精確線性化電動機轉速控制

史曉陽，魯 芳，劉艷萍

（1.海軍航空工程學院 山東 煙臺 264001；2.海軍實驗基地三區 河北 秦皇島 066000）

近年來，非線性控制理論的迅速發展使得其在系統建模和系統控制中的應用成為可能。其中，反饋線性化的方法引起了學者的廣泛關注，它的核心思想是把一個非線性系統代數的轉化為一個（全部或者部分）線性系統，以便可以應用線性系統的技巧[1-2]對系統進行設計。這種方法已經廣泛的應用到了開關變換器控制[3]，電動機控制[4-5]，水利系統[6]等領域。目前，反饋線性化在控制領域的研究，大多是采用狀態反饋線性化的方法以實現非線性系統的完全線性化。但是狀態反饋線性化需要滿足嚴格的能控性條件和對合條件，而且存在控制器結構復雜，不利于工程實現等缺點。從實用角度來看，實現非線性系統完全精確線性化并不比部分精確線性化更為理想[6]。

文中基于他勵直流電動機非線性模型，通過選擇不同的輸出函數，設計了輸出反饋線性化轉速控制器和狀態反饋線性化轉速控制器。并通過數學推導和系統仿真，比較兩者的控制器結構，穩定運行區域，動態性能，抗干擾能力。結果表明，輸出反饋線性化控制器相比于狀態反饋控制器，控制性能優良，且更具有實用價值。

1 他勵直流電動機非線性模型

電動機控制的目標是控制電動機轉速按照期望的指標運行。對于他勵直流電動機非線性系統，選取電機轉動角速度，電樞電流，勵磁電流作為狀態變量，即x=（ω iair）T。 選勵磁電壓為控制量，即u=ur，系統狀態方程[7]可寫為：

式中，

設電動機穩態轉速時x1m=wm，解方程組

得

由計算結果可知，對于給定的穩態轉速wm，有兩組穩態勵磁電壓、電樞電流、勵磁電流。容易看出，b組數據對應的穩態平衡點是物理上無法實現的，a組數據對應的平衡點是我們期望的電動機運行平衡點。所以當系統控制達到穩態轉速wm時，期望的穩態電樞電流為x2ma，穩態勵磁電流為x3ma。

2 控制器設計

2.1 狀態反饋線性化控制器設計

1）狀態反饋反饋線性化條件

①矩陣[g（x0），adfg（x0），…，ag（x0）]的秩為 n；

②分布 D=span[g，adfg，…，ag]在的一個鄰域是對合的。

由電動機非線性模型計算得

根據定理充分必要條件②，由于[g（x），adfg（x）]=0，可得D=span{g（x），adfg（x）}在集合 U={x∈R3:x1≠0 或 x2≠0}上為 2維，非奇異，對合。

當時，det（[g（x0），adfg（x0），ag（x0）]）≠0 時，rank{[g（x0）adfg（x0）ag（x0）]}=3。

計算得：

電動機模型滿足狀態反饋反饋線性化的條件。

2）控制器設計

由于相對階 r=3，非線性系統（1）存在輸出函數 λ（x）使得系統可進行狀態反饋線性化。輸出函數λ（x）應滿足[g（x），adfg（x）]=0，解得 λ（x）=J+La-Z3，其中 Z3=Jw+Lax為常數。則有微分同胚坐標變換z=φ（x）：

則在此坐標下得非線性狀態反饋：

其中，v為線性化虛擬輸入，zm為中不包含控制信號u的項。經坐標變化和狀態反饋變換后，原非線性系統轉化為線性化系統。

顯然，線性化后的系統是能控的線性系統，應用線性系統極點配置法設計閉環，即 v=-k1z1-kz2-k2z3（其中 k1，k2，k3＞0）

則加入閉環控制的控制規律為

從控制規律（6）可知，基于狀態反饋線性化設計的控制律不是全局范圍成立的。當｝時，控制規律沒有定義好，控制規律使狀態運行到這些奇點時，控制器不能使系統達到平衡點。所以設計控制器時反饋系數k1，k2，k3不但要滿足線性系統穩定性判據的要求，而且必須保證控制過程中的狀態軌跡與沒有交點，否則交點位置控制器失效。

2.2 輸出反饋線性化控制器設計

選擇輸出函數 λ（x）=x3-Z1，顯然相對階 r=1，其中 Z1=x3m為常數。設 z1=λ（x），則=-x3+u。在此坐標下得輸出反饋線性化

應用極點配置法設計非線性控制器的閉環，即v=-kz1（k＞0）。

將 u=Lr（-kz1+x3）代入原系統的方程得

假設 x30=x3-Z1，有 x30=-kx30。 選擇利亞普諾夫[8]函數 V（x）=+1，則 V（x）=-2k，顯然對 x3∈R，V（x）正定，V（x）半負定。由李亞普諾夫穩定性理論可知，控制規律u=Lr（-kz1+x3）使得系統全局漸進穩定。

3 系統仿真實驗

為了比較2種控制器的控制效果，文中是用Matlab中的Simulink對所建系統的模型進行仿真。他勵直流電動機的負載額定轉矩為29.2 N·m，電樞電感為0.012 H，勵磁回路電阻為240Ω，勵磁回路電感為0.12 H，電樞與勵磁回路互感為1.8 H，轉動慣量為1.0 kg/m2，電勢常數取經驗值k=15，電樞電壓為240 V，電樞電阻為0.6Ω，額定轉速為100 rad/s。

圖1為在電動機額定狀態下，本文設計的狀態反饋控制器和輸出反饋控制器啟動和調速的狀態響應曲線。為了考察系統的動態性能，在5秒的時調節控制規律，使電動機轉速從100 rad/s穩定到127 rad/s。為了考察系統的抗干擾能力，首先控制電動機轉速達到額定穩態轉速100 rad/s，5 s時在電動機模型負載力矩控制端加入寬度為1 s幅值為15 N·m的干擾力矩，系統的響應曲線如圖3所示。

圖1 轉速調節狀態響應曲線Fig.1 State response curve of speed regulation

圖2 加干擾力矩情況下轉速響應曲線Fig.2 State response curve under disturbance torque

圖3 加干擾力矩情況下轉速響應曲線放大圖Fig.3 State response zoom curve under disturbance torque

從圖中可以看出，基于反饋線性化設計的他勵直流電動機閉環轉速控制器具有很好的動態性能和抗干擾能力。其中，輸出反饋控制器相比于狀態反饋控制器具有啟動快，調速迅速，超調小，抗干擾能力強等優點。

4 結束語

文中基于他勵直流電動機的數學模型，應用微分幾何理論設計了輸出反饋線性化和狀態反饋線性化閉環轉速控制器。通過數學推導表明，對于他勵直流電動機非線性模型，輸出反饋線性化與狀態反饋線性化控制器相比，控制器結構簡單，且具有更大的穩定控制區域。仿真結果表明，由于狀態反饋控制器存在奇點，不是全局能控的，穩態轉速的設定和極點配置參數的選擇都會影響系統控制過程中的狀態響應軌跡，從而可能使系統運行到奇點區域，出現控制器失效現象。在這種情況下閉環參數的設計既要保證系統具有很好的控制性能，更要保證在控制過程中系統的狀態響應軌跡不經過系統奇點。這就使得控制器閉環設計變得復雜，且大多情況下無法選擇最優的閉環控制參數，從而影響控制器的動態響應性能。相比而言，輸出反饋線性化控制器具有動態調速性能好；抗干擾能力強；結構簡單，易于工程實現；有效地避免產生奇點，控制器運行穩定，容易使系統的閉環設計達到最優配置等優點。

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