探究單擺加速度與擺角的關系

劉權

(蘇州市陸慕高級中學 江蘇 蘇州 215131)

1 建立單擺模型

如圖1(a)所示，小球質量為m，繩長為L，單擺的擺角為α，將小球在A位置靜止釋放.

圖1

2 理論推導

設某時刻單擺的位置如圖1(b)，此時單擺的偏角為θ，小球的速度為v，小球的加速度為a，則有

(1)

(2)

(3)

聯立(1)、(2)、(3)三式，得

a2=4g2(cosθ-cosα)2+g2sin2θ

將上面表達式做無量綱處理，得

(4)

3 繪圖

結果如圖2所示.

圖2

結論：從以上三種情況看，單擺加速度大小變化與擺角α有關．選取單擺從最低點θ=0到最高點θ=α的運動過程，將單擺加速度大小變化分為三類.

類型一：單擺加速度大小不斷增加 (擺角α=30°時情況)；

類型二：單擺加速度大小先減小后增大(擺角α=60°的情況)；

類型三：單擺加速度大小不斷減小 (擺角α=90°的情況).

4 定量分析

對表達式(4)進行處理，得

(5)

(1)當α=90°時， 單擺的偏角θ從零增加到α時，根據表達式(5)可以看出單擺加速度大小變化屬于類型三(單擺加速度不斷減小).

5 圖像分析

根據上述定量分析知道：α=41.41°是臨界角.

圖3

圖4是對圖3在0°≤θ≤4.2°范圍內的圖像做了放大處理.

圖4

圖5

圖6是對圖5在0°≤θ≤10°范圍內的圖像做了放大處理.

圖6

從圖5和圖6中發現單擺的加速度在0°≤θ≤41.4°的范圍內的確是不斷增加的.

6 最值討論

(1)當α=90°時，單擺在最低點(θ=0°)加速度最大，在最高點(θ=α)加速度最小.

(2)當0<α≤41.41°時，單擺在最低點加速度最小，在最高點時加速度最大.

(3)當41.41°<α<90°時，討論單擺加速度的最值情況.

2)單擺加速度最大值要么在最低點θ=0°，要么在最高點θ=α.

根據表達式(5)，設單擺在最低點和最高點加速度相等，

根據表達式(5)得知：

當41.41°<α<53.13°時，單擺在最高點加速度最大.

當53.13°<α<90°時，單擺在最低點加速度最大.