一類高階非線性泛函方程的振動準則

戴麗娜，林全文

(廣東石油化工學院 理學院,廣東 茂名 525000)

1 概述

其中:K≥1的正整數，函數P(t)，Qi(t)：I→R＋＝(0,∞),I是R＋上的無界子集；g:I→I,且.定義gi為g的i次迭代，即

關于微分與差分方程解的振動性問題已有許多研究成果，文獻中大量涉及這些方程的振動準則，可參看專著[1－2]及其引文；但是，關于迭代泛函方程振動研究的成果則比較少.這類方程（尤其是作為其特例的循環方程）有著廣泛的應用.它們可以用來描述生物、氣象、經濟等領域中的許多過程，因此，近年來迭代泛函方程的振動性問題越來越受關注，具體可參看文獻[4－12].

本文中，筆者利用與文獻[7]不同的方法，對變系數函數方程（1）一切解的振動性進行討論，并得到新的振動準則，推廣了文獻[4－5]的某些結果.

引理1[7]4151）如果，方程

考慮非線性泛函方程

沒有正實根；

引理2[7]415設，定義序列如下：

2 主要結果

定理1 假如

則方程（1）的一切解振動.

證 假設方程（1）有非振動解x(t)，不妨設x(t)＞0,t∈I,t≥t1∈I.因，故存在t2∈I,t2≥t1，使得 x(gK＋i(t))＞0,t∈I,t≥t2.因此由方程（1）得

通過迭代，有

把式（5）代入式（1），得

由條件（4），存在一個ε＞0和t3≥t2，使得當t∈I,t≥t3時，有

將式（7）代入式（6），得

即

由上式再次迭代，可得

對上面的式子進行迭代，得

將上式代入式（1），得

其中，

用數學歸納法可證明1＞…＞βn＞βn－1＞…＞β1＞(A－ε)，故有存在.令n→∞，式(8)兩邊取根得

令u＝1－β，則有

定理2 假設

且

證 假設方程(1)有非振動解x(t)，不妨設x(t)＞0,t∈I,t≥t1∈I.因，故存在t2∈I,t2≥t1，使得x(gK＋i(t))＞0,t∈I,t≥t2.因此由方程(1)得

由上式迭代得

將式（12）代入式（1）且結合（10）與（12），得

即

式（13）通過迭代有

由式（1），（10）和（14），得

不斷重復上述過程得

再次迭代，得

和

由式(1)和(16),有

由式(1),(17)和(18),有

令n→∞,t→∞,由上式得

這與式(11)相矛盾.

推論1 假設

則方程(1)的一切解振動.

顯然，當m＝1，K＝1時，方程(1)為文獻[4－5]給出的方程，筆者所得結果為其推廣.

3 應用

方程(1)包括具有離散變量和連續變量的差分方程作為其特殊情形.如果令g(t)＝t－τ,τ∈R＋,I＝R＋，則方程(1)化為具有連續變量的差分方程

由定理1和定理2，可以得到定理3.

定理3 假設下列條件之一成立：

則方程（19）的一切解振動.

如果令g(t)＝θt，θ∈(0,1)，則方程（1）化為無窮時滯的差分方程

仍由定理1和定理2，還可以得到以下定理4.

定理4 假設下列條件之一成立：

則方程(20)的一切解振動.

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