信用組合相關結構對組合風險量度的影響

詹原瑞，劉俊梅

（天津大學 管理學院，天津 300072）

信用組合相關結構對組合風險量度的影響

詹原瑞，劉俊梅

（天津大學 管理學院，天津 300072）

針對現有信用風險組合模型在違約相關結構建模中存在的問題，文章提出了基于copula函數的信用風險組合模型，并在此基礎上，通過數值舉例比較分析了相關結構對組合損失分布和風險量度的影響，表明了相關結構在信用風險組合建模中的重要性以及基于copula函數信用風險組合模型的優勢。

相關結構;copula函數;組合損失分布;風險量度

在信用風險組合管理中，在已知資產違約概率的條件下，組合違約相關結構建模的準確與否對組合損失分布，進而對組合風險量度有著至關重要的影響。目前用來描述組合信用風險的主要模型之一是以portfolio manager模型和CreditMetrics模型為代表的特征變量模型［1］。這類模型通過假設特征變量服從聯合正態分布來間接分析資產間違約相關性，這意味著特征變量間的相關結構通過Gaussian copula來描述。由此便產生兩方面的問題，一方面由于Gaussian copula的尾部漸近獨立性，使其無法反映信用風險資產間具有明顯尾部相關性這一現象，因而利用其來為特征變量相關結構建模會造成對組合中大量資產同時發生違約的可能性的低估;另一方面，特征變量相關結構隱含在多變量的聯合分布中，因而無法量化分析相關結構對組合損失分布以及組合風險量度的影響。針對上述問題，本文將探討如何在特征變量模型基礎上，運用copula函數為信用風險組合相關結構建模，并利用我國資本市場數據，估計和比較分析不同相關結構對組合損失分布和風險量度的影響。

一 信用風險組合損失和風險量度

（一）信用風險組合損失

對于一個由n項資產構成的信用風險組合，資產i（i=1，…，n）的信用風險特征可通過三個參數來描述，即違約暴露EAD、違約損失率LGDi和違約概率PDi。定義隨機變量Di為資產i在T時的違約指示變量，即資產i發生違約，則Di=1，否則Di=0，這表明在僅考慮違約信用風險的條件下，在風險管理者確定的時期（一般為一年）內，組合中資產i或者以概率PDi發生違約，或者以概率1－PDi不發生違約。

假設Li表示資產i違約時發生的損失，為便于計算，這里假設資產i的違約暴露EADi及違約損失率LGDi為常數（這一假設可以放松），則

（二）風險量度

目前由巴塞爾銀行監管委員會推薦使用的標準風險量度為受險價值（Value at risk簡記為VaR）。它定義為組合損失分布的α分位數。其主要優勢是用單個數字清晰地表述出風險量度所涵蓋的內容——可能發生的損失量和發生這種損失的可能性。但同時也有大量的文獻對其作為風險量度的適宜性提出了批評。這些批評主要表現為兩方面：第一，VaR僅度量了組合損失分布某一點的損失水平，對超出這一點的損失分布行為未予以考慮，因而不具有風險敏感性。第二，根據文獻［2］提出的一致性公理，VaR不具有次可加性，因而不是一個一致性風險量度。

針對VaR存在的問題，文獻［2］提出了一個一致性風險量度——預期短缺（Expected shortfall簡記為ES），其定義為組合損失超過VaR條件下的損失平均值。因此ES描述的是信用風險組合損失分布尾部最壞100（1－α）%情景下的組合損失平均值。這顯然是一個比VaR更保守的風險量度，而且相對于VaR而言，ES不僅考慮了組合損失大于VaR的極端損失的嚴重程度，而且滿足廣義一致性，因此，它是一個比較合適的信用組合風險量度。

二 基于copula函數的信用風險組合模型

（一）特征變量模型

考慮由n項公司債券或公司貸款組成的信用風險組合，隨機變量Xi（i=1，…n）表示資產i在T時的特征變量（一般解釋為資產收益），并假設它有連續的分布函數Fi（Xi）=P（Xi≤xi）。Bi（i=1，…n）表示資產i在T時違約的違約臨界水平。如果關系式

成立，則稱 （Xi，Bi）1≤i≤n為二元隨機向量D=（D1，…，Dn） 的特征變量模型［1］。

在此模型中，資產間違約相關性通過資產收益間相關性來推導，而資產收益間相關系數的校準則通過一個因素模型予以實現。模型假設特征變量Xi（i=1，…n）依賴于一組共同的風險因素Y=（Y1，…，YK），K＜n，如宏觀經濟指標 GPD、CPI等，因而Xi（i=1，…n）可表示為：

根據隨機向量聯合分布函數的構成可知，式（4）中隱含的組合收益分布的相關結構為Gaussian copula。但Malevergne＆Sornette（2004）的實證研究表明：Gaussian copula的資產收益相關結構會造成組合收益分布尾部的低估。對信用風險的組合管理而言，這種低估，尤其是在組合收益分布的下尾部，將會導致信用風險組合中多個資產同時違約的極端事件的發生概率被低估?；诖?，本文在模型（4）基礎上，提出了基于copula函數的信用風險組合建?？蚣堋?/p>

（二）Copula函數

Copula函數是連接隨機變量邊際分布的累積分布函數，根據Sklar定理［4］，對于一個具有一元邊際分布F1，…，Fn的聯合分布函數F，一定存在一個copula函數C，使得

由此可知，copula函數描述的是隨機向量的相關結構。運用copula函數為相關結構建模具有諸多優勢：與線性相關系數相比，運用copula函數所得到的相關性量度可以捕捉變量間非線性相關關系，因此應用范圍更廣、實用性更強;而與基于聯合分布函數的建模方法相比，基于copula函數的建模方法可將相關結構建模從隨機向量的聯合分布建模中獨立出來，可更靈活準確地描述變量間的相關結構及各變量的邊際分布。

在相關結構建模中，常用的copula函數主要有兩大類，即橢圓copula和阿基米德 copula。橢圓copula是多變量橢圓分布函數的相關結構，它的兩個主要成員是Gaussian copula和t－copula，分別源于多元正態分布和多元t分布。

阿基米德copula函數是借助于一個特定的生成函數構造而成的一類copula。其主要特征表現為：1．構造方式簡單;2．相對于橢圓copula函數，有閉式表達式;3．可以考慮多種不同的相關結構。

但二者之間一個顯著的差異是：橢圓copula通過n×n維的相關系數矩陣對組合中成對資產間相關關系的差異性予以充分的表述;而阿基米德copula表示的組合資產間的相關關系是完全可交換的，因此它將無法反映成對資產間相關關系的差異性，這也是阿基米德copula在多變量相關結構建模中的局限所在［9］。

（三）基于copula函數的信用風險組合模型

由于公司在共同的宏觀經濟環境下運營，各個公司的命運通過具體的行業和/或一般的經濟條件而聯系在一起，因而公司的違約事件常常是相關的。具體來說，導致公司違約風險發生變化的原因由外到內依次為：整個宏觀經濟環境發生變化、行業生存條件發生變化、公司自身的特定條件的變化［5］。由公司自身的特質因素產生的違約一般不會產生相關違約;宏觀經濟條件的變化對各個行業的發展產生影響，進而影響到行業中的各個公司的發展;行業因素的變化首先影響的是行業內的各個公司，同時通過不同行業在投入產出間的連續性，對其他行業及其所屬公司產生影響。可見行業因素在宏觀經濟因素和公司資產收益之間起到了媒介的作用。因而公司資產收益對其所屬行業因素變化的敏感性要強于對GDP、CPI等宏觀經濟變量的變化。如果利用行業收益指數作為模型的系統風險因素，顯然會比直接以宏觀經濟變量作為系統風險因素的模型更能準確地反映出公司之間的相關關系。

此外，Nagpal＆ Bahar（2001）、Arnaud＆ Oliver（2003）等的實證研究表明，行業因素對信用風險組合資產間的違約相關性有著重要的影響。而且在實際的信用風險組合管理中，風險管理者們也常常通過限制行業資產的最大暴露來控制組合的集中風險。

根據上述違約相關性產生原因的分析，并考慮到copula函數在相關關系分析方面的靈活性和穩健性，本文在式（7）基礎上，提出以行業平均收益為系統風險因素，并利用copula函數來為其相關結構建模的信用風險組合建?？蚣堋？紤]到一個公司的收益可能會來源于多個行業的經營，因此信用風險組合中公司i的資產收益變量Xi可表示為：

形式完全相同的式（4）和式（6）的差異在于：Yk（k=1，…K）的含義不同，式（6）中的Yk（k=1，…K）表示公司i的資產收益中所涉及行業的平均收益，而且式（6） 并沒有對Xi、Y=（Y1，…，YK） 和 εi的分布模式予以假設，僅說明Xi、Y=（Y1，…，YK）和εi均為均值為0、方差為1的標準分布隨機變量。為便于表示，假設Xi和εi分布函數分別為Fi、Hi，隨機向量Y=（Y1，…，YK）有連續的邊際分布函數Gk，其相關結構為copula函數CY，那么隨機向量Y=（Y1，…，YK）的聯合分布函數可表示為：

當式（7）中的copula函數CY為Gaussian copula函數，且分布函數Fi、Hi和Gk均為標準正態分布函數時，模型（6）即為模型（4），因此可以認為這個基于copula函數的信用風險組合建?？蚣苁菍μ卣髯兞磕Ｐ停?）的一般化，而特征變量模型僅是這個模型框架中的一個特例。但相對于式（4），式（6）可以更靈活地選擇變量的邊際分布和變量間的相關結構函數，從而可更準確地為信用風險組合建模。

三 算例研究

由式（6）可知，基于copula函數的信用風險組合模型可以對組合資產的相關結構進行獨立建模，這為相關結構的量化分析提供了可能。為了更直觀地了解相關結構對組合損失分布及其風險量度的影響，下面通過一個數值舉例來進行比較分析。

假設組合中每一貸款都有標準普爾信用評級，因此貸款違約概率可采用標準普爾信用評級的平均年違約概率;同時假設各項貸款的違約損失率為1;而且為方便計算，假設組合中各項資產收益只涉及一個行業，此時式（6）被簡化為一個單因素模型。資產組合基本數據見表1。

表1 資產組合基本數據

（一）行業平均收益相關結構的估計

文中選取我國資本市場中的機械制造業、鋼鐵、食品、醫藥、石化、批發零售、房地產、社會服務這8個行業的上市公司在2001－2006年期間的資本市場數據作為研究對象。

為了構造這八個行業的平均收益，本文選取的樣本公司需滿足以下幾個條件：1．在上海和深圳證券交易所僅發行A股的上市公司;2．按照證監會行業分類，這些公司分屬于上述行業;3．2001－2006年在交易所上市交易。

行業平均收益相關結構的估計過程如下：

首先，利用Merton公司價值模型，計算出各個上市公司的資產價值和收益序列，其中相關參數的設置可參見文獻［8］。行業平均收益序列表示為該行業上市公司資產收益序列的加權平均，其中權重為公司資產價值的對數。

其次，估計行業平均收益的邊際分布。通過統計分析，發現行業平均收益序列呈現出高峰、厚尾、有偏以及時變的波動性等特征，因此本文用偏t－GARCH（1，1）模型來描述行業平均收益序列，模型的具體表達式可參見文獻［9］。

表2 各行業平均收益邊際分布的參數估計結果

表2給出了利用極大似然估計法得到的參數估計結果。其中K－S統計量及其概率值結果表明：原假設“變換后的序列服從（0，1）上的均勻分布”沒有被拒絕。另外對變換后的序列進行游程檢驗，結果表明，模型的殘差序列是獨立的。因此說明運用偏t－GARCH（1，1）模型來描述行業平均收益序列是充分的。

最后，行業平均收益相關結構估計。根據估計的邊際分布模型，對行業平均收益序列的殘差序列進行概率積分變換，得到一個新序列。在新序列基礎上運用極大似然估計法即可估計出用于行業平均收益相關結構建模的copula函數的相關參數。

考慮到行業平均收益間相關性的差異性，以及阿基米德copula在多變量建模中的局限性，本文選擇t－copula來為行業平均收益的相關結構建模。同時由上述分析可知，現有信用風險組合模型假設行業平均收益相關結構為Gaussian copula。為了與現有信用風險組合模型進行比較，本文分別對Gaussian copula和t－copula的相關參數進行了估計，并運用Blanket檢驗［10］對估計結果進行了擬合優度檢驗。

表3列出了行業平均收益相關結構分別為Gaussian copula和t－copula時相關系數的估計值以及相應的標準差。t－copula的自由度參數估計為6．915 9。從表3可以看出，行業平均收益間均存在不同程度的正相關關系。

表3 兩種相關結構模型下行業平均收益間相關系數的估計值

表4給出了兩種行業平均收益相關結構模型下，擬合優度檢驗統計量TN值及其近似p值。擬合優度檢驗統計量的數值表明t－copula的擬合優度顯然要優于Gaussian copula。由此說明t－copula比Gaussian copula更適合用于描述行業平均收益相關結構。

表4 兩種相關結構模型下的擬合優度檢驗結果

（二）組合風險量度計算

本文利用重要性抽樣方法來計算組合損失分布及其風險量度［11］。考慮到信用風險組合管理中主要關注的是組合損失分布的尾部，圖1顯示了兩種相關結構下、置信水平為95%時的組合損失分布尾部。

從圖中可以清晰地看出，兩種相關結構下損失分布尾部之間有明顯的差異。而且計算結果表明：在置信水平為95%時，兩種相關結構下的組合損失分布的分位點比較接近，分別約為316萬元和321萬元，但隨著組合損失尾部的延伸，相關結構為Gaussian copula的組合損失尾部概率收斂于0的速度明顯快于t－copula。

圖2是對圖1尾部的進一步放大，此時的置信水平為99%。比較圖1和圖2可以看出，隨著置信水平的提高，由相關結構所導致的組合損失分布在尾部的差異明顯增加。

圖1 置信水平為95%時兩種不同相關結構的組合損失分布尾部

圖2 置信水平為99%時兩種不同相關結構的組合損失分布尾部

表5給出了兩種相關結構模型下，組合損失分布在不同置信水平下的VaR和ES。從中可以看出，在t－copula下得到的VaR和ES均顯著大于Gaussian copula時的結果。形成這種差異的原因是因為t－copula考慮了行業平均收益間的尾部相關性，而Gaussian copula卻沒有，也正是這一點導致了現有模型對組合損失分布尾部的低估。

表5 兩種相關結構下不同置信水平的VaR和ES單位：萬元

四 結論

上述分析和算例表明：

1．相對于現有的特征變量模型，本文提出的基于copula函數的信用風險組合模型可以更靈活地選擇變量的邊際分布和變量間的相關結構函數，從而可更準確地為信用風險組合建模;

2．t－copula比Gaussian copula更適合用于描述行業平均收益的相關結構;

3．由于兩種相關結構產生的組合損失分布在尾部的差異隨置信水平的增加而增加，因此相對于tcopula而言，由Gaussian copula的行業平均收益相關結構所產生的組合風險量度的低估程度，隨著置信水平的提高而增加，而且增加的幅度也隨置信水平的提高而提高，因此現有模型存在著很大的模型風險。

［1］Frey R，McNeil A J，Nyfeler M．Copulas and Credit Models［J］．Risk，2001（10）：111 －114．

［2］Artzner P，Delbaen F，Eber J M，Heath D．Coherent Measures of Risk［J］．Mathematical Finance，1999，9（3）：203 －228．

［3］Malevergne Y，Sornette D．Tail Dependence of Factor Models［J］．Journal of Risk，2004，6（3）：71 －116．

［4］Embrechts P，McNeil A，Straumann D．Correlation and Dependence in Risk Management：Propertiesand Pitfalls［M］//Risk Management：Value at Risk and Beyond，ed．by M．Dempster，H．K．moffatt，Cambridge University Press，2001：176－223．

［5］Arnard de Servigny，Oliver Renault．信用風險度量與管理［M］．任若恩，等譯．北京：中國財政經濟出版社，2005：153－156．

［6］Nagpal K，Bahar R．Measuring Default Correlation［J］．Risk，2001（3）：129 －132．

［7］Arnaud S，Oliver R．Correlation Evidence［J］．Risk，2003（7）：90－94．

［8］翟東升，張娟，曹運發．KMV模型在上市公司信用風險管理中的應用［J］．工業技術經濟，2007，26（1）：126 －128．

［9］詹原瑞，劉俊梅．基于copula函數的行業平均收益相關結構的實證分析［J］．統計與決策，2009（21）：77－79．

［10］Genest C，Rémillard B．Validity of The Parametric Bootstrap for Goodness－of－fit Testing in Semiparametric Models［J］．Annales de Institute HenriPoincaré－Probabilités et Statistiques，2008，doi：10．1214/07 －AIHP148．

［11］詹原瑞，劉俊梅．預期短缺ES估計的穩定性分析［J］．系統工程學報，2008，23（5）：526 －531．

（責任編輯 魏曉虹）

The Impact of the Dependence Structure of Credit Risk Portfolio on the Risk Measures

ZHAN Yuan －rui，LIU Jun －mei
（School of Management，Tianjin University，Tianjin300072，China）

Aimed at the drawbacks in modeling dependent structure of default in the existing credit portfolio models，a credit portfolio model based on copula functions is proposed．Then through the example of numerical value，the impact of dependent structure of portfolio on portfolio loss distribution and risk measure is compared and analyzed．The conclusions are drawn that it is important to model dependence structure in the credit portfolio models，and that it is proper to model credit risk portfolio based on copula function．

dependent structure;copula functions;portfolio loss distribution;risk measure

F830

A

1000－5935（2012）05－0116－06

2012－06－04

國家自然科學基金資助項目（70573076）;高校博士學科點專項科研基金資助項目（20050056057）

詹原瑞（1944－），女，江西婺源人，天津大學管理學院教授，博士生導師，主要從事金融工程管理、信用風險管理研究;

劉俊梅（1970－），女，山西忻州人，天津大學管理學院博士研究生，主要從事信用風險管理研究。