組合KdV-Burgers方程的預校算法及其數值仿真

吳紅英, 燕宜佐, 王彩紅

(1.懷化學院數學系,湖南懷化 418008; 2.張家界永定中學,湖南張家界 427000;3.新化縣第二中學,湖南新化 417605)

1 引言

2 預測-校正算法

給出一類組合KdV-Burgers方程[6]

這里 t≥0,- ∞＜ x＜+ ∞,α,β,μ,s是常數.特別地,當β,μ=0時,上式就是標準的 KdV方程;當α,μ=0時,上式就是修正的 KdV(MKdV)方程;當β,s=0時,上式就是Burgers方程;當μ=0時,上式就是組合KdV方程,即KdV方程和MKdV方程的復合,可作為一維非線性晶格傳播波的模型,也可作為流體力學中的一個模型;當β=0時,上式就是KdV-Burgers方程.

設τ為時間步長,h為空間步長,k表示空間節點,n表示時間層.記

1965年Zabusky和 Kruskal針對 KdV方程 (即β,μ=0)運用向前差分技巧構造如下離散的計算格式[11,12]：

為了改善穩定性,我們運用向后差分技巧將(1)式離散為下列隱格式：

由于 (3)式是一個非線性方程組,直接求解有很大困難.運用Adams-Bashforth預測技巧和Adams-Moulton校正技巧[9],構造如下預校算法.

預測公式：

校正公式：

3 改進的預測-校正算法

為加快收斂速度、提高計算精度和保證計算穩定性,實驗證明下列三種迭代策略尤其有效：多次校正的PCM算法,Gauss-Seidel迭代算法 (GS)和正反交替校正算法.

3.1 PCM算法

一般地,對整數 M ≥2有

3.2 Gauss-Seidel迭代算法 (GS)

校正公式：

3.3 正反交替PCM校正算法

4 仿真實例

4.1 組合 KdV-Burgers方程

給出 (1)式定義的組合KdV-Burgers方程的一個行波解[8,10]

圖1描繪了使用預校系統 (4)(5)、改進算法GS及正反PC2校正算法處理組合 KdV-Burgers方程的結果,它與解析解 (9)的波形完全一致.表1列出了數值解與解析解之間的誤差,從計算結果可以看出誤差沒有擴大,算法具有很好的穩定性.

表1 組合KdV-Burgers方程數值解與精確解之間的誤差

如果采用預校系統 (4)(5)及PC1校正算法處理,波形與解析解基本一致,但數值解與解析解之間出現較大的相位差.

圖1 組合KdV-Burgers方程中一個行波運動的情形

4.2 KdV-Burgers方程

給出 (1)式定義的 KdV-Burgers一個行波解[10,13]

取參數

α =1,β =0,μ =2,s=-1,C=24/25,l=0,h=0.1,τ=0.0001,-20 ≤ x≤40.

圖2描繪了使用預校系統 (4) (5)、改進算法GS及正反PC2校正算法處理KdV-Burgers方程的結果,它與解析解 (11)的波形十分吻合,誤差小于0.0053.

圖3描繪了使用預校系統 (4) (5)、改進算法GS及正反PC2校正算法處理KdV-Burgers方程中兩個行波交互的結果,它與解析解

的波形十分吻合,誤差小于0.0046.這里參數為

α=1,μ=2,s=-1,C1=24/25,l1=-20,C2=-24/25,l2=20,h=0.1,τ=0.0001,-30 ≤ x ≤40,0≤t≤30.

圖2 KdV-Burgers方程中一個行波運動的情形

圖3 KdV-Burgers方程中兩個行波交互的情形

4.3 KdV方程

當α=6,s=-1,β=0,μ=0時 ,方程 (1) 是標準的KdV方程,在初值 u(x,0)=6sech2(x)和周期邊界 u(-20,t)= t(20,t)條件下,有雙孤立波解[12].選取時間步長τ=0.0001,空間步長 h=0.2.

(ⅰ)用Zabusky和Kruskal提出的計算格式 (2)進行數值模擬,當t=1.8時波形開始不穩定,見圖4,無法觀察孤立波的第2次碰撞過程.(ⅱ)改用預測-校正公式 (4)- (5),t=4秒時模擬結果仍保持穩定的波形.如圖5,在t=3.3時兩個孤立波開始碰撞;t=3.6時,大孤子完全“吞噬”了小孤子;t=3.7時,兩孤子相互分離,并保持原來的形狀;整個碰撞過程中,與線性疊加不同,振幅沒有增加,反而有所減小,較好地模擬了非線性孤立波的傳播與碰撞過程,改進了(2)式不能長時間模擬的缺陷.(ⅲ)實驗表明,綜合運用改進的預測 -校正公式(6)-(8)在較大步長τ=0.0003和更長時間t=10內模擬均不出現數值振蕩,且精度較高.

圖4 用Zabusky和Kruskal提出的計算格式模擬 KdV方程雙孤立波解的數值結果,短時間出現振蕩

圖5 用預測-校正算法模擬KdV方程雙孤立波解的數值結果,長時間穩定

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