隨機序壓縮映射的不動點定理

藺海新

(河西學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 張掖 734000)

1 引言及引理

近年來，很多學者研究了實Banach空間中非線性映射的不動點定理[1-4], 本文引入了幾種按序壓縮的隨機序壓縮型映射,在沒有連續(xù)性條件和緊性條件的假設下，證明了相應的不動點定理及不動點的存在性和惟一性.

設(Ω,∑,P)是一個完備的概率空間,E是可分的Banach空間或Polish空間(即可分完備度量空間),ε是E上的Borelσ-代數(shù),(E,ε)為可測空間.

算子A:Ω×E→E稱為隨機算子，若對任意的

x∈E,A(ω,x)為E-值隨機變量，即對E中任意閉集S，集合{ω∈Ω|A(ω,x)∈S}∈∑.特別地若A(ω):E→E對任意的x∈E，A(ω)x為E-值隨機變量，則A(ω)為一隨機算子.

非空閉的凸集P?E為E中的錐, 如果

(ⅰ)?x∈P,λ>0?λx∈P;(ⅱ)x∈P,

-x∈P?x=θ.由P導出的E中半序“≤”如下：?x,y∈E,x-y∈P?y≤x. 若存在常數(shù)N>0使得θ≤x≤y?‖x‖≤N‖y‖,?x,y∈E,則稱錐P為正規(guī)的.N為正規(guī)常數(shù). 對E中由P確定的半序關系“≤”，若任意u,v∈E，有u≤v或v≤u之一成立，則稱u和v是可比較的.

設A(ω,x):Ω×E→E為隨機算子, 若存在E值隨機變量x(ω)使A(ω,x(ω))=x(ω),?ω∈Ω，則稱x(ω)為隨機算子A(ω,x)的隨機不動點.

若任意u0∈E,v0∈E,有u0≤v0，稱[u0,v0]={x|u0≤x≤v0}為E中的序區(qū)間.

引理1[2]對所有的n,un和vn是可比較的，且un→u0,vn→v0(n→∞),則u0和v0是可比較的.

2 不動點定理

定理1 設E是實Banach空間，P是E中的正規(guī)體錐，正規(guī)常數(shù)為N，[u0,v0]是E中的序區(qū)間，隨機映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]滿足：存在常數(shù)0<β<1，使得對任意的u,v∈[u0,v0]，若u和v是可比較的，則A(ω,u)與A(ω,v)也是可比較的，且

(A(ω,v)-A(ω,u))∨(A(ω,u)-A(ω,v)≤

β((v-u)∨(u-v)),

(1)

稱A是β-序壓縮的,β為序壓縮常數(shù)，又若對任意x0∈[u0,v0]，有x0與A(ω,x0)也是可比較的, 則A存在惟一不動點, 迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},

(n=1,2,…)收斂于A的惟一不動點.

證明定義迭代序列

u1=A(ω,u0),u2=A(ω,u1),…,un+1=A(ω,un),…,

v1=A(ω,v0),v2=A(ω,v1),…,vn+1=A(ω,vn),…,

則{un},{vn}?[u0,v0].由u0

θ≤(un-vn)∨(vn-un)=

(A(ω,un-1)-A(ω,vn-1))∨(A(ω,vn-1)-A(ω,un-1))≤

β((un-1-vn-1)∨(vn-1-un-1))≤

β2((un-2-vn-2)∨(vn-2-un-2))≤…≤

βn((u0-v0)∨(v0-u0))

由P的正規(guī)性得‖un-vn‖≤βnN‖u0-v0‖.又由u0和u1是可比較的，可得對所有的n,un和un+1是可比較的，且

θ≤(un-un+1)∨(un+1-un)=

(A(ω,un-1)-A(ω,un))∨(A(ω,un)-A(ω,un-1))≤

β((un-1-un)∨(un-un-1))≤

β2((un-2-un-1)∨(un-1-un-2))≤…≤

βn((u0-u1)∨(u1-u0)).

由P的正規(guī)性得‖un+1-un‖≤βnN‖u1-u0‖.因為0<β<1,所以{un}是[u0,v0]中的Cauchy列. 同理{vn}也是[u0,v0]中的Cauchy列，由E的完備性，知

?u*,v*∈[u0,v0]?E使得un→u*,vn→v*(n→∞),則有

從而u*=v*.

對n

θ≤(A(ω,un)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,un))≤

β((un-u*)∨(u*-un)).

所以A(ω,un)和A(ω,u*)是可比較的，故有

‖un+1-A(ω,u*)‖=‖A(ω,un)-A(ω,u*)‖≤

βN‖un-u*‖≤βnN‖u1-u*‖→0,(n→∞).

所以un+1→A(ω,u*),(n→∞),則A(ω,u*)=u*，即u*是A(ω,x)的一個不動點.

假設還存在w*∈[u0,v0]是A(ω,x)的一個不動點，則

‖w*-u*‖≤‖w*-un‖+‖un-u*‖≤

βnN(‖w*-u0‖+‖u0-u*‖)→0,(n→∞),

所以u*=w*，不動點惟一.

?x0∈[u0,v0]，由x0和u0是可比較的知A(ω,x0)與A(ω,u0)是可比較的，故xn與un是可比較的，由引理1知xn與u*是可比較的且

θ≤(A(ω,xn)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,xn))

≤βnN((x0-u*)∨(u*-x0)).

故‖A(ω,xn)-A(ω,u*)‖≤βnN‖x0-u*‖→0,(n→∞),得A(ω,xn)→u*,(n→∞).

定理2 設E是Banach空間，P是E中的正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)為N，[u0,v0]是E中的序區(qū)間，隨機映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]滿足:?u,v∈[u0,v0], 若u和v是可比較的, 則A(ω,u)和A(ω,v)也是可比較的，且存在常數(shù)0<λ<1/2, 若u和A(ω,u)、v和A(ω,v)是可比較的，則有

(A(ω,u)-A(ω,v))∨(A(ω,v)-A(ω,u))≤

λ((A(ω,u)-u)∨(u-A(ω,u))+

A(ω,v)∨(v-A(ω,v))).

(2)

則A存在惟一不動點，且對?x0∈[u0,v0]，迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},(n=1,2,…)收斂于A的惟一不動點.

證明定義迭代序列

u1=A(ω,u0),u2=A(ω,u1),…,un+1=A(ω,un),…,

v1=A(ω,v0),v2=A(ω,v1),…,vn+1=A(ω,vn),…,

則{un},{vn}?[u0,v0].u0≤u1，根據(jù)已知，對所有的n，un和un+1是可比較的，則

θ≤(un+1-un)∨(un-un+1)=

(A(ω,un)-A(ω,un-1))∨(A(ω,un-1)-A(ω,un)))≤

λ((A(ω,un)-un)∨(un-A(ω,un))+

(A(ω,un-1-un-1)∨(un-1-A(ω,un-1)))=

λ((un+1-un)∨(un-un+1)+

(un-un-1)∨(un-1-un)).

(un+1-un)∨(un-un+1)≤

βn((u1-u0)∨(u0-u1)).n=0,1,…

由0<λ<1/2得0<β<1，所以‖un+1-un‖≤βnN‖u1-u0‖，因此{un}是Cauchy列.同理{vn}也是[u0,v0]中的Cauchy列，由E的完備性，知?u*,v*∈[u0,v0]?E使得un→u*,vn→v*(n→∞)由于u0和v0是可比較的，根據(jù)定理2的條件(2)用數(shù)學歸納法得對所有的n，un和vn是可比較的，且

θ≤(un-vn)∨(vn-un)=

(A(ω,un-1)-A(ω,vn-1))∨(A(ω,vn-1)-A(ω,un-1))≤

λ((A(ω,un-1)-un-1)∨(un-1-A(ω,un-1)+

(A(ω,vn-1-vn-1)∨(vn-1-A(ω,vn-1)))=

λ((un-un-1)∨(un-1-un)+

(vn-vn-1)∨(vn-1-vn)).≤

λβn-1((u1-u0)∨(u0-u1)+

(v1-v0)∨(v0-v1)).

‖un-vn‖≤λβn-1N(‖u1-u0‖+‖v1-v0‖)

θ≤‖u*-v*‖=

從而u*=v*.

對于?n

θ≤(A(ω,un)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,un))≤

λ((A(ω,un)-un)∨(un-A(ω,un))+

(A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*))),

A(ω,un)=un+1→u*,un→u*,(n→∞),

(A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*))≤

λ((A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*))).

所以A(ω,u*)=u*,u*是A的一個不動點.

若w*也是A的一個不動點，w*∈[u0,v0]則u0和w*是可比較的，進一步un和w*是可比較的，當n→∞時由引理1得u*和w*是可比較的，所以

θ≤(w*-u*)∨(u*-w*)=

(A(ω,w*)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,w*))≤

λ((A(ω,w*)-w*)∨(w*-A(ω,w*))+

(A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*)))=θ

所以w*=u*，不動點惟一.

對?x0∈[u0,v0],由x0和u0是可比較的,A(ω,x0)與A(ω,u0)也是可比較的，有

θ≤(xn-un)∨(un-xn)=

(A(ω,xn-1)-A(ω,un-1))∨(A(ω,un-1)-A(ω,xn-1))≤

λ((A(ω,xn-1)-xn-1)∨(xn-1-A(ω,xn-1)+

(A(ω,un-1-un-1)∨(un-1-A(ω,un-1)))≤

λβn-1((A(ω,x0)-x0)∨(x0-A(ω,x0))+

(A(ω,u0)-u0)∨(u0-A(ω,u0))).

‖xn-un‖≤λβn-1N(‖x1-x0‖+

‖u1-u0‖)→0,(n→∞).

故xn→u*應用同樣的方法可以得出下列序壓縮定理，證明略.

定理3 設E是Banach空間,P是E中的正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)為N，[u0,v0]是E中的序區(qū)間,隨機映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]滿足：?u,v∈[u0,v0]若u和v是可比較的，則A(ω,u)和A(ω,v)也是可比較的，且存在常數(shù)0<λ<1,又若u和A(ω,v)、v和A(ω,u)是可比較的，則有

(A(ω,u)-A(ω,v))∨(A(ω,v)-A(ω,u)≤

λ((A(ω,u)-v)∨(v-A(ω,u))+

(A(ω,v)-u)∨(u-A(ω,v))).

則A存在惟一不動點，且對?x0∈[u0,v0]，迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},(n=1,2,…)收斂于A的惟一不動點.

定理4 設E是Banach空間,P是E中的正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)為N，[u0,v0]是E中的序區(qū)間,隨機映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]滿足：存在非負常數(shù)a,b,c,有a+b+c<1,?u,v∈[u0,v0],若u和v是可比較的，則A(ω,u)和A(ω,v)也是可比較的，又若u和A(ω,v)、v和A(ω,u)是可比較的，則有

(A(ω,u)-A(ω,v))∨(A(ω,v)-A(ω,u))≤

a((A(ω,u)-u)∨(u-A(ω,u))+b((A(ω,v)-v)

∨(v-A(ω,v))=c((u-v)∨(v-u)).

則A存在惟一不動點，且對?x0∈[u0,v0]，迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},(n=1,2,…)收斂于A的惟一不動點.

參考文獻：

[1]李志龍.不連續(xù)隨機算子隨機不動點定理及其應用[J].數(shù)學物理學報,2010,30A(2).

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