二維離散型隨機變量獨立性證明的矩陣形式

李玉梅

(懷化學院數學系, 湖南懷化 418008)

1 引言

2 二維離散型隨機變量獨立性證明的矩陣形式

表1

定理1[2]設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布列和邊際分布列分別為

和

若 Pij= Pi·P·j對于任意的i和j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)均成立,則稱 X和Y相互獨立.

2.1 符號標記

設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布列和邊際分布列為表格(＊),記

顯然A為二維離散型隨機變量的聯合分布列的矩陣形式.

令 IX=(1,1,…,1)T為n×1矩陣,IY=(1,1,…,1)為1×m矩陣.

2.2 二維離散型隨機變量獨立性證明的矩陣形式

定理2 設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布為A,則它的邊際分布列分別為AIX和IYA.

證明：

隨機變量 X的邊際分布列.

p·2,…,p·m),即為隨機變量 Y的邊際分布列.

定理3二維離散型隨機變量 X和Y相互獨立的充要條件是A=AIX·IYA

證明：“必要性” 若X,Y相互獨立.則pij=pi·p·j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m).又(pij)=A,(pi·)=AIX,(p·j)= IYA.

故有A=AIX·IYA

“充分性” 若 A=AIX·IYA

所以有

即 pij=pi·p·j,(i=1,2,…,m),也即 X,Y相互獨立.

3 利用Matlab程序判定相互獨立性

%離散型隨機變量獨立性的Matlab驗證程序

例1 已知二維離散型隨機變量 (X,Y)的分布列為

images/BZ_136_1238_2511_2213_2661.png-1 3/16 3/16 3/8 1 1/32 1/32 1/16 2 1/32 1/32 1/16

問 X,Y是否相互獨立?

程序運行：

ans=

隨機變量 X與Y獨立.

例2 設X取值0,1,Y取值0,1,2的二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布如下表所示

images/BZ_137_168_645_1143_854.png041216 1 1 8 1 8 1 12 2 1 8 1 1 1216

證明隨機變量 X和Y不相互獨立.

程序運行：

ans=

隨機變量 X與Y不獨立.

4 討論

本文提出了利用二維離散型隨機變量概率分布的矩陣形式來判定二維離散型隨機變量的相互獨立性,并利用Matlab程序快捷地做出解答.這種方法解決了一般判定二維離散型隨機變量相互獨立性復雜,繁瑣的證明過程,并且不易出錯.

[1]陳希儒.概率論與數理統計 [M].北京：科學出版社,2000：60-63.

[2]同濟大學概率統計教研組.概率統計 [Z].上海：同濟大學出版社,1994：85-87.