關于一個數學期望命題及其推論的證明

谷偉偉,程 坤

(1.中國礦業大學 理學院,江蘇 徐州 221116;2.南京航空航天大學 理學院,江蘇 南京 211106)

數學期望是隨機變量的數字特征，刻畫了隨機變量取值的統計平均值，是隨機變量的環繞中心，是代表集中性的特征數[1].本文先引入一些預備定義和定理，目的是為了更好地說明其思想方法，進而可以詳細地說明待證命題及其推論.

1 預備知識

定義1 對A?Ω，考察Ω上的函數

IA(ω)稱為集合A的示性函數.

定義2 設ε+表示(Ω,F)上非負階梯隨機變量全體，即

定義1和定義2的詳細內容可參考文獻[2]和[3].

證明任意固定m，則

Xm∧Yn?inf{Xm,Yn}∈ε+[3].

又

故{Xm∧Yn,n≥1}單調遞增，且

從而由數學期望的單調性可知

定義3[3]設G+為(Ω,F)上非負隨機變量全體，則

定義4[3]設B表示(Ω,F)上任意的隨機變量，如果EX+與EX-中至少有一個有限，則稱EX為準可積的，并定義EX=EX+-EX-.

說明：這個定義和實變函數中的可測函數的積分十分相似，任意的f(x)=f+(x)-f-(x)，其中f+(x)和f-(x)都是非負的.

2 主要結果

命題1 若P(X≠0)=0，則X可積，且EX=0.證明情況1: 設X≥0，記A={ω:X(ω)=0}，則

P(A)=1，P(Ac)=0.

而

0≤X(ω)=X(ω)·IA+X(ω)·IAc=

0·IA+X(ω)·IAc≤∞·IAc?Y(ω)∈G+.

取

Yn(ω)=n·IAc∈ε+，Yn(ω)關于n遞增，

則由上述定理1和定義3可知

故

EX(ω)=0.

情況2:設X為一般隨機變量，則X=X+-X-. 由P(X≠0)=0，可推出

P(ω:X+(ω)≠0)=0，P(ω:X-(ω)≠0)=0.

故由情況 1的結論可知，EX+=0，EX-=0. 進而EX(ω)=EX+-EX-=0.下面給出它的推論，并對推論2進行詳細證明.

推論1 設X1與X2是兩個隨機變量，若P({ω:X1≠X2})=0，則X1與X2同時準可積分，且EX1=EX2.

結論可由上述命題直接推出，只要將X1≠X2移項變成X1-X2≠0即可看出.

推論2 設X為任意的一個隨機變量，且X準可積，則EX=E[X·IA].

證明由于X準可積，故由定義4，不妨設EX+<+∞，而

0≤(X·IA)+≤X+，

故

E[(X·IA)+]<+∞.

因此，由定義4可知，E[(X·IA)]是有意義的.

由定義1可知

X=X·IA+X·IAc，令Y=X·IAc，而

{ω:Y(ω)≠0}?Ac，

故由概率的單調性，可得

0≤P({ω:Y(ω)≠0})≤P(Ac)=0.

所以由上述命題的結論可知

E(Y)=0.

從而

E(X)=E(X·IA)+E(X·IAc)=E(X·IA).

3 小結

在實變函數中，對一個命題的內容而言，在不放棄簡潔的前提下，相同的結論，所需的條件越弱越好.而對一個命題的證明方法而言，在不增加繁瑣的推導過程前提下，所用到的工具越簡單越好[4].本文證明了概率論中一個看似簡單的命題，但是用到了實變函數中討論可測函數的可積性的重要思想，即先討論示性函數的積分，在此基礎上討論了簡單函數(階梯型可測函數)，然后討論了簡單函數的極限函數的積分，最后用正部和負部的方法構造了一般函數的積分.事實上，實變中的可測函數可看成是概率中的隨機變量，積分即可看成期望.另外本文中的結論也有很強的應用價值.在遇到比較復雜的問題時，上述結論可以直接被引用.而且會比用其他方法更為簡潔明了.

參考文獻：

[1]戴朝壽.概率論簡明教程[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]嚴士健,王雋驤,劉秀芳.概率論基礎[M].北京:科學出版社,2009.

[3]汪嘉剛.現代概率論基礎[M].上海:復旦大學出版社,2006.

[4]王敏生，姚靜蓀《實變函數論》中一個命題的初等證明[J].大學數學,2010,26(6).