金融數(shù)學專業(yè)實變函數(shù)教學方法探析

柏萌

（肇慶學院 數(shù)學與信息科學學院,廣東 肇慶 526061）

2008級金融數(shù)學班是肇慶學院數(shù)學與信息科學學院設置金融數(shù)學專業(yè)后招收的首屆學生，筆者于2010—2011年下半學期給他們講授實變函數(shù)這門專業(yè)課.在授課及與學生座談的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)如下幾個問題：1)多數(shù)金融數(shù)學專業(yè)的學生對自身定位不甚清楚，一些學生不喜歡學習數(shù)學知識，對比較復雜深奧的理論課有抵觸情緒；此外，由于學生數(shù)學分析的功底較為薄弱，因而對要用到許多數(shù)學分析知識的實變函數(shù)課的學習熱情不高.2)大多數(shù)實變函數(shù)的教材偏難且偏重于基礎知識，所需的學時多，但其中缺乏與金融數(shù)學所需的概率和測度知識的聯(lián)系，不適合金融數(shù)學專業(yè)的學生學習.3)從作業(yè)和考試情況看，部分學生解題能力欠缺.

金融數(shù)學專業(yè)學生的后續(xù)課程有概率論和隨機分析.從發(fā)展角度來看，不論將來就業(yè)還是繼續(xù)攻讀研究生，實變函數(shù)都是一門重要的基礎課，學生要從這門課中學到對自己專業(yè)發(fā)展有用的知識.目前的許多實變函數(shù)教材割裂了實變函數(shù)與概率論及隨機分析的聯(lián)系.許多學生也對學習這門課的意義及重要性認識不足，認為要花費很多時間和精力學習如此難學的課程不值得，有的學生甚至干脆放棄了這門課的學習.此外，作為一般性本科院校，我校的生源質量一般，學生數(shù)學分析的功底也相對薄弱.例如：在講授Lebesgue積分時，要比較Riemann積分與Lebesgue積分的關系，但許多學生頭腦中已經(jīng)對Riemann積分沒有概念.在平時學習過程中，不少學生無法按時完成作業(yè)，且許多作業(yè)存在驚人的雷同現(xiàn)象.考試時，學生則只會做平時課上講過的題目，對稍有變化的題目缺乏舉一反三的能力.

針對上述問題，筆者進行了一些研究和反思，并通過實踐總結出幾點教學經(jīng)驗和體會.

1 應該加強實變函數(shù)與概率論及隨機分析的聯(lián)系

實變函數(shù)與概率論、隨機分析這2門課的聯(lián)系非常緊密，對于金融數(shù)學專業(yè)的學生而言更是如此，絕不能將實變函數(shù)與概率論及隨機分析割裂開來，要將他們作為一個統(tǒng)一的整體來對待.現(xiàn)代概率論是前蘇聯(lián)數(shù)學家Kolmogorov在20世紀30年代基于測度理論的基礎重新建立的，要理解概率公理化體系，就必須要理解一般空間上的抽象測度，所以在講解Lebesgue測度知識的同時要引入抽象測度.雖然理解抽象測度的定義需要用到代數(shù)中環(huán)的概念，但是由于學生此時也在學習抽象代數(shù)課程，因此他們理解起來并非很困難.另外，概率論和隨機分析中的許多概念，從實變函數(shù)的角度能理解更深層次的含義.例如：概率中的隨機事件對應測度中的可測子集；隨機變量對應可測函數(shù)；數(shù)學期望對應可測函數(shù)對測度的積分；對于離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的理解，也都可以統(tǒng)一在可測函數(shù)這一概念之下[1－4].教師在講述實變函數(shù)課中上述概念的時候，可以適當列舉一些概率論和隨機分析中的例子.

2 教學內(nèi)容應當生動形象

實變函數(shù)課程的內(nèi)容比較抽象和枯燥，筆者在教學中努力采用生動有趣的語言與便于理解的例子，力求生動形象、由淺入深，能吸引學生的注意力.在講授實變函數(shù)第1章中最重要的概念“基數(shù)”時，筆者首先講了一個原始人計數(shù)的故事：在人類文明的早期階段，原始人不會數(shù)數(shù)，自己家有1只羊，就在樹上畫1道線，于是樹上的線條數(shù)與他家羊的數(shù)目就對應了.現(xiàn)在有很多東西我們無法計數(shù)，如無窮多個自然數(shù)，還有連續(xù)不斷的實數(shù)；但我們可以向原始人學習，找一些集合來與其對應，這就是“基數(shù)”的概念.學生聽過這個故事后，對“基數(shù)”這個概念印象就比較深刻.比如：在證明“已知A＝｛a1,a2,…,an,…｝是可數(shù)集，B＝｛b｝是單元素集，且A∩B＝?，求證A∪B～A”這道習題時，需要構造如下映射φ:A∪B→A,這個映射的構造是實變函數(shù)中重要的解題思想，但是對于剛入門的學生來說，理解起來相對比較困難.為了便于學生理解，筆者采用了Hilbert的生動例子：有個旅館共有可數(shù)無窮個客房，每個客房能且只能住1位旅客.現(xiàn)在這個Hilbert旅館已經(jīng)滿員了，但是又來了1位旅客，旅館老板想到一個解決辦法.設原來的房客為a1,a2,…,an,…，新來的客人為b，安排如下：b住1號房，a1住2號房，a2住3號房，…，an住n＋1號房，于是大家就都能住下了[5].在比較Lebesgue積分與Riemann積分的優(yōu)越性時，筆者選取了Lebesgue曾用過的店員數(shù)法郎的例子[6]5.用Riemann積分的方法數(shù)錢是將所有的錢加起來；而用Lebesgue積分數(shù)錢時，則需將錢按面值分類：所有1元面值錢的集合為E1，則1元面值錢的個數(shù)為mes(E1)；所有2元面值錢的集合為E2，則2元面值錢的個數(shù)為mes(E2)；所有5元面值錢的集合為E5，則5元面值錢的個數(shù)為mes(E5)；…總金額則為1×mes(E1)＋2×mes(E2)＋5×mes(E5)＋….當錢的數(shù)目較少時，采用這2種方法的差別不大；但是當這些“和”的總數(shù)為無窮時，這2種方法的區(qū)別就顯現(xiàn)出來.筆者還例舉了[0,1]上的Dirichlet函數(shù)在Riemann積分意義下不可積，而其在Lebesgue積分意義下則可積.通過列舉這些實例，學生對學習實變函數(shù)的興趣和信心都得到了強化，感覺這門課的內(nèi)容與現(xiàn)實生活貼近，不再覺得其抽象、枯燥和乏味.

3 正確處理定理及其證明

實變函數(shù)中的定理特別多，表述抽象且證明煩瑣冗長，教師必須從學生的實際情況出發(fā)，正確處理定理的講授與詮釋.對于一些不太重要而證明過難的定理，教師不必按部就班地講解定理及其證明，只選用經(jīng)典實例幫助學生理解即可.例如：講解“基數(shù)無最大”這個定理及其證明時，可以引用“理發(fā)師的悖論”代替定理的抽象證明過程[7].對于比較重要的定理，要讓學生深刻理解其所述內(nèi)容；掌握定理中每個條件的意義和作用，其中哪些條件不可或缺，哪些條件是可以替換的；定理是否可逆，逆命題是什么，若不可逆的話，能否舉出相應的反例.例如：在講授Egorov定理時，教師應舉例說明“集合測度小于無窮”這個條件不能缺少，還要舉例說明其結論不能進行如下修改：存在可測集E0?E，滿足μ(E＼E0)＝0，使得在E0上fn(x)一致收斂到f(x)[8].在講解Lusin定理時，可將Lusin定理的逆定理作為課后作業(yè)布置給學生思考.教師在講述定理證明時，重在講解清楚證明思路，最好是將定理的證明過程分解為一個個小目標.在講述Egorov定理的證明時，可以將證明過程分成2個目標：第1步，找到集合A，使得函數(shù)列fn(x)在集合A上一致收斂于f(x)；第2步，描述集合A，使得E＼A的測度很小[6]66.在實變函數(shù)課的教學中，教師還要特別注意定理的聯(lián)系和區(qū)別，對定理進行分類，方便學生掌握.例如：在講完Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理后，比較這3個定理的條件和結論，這樣有利于學生理解和掌握定理.

4 精心設計習題課

學生感到實變函數(shù)課難學的一個重要原因是習題難度大，大部分為需要抽象思維的證明題.如果學生不能順利解答作業(yè)習題，長此下去會產(chǎn)生嚴重的心理負擔，滋生厭學情緒，不利于他們對實變函數(shù)知識與概念的鞏固復習；因此，教師精選習題并上好習題課，對于學生掌握解決實變函數(shù)問題的典型方法、分解難點及增強學習信心十分必要[9].教師在選擇習題時要注意題量和難度適中，選擇的題目要符合“雙基”原則，即選擇運用基本方法解決基本知識點的問題.教師講解習題的過程中要注意調(diào)動學生的主觀能動性，多采用啟發(fā)式和提問式教學，爭取讓學生勤動腦、多動手，鍛煉和培養(yǎng)學生的思維能力，增加他們解完習題后的成就感.教師還要注意總結解題過程中所用到的知識點和解題技巧，及時點撥學生；此外，教師還要注意在學生解題過程中鍛煉其嚴謹?shù)臄?shù)學思維，培養(yǎng)學生使用準確、嚴格的數(shù)學語言描述數(shù)學問題.總之，通過習題講解，教師既要幫助學生鞏固所學知識，又要培養(yǎng)他們多方面的數(shù)學技能，全面提升其學習能力.

[1] 楊明歌.芻議實變函數(shù)課的“承上啟下”的作用[J].重慶電子工程職業(yè)學院學報，2009，18（3）:102-105.

[2] 周性偉.講授實變函數(shù)課的點滴體會[J].高等理科教育，2000(1):42-45.

[3] 趙秀云.改革實函“測度論”一章的設想[J].數(shù)學教育學報，1996(3):60-61.

[4] 金淑良.改革“測度論”教學的實驗情況[J].齊齊哈爾師范學院學報，1989(1):55-57.

[5] 陳澤安.怎樣使“實變函數(shù)”教學生動形象[J].益陽師專學報，1991(2):78-79.

[6] 鄧東皋，常心怡.實變函數(shù)簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[7] 師建國，趙中.優(yōu)化實變函數(shù)教學的類比、建構主義思想淺析[J].天中學刊，2010，25（2）:78-79.

[8] 宋叔尼，張國偉，王曉敏，等.實變函數(shù)與泛函分析[M].北京：科學出版社，2007:36.

[9] 徐西安.改進實變函數(shù)教學的一些方法[J].山東教育學院學報，2006，21（4）:103-105.