黎曼流形上的Ricci曲率張量及其應用

焦慧平，肖德華

(1.中州大學 信息工程學院，鄭州 450044；2.信陽農業高等專科學校 計算機科學系，河南 信陽 464000)

引言

令M是一個緊致連通的n維黎曼流形，文獻[1]給出了Schouten張量[2]在局部共形對稱與局部共形平坦黎曼流形上的應用，在此通過對Ricci曲率張量的研究得到以下結論:

推論1 M是一個緊致連通的具常數量曲率的黎曼流形，Rij,k=Rik,j，如果M的截面曲率為正，則M是一個Einstein空間。

1.預備知識

設M是n維緊致定向連通光滑黎曼流形，(e1,e2,…,en)為M上的局部標架場，{ω1,ω2,…,ωn}為其對偶余標架場，M的結構方程：

dω1=ωjΛωji,ωij+ωji=0,

其中ωij是M的Levi-Civita聯絡，Rijkl是M的黎曼曲率，且Rijkl有不可約分解

(1)

其中Wijld，Rij和R分別表示Wey1共形曲率張量的分量，Ricci曲率張量Ric的分量和數量曲率。

M的Ricci曲率張量Ric的分量Rij和數量曲率R分別由下式定義

Rij∑Rikjk，R=∑Rkk

記Δ和▽分別表示M上Levi-Civita 聯絡的協變微分算子和Laplace算子，并將協變導數的局部表示記為

Rij,k=▽ekRij,Rij,ld=▽el▽ekRij,

ΔRij=∑Rij,kk等。

一階協變導數例如Rij,k和二階協變導數例如Rij,ld定義為

Rij,kωk=dRij+Rilωlg+Rjkωki,

Rij,ldωl=dRij,k+Rlj,kωli+Ril,kωlj+Rij,lωlk。

并且Ricci恒等式可類似如下定義

Rij,ld-Rij,lk=RimRmjkl+RjmRmikl。

經計算得

(2)

(3)

2.主要結論的證明

首先引進一個如下定義的?算子：

其中f∈C2(M,R)，根據文獻[3]，可以驗證?是關于M的L2-內積自伴的，即∫Mnf?g=∫Mng?f。

(4)

(5)

證明：由(3)式得

再由已知條件知結論成立。

利用Ricci恒等式及Rij,k=Rik,j得

=‖▽Ric‖2+∑Rij[(Rij,kk-Rik,jk)+(Rik,jk-Rik,lg)+(Rik,lj-Rkk,ij)+Rkk,ij]

=‖▽Ric‖2+∑RijRij+∑Rij(RilRlkjk+RlkRlijk)

(6)

將(6)式代入到(5)式得

在p∈M點附近選取標準正交標架場e1,e2,…,en，使得Rij=λiδij，則

由于M是緊致的，并且Δ和?是自伴的，對上式積分得

(7)

根據引理1知，推論1，2顯然成立。

根據引理2知，推論3成立。

[1]紀楠，郭震．具有調和共形曲率的黎曼流形上的Schouten張量及其應用[J]．云南師范大學學報：自然科學版，2005，25(2)：1-4．

[2]Hu Zejun，L i Haizhong ，Simon U．Schouten curvature functions on locally conformally flat Riemannian manifolds[J]．J．Geom．，2008(88)：75-100．

[3]Cheng S Y，Yau S T．Hypersurfaces with constant scalar curvature[J]．Math．Ann．，1977(225)：195-204．

[4]羅明珍，郭震.局部共形的黎曼流形上的Schouten張量[J].云南師范大學學報:自然科學版,2011,31(4):58-61.