高等數(shù)學(xué)中極限概念教學(xué)的思考

摘 要:在分析高等數(shù)學(xué)極限概念的教學(xué)難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)踐，給出了極限概念的教學(xué)對(duì)策。

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué) 極限概念 教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào):G64文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:Ａ文章編號(hào):1674-098X(2012)01(a)-0133-01

極限概念是微積分學(xué)的奠基概念之一，微積分中幾乎所有的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、級(jí)數(shù)等的定義都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上。極限概念是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過(guò)程中遇到的第一個(gè)較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)得關(guān)鍵，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

1 極限概念學(xué)習(xí)困難的原因初步分析

極限概念學(xué)習(xí)困難的原因主要來(lái)自以下兩方面的矛盾:一是極限概念本身的特點(diǎn);另一是學(xué)生自身的特點(diǎn)。

1.1 極限概念的特點(diǎn)

極限概念的形成，經(jīng)過(guò)的抽象層次較高，深刻性也較高，學(xué)習(xí)這一概念時(shí)，需要用到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念，進(jìn)行正確的心理表征，以建立概念的邏輯運(yùn)演。因此，極限概念的抽象程度較高。此外，極限概念的定義，邏輯結(jié)構(gòu)也比較復(fù)雜，符號(hào)很多，并且它們之間的數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，學(xué)生很難掌握。

1.2 學(xué)生自身特點(diǎn)

大一新生剛進(jìn)入大學(xué)，對(duì)于大學(xué)的學(xué)習(xí)方法和教師的教學(xué)方法都還沒(méi)有適應(yīng)。大學(xué)當(dāng)中有大量的學(xué)習(xí)任務(wù)是要求學(xué)生自己獨(dú)立完成的，這就要求學(xué)生有較強(qiáng)的自學(xué)能力，這一點(diǎn)對(duì)于大多數(shù)的大一新生都是難以達(dá)到要求的。因此，在極限概念的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)各種問(wèn)題也就在情理之中了。

2 極限概念的教學(xué)對(duì)策

對(duì)于極限概念的教學(xué)，我們可以從以下幾個(gè)方面入手。

2.1 介紹數(shù)學(xué)史，做好鋪墊導(dǎo)入

從數(shù)學(xué)史的角度來(lái)闡述極限的萌芽、發(fā)展到完善的過(guò)程。這樣不僅能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到極限在高等數(shù)學(xué)中的重要性，更能讓他們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí)。通過(guò)介紹數(shù)學(xué)史的小故事來(lái)引入極限概念。例如:戰(zhàn)國(guó)時(shí)期《莊子·天下篇》惠施說(shuō):“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”以及劉徽的“割圓術(shù)”都體現(xiàn)了極限思想。通過(guò)上述例子的講解，讓學(xué)生了解極限就是為了求實(shí)際問(wèn)題的精確解而產(chǎn)生的。

2.2 由直觀描述性定義過(guò)渡到精確定義

極限概念從描述性定義到定量形式的轉(zhuǎn)化，是教學(xué)中的關(guān)鍵和重點(diǎn)。在教學(xué)中我嘗試按下列過(guò)程逐步使學(xué)生掌握極限概念:

第一步:舉出幾個(gè)無(wú)窮數(shù)列的例子，讓學(xué)生觀察數(shù)列的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出極限的描述性定義:“如果當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于，那么就是這個(gè)數(shù)列的極限”。

第二步:指出描述性定義中的“無(wú)限增大”和“無(wú)限接近”的含義不確切，不能滿(mǎn)足數(shù)學(xué)理論上的推導(dǎo)。將“無(wú)限接近”改成“距離無(wú)限減小”，而距離可以用絕對(duì)值表示。因此，將描述性定義換一種說(shuō)法:“如果當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限減少，那么就是這個(gè)數(shù)列的極限”。進(jìn)一步把“無(wú)限減少”的意思嚴(yán)格化，所謂的無(wú)限減少就是“要多小就有多小”，給出任意一個(gè)正數(shù)，總能小于。

第三步:通過(guò)例子將“無(wú)限增大”和“無(wú)限減少”結(jié)合起來(lái)，即得到嚴(yán)格定義。“當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近”即只要足夠大，。

若取，則存在，只要時(shí)，;若取，則存在，只要時(shí)，。于是就得到數(shù)列極限的定量定義:設(shè)是一個(gè)數(shù)列，為確定的常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論它有多小)，總存在正整數(shù)，使得對(duì)時(shí)的一切，不等式都成立，則稱(chēng)是數(shù)列的極限，或稱(chēng)數(shù)列收斂于，記做或。

2.3 利用幾何意義形象的理解概念

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)指出:“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”;“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)分休”?！皵?shù)”與“形”往往可以同構(gòu)，所以數(shù)形結(jié)合可幫助我們深刻而全面地理解概念，通過(guò)對(duì)極限概念的幾何意義的說(shuō)明，可以加深學(xué)生對(duì)極限概念的理解和掌握。

2.4 適當(dāng)調(diào)整教材中有關(guān)極限內(nèi)容的結(jié)構(gòu)順序

關(guān)于極限的內(nèi)容，目前幾乎所有的教材都是這樣的順序:先講數(shù)列極限，然后講函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，再講函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。數(shù)列極限與函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，在概念的文字表述上和邏輯上都有很大差別，直接引入容易引起學(xué)生認(rèn)知上的困難。具體教學(xué)過(guò)程中，可以改變這一順序，將函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限提到函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限的前面。

在學(xué)生對(duì)數(shù)列概念較為熟悉以后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)概念作為中介，將數(shù)列看成是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，，在此基礎(chǔ)上用與數(shù)列極限相類(lèi)比的方法，建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，自己給出函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限的定義。，，，當(dāng)時(shí)，成立。將換成，將換成以上表述為，，，當(dāng)時(shí)，成立。這實(shí)際上是將數(shù)列極限統(tǒng)一到了函數(shù)極限概念之下。

3 由理論到實(shí)踐使認(rèn)識(shí)逐步提高

一個(gè)學(xué)生能把概念背得滾瓜爛熟，不一定表明他已獲得概念，真正意義上的獲得概念，就是運(yùn)用概念做出判斷和推理，能夠根據(jù)概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生利用極限定義證明函數(shù)極限，加深學(xué)生對(duì)極限概念的理解。

例:用數(shù)列極限定義證明

證明:對(duì)于，要使，只需，取。當(dāng)時(shí)，成立。即

高等數(shù)學(xué)當(dāng)中很多重要的概念都是由極限定義的，在后續(xù)的函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分等概念的講解時(shí)要有意識(shí)的用比較的方法，借助于定理、反例、公式等，明確它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，建立一個(gè)正確的概念網(wǎng)絡(luò)，從而全面、深入、透徹的掌握極限概念。

參考文獻(xiàn)

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