公切球式岔管相貫線為平面曲線的證明

摘 要:本文以一個(gè)圓柱面和一個(gè)斜圓臺(tái)面相交的公切球式岔管為例，證明公切球式岔管的相貫線為平面曲線。以某輸水泵站鋼岔管的設(shè)計(jì)為例說明該結(jié)論的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:公切球 岔管 相貫線 平面曲線

中圖分類號(hào):O242文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2012)01(a)-0223-01

1 引言

公切球式鋼岔管在水利水電、熱力、油氣管線等工程中應(yīng)用很廣泛。在工程設(shè)計(jì)實(shí)踐中一般假設(shè)公切球式鋼岔管為無厚度空間曲面，則兩個(gè)岔管的相貫線為平面曲線。這個(gè)結(jié)論應(yīng)用很廣泛，但卻少見有證明。本文以一個(gè)圓柱面和一個(gè)斜圓臺(tái)面相交的公切球式岔管為例證明這一結(jié)論。

2 原理

定理1:設(shè)二次曲線方程

a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a3=0(a211+a212+a222≠0) (1)

令I(lǐng)2=，I3= (2)

若I2<0，I3=0，則方程(1)所示二次曲線為一對(duì)相交直線(變態(tài)雙曲線)。

3 證明

本文選用的公切球式岔管的形式如圖1所示。主管為圓柱面，半徑為R;支管為斜圓臺(tái)面。公切球半徑為r。顯然r=R。

圖1 公切球式岔管縱剖面示意圖

如圖1所示笛卡爾坐標(biāo)系中，z軸與z’軸重合，垂直于紙面，則圓柱面方程為

y2+z2=R2 （3）

而斜圓臺(tái)面方程在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系x’y’z’為

y’2+z’2=[(x’-k)tana]2 （4）

其中a為斜圓臺(tái)面的旋轉(zhuǎn)角。

(5)

坐標(biāo)系x’y’z’與xyz的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(6)

其中θ為x’y’z’坐標(biāo)系x’軸在xoy平面相對(duì)x軸的旋轉(zhuǎn)角。

將(6)代入(4)，可整理得斜圓臺(tái)面在xyz坐標(biāo)系的方程為

x2(sin2θ-cos2θtan2a)-2xysinθcosθ(1+tan2a)+y2(cos2θ-sin2θtan2a)+z2+2kxcosθtan2a+2kysinθtan2a-k2tan2a=0 (7)

將(3)代入(7)，即z2=R2-y2

整理為

x2(sin2θ-cos2θtan2a)-2xysinθcosθ(1+tan2a)-y2sin2θ(1+tan2a)+2kxcosθtan2a+2kysinθtan2a+

R2-k2tan2a=0 (8)

為圓柱面(3)與斜圓臺(tái)面(4)的相貫線在xoy平面上的投影

令a11= sin2θ-cos2θtan2a

a12=-sinθcosθ(1+tan2a)

a22=-sin2θ(1+tan2a)

a1=kcosθtan2a

a2=ksinθtan2a

a3=R2-k2tan2a

則(8)變?yōu)?/p>

a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a3=0 (8-1)

將a11、a12、a22、a1、a2、a3的表達(dá)式代入定義式(2)，并整理得

I2= (9)

I3=-

=

(10)

對(duì)于公切球式岔管，r=R

故 (11)

代入(9)，可得 I3=0

由于I2<0，方程(8-1)所示空間曲線滿足定理1的條件，是一對(duì)相交直線。從而證明圓柱面(1)與斜圓臺(tái)面(4)的相貫線是平面曲線。

4 應(yīng)用實(shí)例

圖2為某輸水泵站帶月牙肋的公切球式鋼岔管半結(jié)構(gòu)有限元建模示意圖，兩管的內(nèi)表面符合上述證明的條件。因此在利用殼體單元對(duì)其進(jìn)行有限元建模時(shí)就可以利用上述結(jié)論，將位于兩管相貫線的月牙肋板按平面模擬。利用AutoCAD等輔助設(shè)計(jì)軟件，即可方便地模擬月牙肋板結(jié)構(gòu)。

圖2 某輸水泵站帶月牙肋的公切球式鋼岔管半結(jié)構(gòu)

建模示意圖

5 結(jié)語

本文通過對(duì)公切球式岔管相貫線方程和其幾何特點(diǎn)的推導(dǎo)，證明了公切球式岔管相貫線為平面曲線的結(jié)論。此證明解決了設(shè)計(jì)者對(duì)此結(jié)論的疑惑，同時(shí)其思路及推導(dǎo)過程中的相關(guān)方程亦可為設(shè)計(jì)者所參考。

參考文獻(xiàn)

[1]沈永歡.等，實(shí)用數(shù)學(xué)手冊(cè)，科學(xué)出版社，1992.8.