=CBB-1.

經 濟 數 學第 29卷第1期費 威：基于可替代資源的稀缺資源利用問題研究

其中最優基系數矩陣B的逆矩陣B－1=(βin+j)m×m，最優解向量為B－1b=α1，…，αmT，λj（j=1，…，n）表示對應變量xj的檢驗數，yj（j=1，…，m）表示當原問題非退化情況下的第j種資源的影子價格［8］.

2.2 兩種資源替代問題的靈敏度分析

以兩種資源之間的相互替代為例，設第k種、第l種資源分別表示現有經濟結構下，稀缺程度相對較高和相對較低的兩種資源，且在生產過程中兩種資源可以相互進行替代，則考慮能否增加一定量的第l種資源數量，同時減少一定量的第k種資源，而使原有的目標函數值不減？

若用Δbj（j=1，…，m）表示第j種資源的變化量.設Δbk（＞0）是第k種資源可減少的絕對量，Δbl（＞0）是第l種資源可增加的絕對量，且ΔblΔbk=t表示兩種資源增減量的比例為t.

由資源限量的靈敏度分析可知，當－Δbkβin+k+Δblβin+l+αi≥0，i=1，…，m時，該資源利用問題的最優基不變，檢驗數行不變，只有目標函數值和最優解發生變化.將上述ΔblΔbk=t代入可得：

當第k種資源限量減少Δbk時，第l種資源限量增加Δbl，且ΔblΔbk=t時，若

max i{－αi－βin+k+tβin+l－βin+k+tβin+l＞0}≤Δbk≤min i{－αi－βin+k+tβin+l－βin+k+tβin+l＜0}，

則原問題的最優表中最優基不變，檢驗行不變，

目標函數值改變量為Δf=(tyl－yk)Δbk，最優基解為XB=(α1+(tβ1n+l－β1n+k)Δbk，…，αi+(tβin+l－βin+k)Δbk，…，αm+(tβmn+l－βmn+k)Δbk)T.

因此若要保持現有最優生產結構安排不變，而通過k，l兩種資源之間的相互替代實現最優目標值不減，可分以下幾種情況進行討論.

1)當yl≠0時

①若當i=1，…，m時，至少存在某一行使－βin+k+tβin+l＜0，且min i{－αi－βin+k+tβin+l|－βin+k+tβin+l＜0}≠0，其中t≥ykyl.則令

Δbk=－αi0－βi0n+k+tβi0n+l=min i{－αi－βin+k+tβin+l|－βin+k+tβin+l＜0}，

可使目標函數值增值最大為Δf*=(tyl－yk)αi0βi0n+k－tβi0n+l.

證明 由靈敏度分析可知

max i{－αi－βin+k+tβin+l－βin+k+tβin+l＞0}≤Δbk≤min i{－αi－βin+k+tβin+l－βin+k+tβin+l＜0}，Δf=Δblyl－Δbkyk=(tyl－yk)Δbk，且由t≥ykyl知tyl－yk≥0，為使Δf最大，則在tyl－yk一定時，應使得Δbk≥0，且Δbk越大越好，則必有Δbk=－αi0－βi0n+k+tβi0n+l，因而將其代入Δf可得Δf*=(tyl－yk)αi0βi0n+k－tβi0n+l.

利用上述結論，在具體問題分析時，如何確定比例t和改變量Δbk，可依據如下兩種方法：

方法一，取決于企業具體的目標增值而定，如給定Δ，可由t=ykαi0+βi0n+kΔylαi0+βi0n+lΔ（由Δ=(tyl－yk)·αi0βi0n+k－tβi0n+l整理即得），但注意此時比例t應滿足t≥ykyl.再根據Δbk=－αi0－βi0n+k+tβi0n+l，可得Δbk.

方法二，如果企業沒有設定具體的目標增值，而是希望得到的目標增值越大越好，則需要先確定比例t.

由至少存在某一行使－βin+k+tβin+l＜0條件可得，若使每一行－βin+k+tβin+l＜0的t的取值范圍，將該范圍同t≥ykyl比較看是否存在交集.若不存在交集，則該行只能是－βin+k+tβin+l≥0；若存在，則t的某一取值既可滿足t≥ykyl又可使－βin+k+tβin+l＜0，此時若只有一行is的t的取值存在交集，則有Δbk=－αis－βisn+k+tβisn+l，且t可在該交集內任意取值.若有不止一行t的取值存在交集，則應取這幾個交集的交集，使t在此交集內取值，并使Δbk=－αi0－βi0n+k+tβi0n+l=min i{－αi－βin+k+tβin+l|－βin+k+tβin+l＜0}.由t=ykαi0+βi0n+kΔfylαi0+βi0n+lΔf，令其取值為該交集內的范圍，即可解得可達到的目標函數增值Δf的可能范圍.

下面以具體實例進行說明：

例 設某個資源利用問題的線性規劃模型為［1］

max f=x1+2x2+13x3

s.t.x1+3x2+3x3≤60，3x2+x3≤40，x1+x2≤20，x1，x2，x3≥0.

可求得該問題的最優表如表2所示.

由此可得原問題的最優解為X*=(607，807，407）T，最優目標函數值f*=1003.

若第二種資源是稀缺程度相對較低的資源，而第三種資源是稀缺程度相對較高的資源，且兩種資源之間可以相互替代，問減少第三種資源限量為Δb3，增加第二種資源限量為Δb2=tΔb3，當它們取值多少時，可以使原最優目標函數值不減，且不改變原有的最優生產結構.

根據上述方法二，由表2可得y2=13，y3=1，因此t≥y3y2=3.根據表2，若使每一行取－βi6+tβi5＜0，有37－27t＜0t＞32；－17+37t＜0t＜13；－67－37t＜0t＞－2，可見它們與t≥y3y2=3的交集分別為t≥3；空集；t≥3.所以第一行和第三行可以在t≥3的條件下滿足－β16+tβ15＜0，－β26+tβ25＜0.而第二行只能－β26+tβ25≥0.因此取Δb3=min i=1，3{－αi－βi6+tβi5－βi6+tβi5＜0}={－40737－27t，－607－67－37tt≥3}=20t+2.那么Δf*=(ty2－y3)Δb3=(13t－1)20t+2.由t=20+2Δf203－Δf≥3，可得0≤Δf＜203.因此可以取t≥3范圍內的t值， 相應Δb3=20t+2，這樣可使目標函數值在0≤Δf＜203范圍內增加.如t=8，Δb3=2，則Δf*=103.

由方法一，若企業的目標增值Δ=103，則由t=y3α3+β36Δy2α3+β35Δ=8，Δb3=－α3－β36+tβ35=2.即減少第三種資源的數量為2個單位，增加第二種資源的數量為16（2×8）個單位，總目標函數值增值為103.同時還可求得當前的最優解為X*=(α1+(tβ15－β16)Δb3，α2+(tβ25－β26)Δb3，α3+(tβ35－β36)Δb3)T=(0，18，2)T.

②當i=1，…，m時，若不存在－βin+k+tβin+l＜0，且t≥ykyl，顯然有Δbk無上界，Δf=(tyl－yk)Δbk.只需取Δbk≥0，則可使得Δf≥0.具體的確定方案可參照1.

③當i=1，…，m時，若所有－βin+k+tβin+l=0，且t≥ykyl，則t=βin+kβin+l，但需滿足βin+kβin+l≥ykyl.此時Δf=(βin+kβin+lyl－yk)Δbk.

2)當yl=0時

①若yk=0，且存在min i{－αi－βin+k+tβin+l－βin+k+tβin+l＜0}≠0，則有Δf=0，Δbk可在滿足0＜Δbk≤min {bk，min i{－αi－βin+k+tβin+l|－βin+k+tβin+l＜0}}范圍內任意取值，同時t可根據企業的生產目標確定或Δbk的取值范圍確定.

②若yk≠0，則根據Δf=(tyl－yk)Δbk=－ykΔbk＜0，顯然如果仍保持變化后的最優基不發生變化，已不存在使目標函數值不減的可能.因此，對于此種情況應使Δbk＞min i{－αi－βin+k+tβin+l|－βin+k+tβin+l＜0}，然后利用對偶單純形法重新求解，重新求解后的最優表中各值均發生變化，yk減小，yl增加，再根據前述1）中各種情況進行分析.

3)當yk=0時，在這種特殊情況下，有時可不必利用資源替代方法，即可使第k種資源限量減小，并同時目標函數值不減，由文獻［1］中定理2可知根據最小比值原則，選擇xn+k所在列的某一βin+k為主元進行迭代，使xn+k進基，如果迭代后得到基變量xn+k＞0，則說明第k種資源的可節省量即為xn+k.說明在實際中第k種資源可由新的最優解所確定的生產方案得到節省利用，而無需利用另一種資源進行替代.

3 結 論

利用兩種可替代資源，對企業原有最優生產方案進行調整分析，使得調整后稀缺程度相對較高的資源限量得到減少，同時稀缺程度相對較低的資源限量可以增加其一定比例，最終使得原有最優目標值不減，甚至增加一定值，這對企業的生產效益和經濟社會的可持續發展具有重要的意義.根據本文的分析，在原有最優生產結構中，以原問題所對應的不同情況進行了分類討論，并得到相應的處理辦法.下一步的研究方向是將其推廣到多種可替代資源的相互替代的稀缺資源節省利用問題研究中，以及能否使企業在最優生產方案中實際消耗的稀缺資源量得到減少，而不減少原有最優目標值的問題.參考文獻

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