再論“為何繩端速度如此分解”

馬皓

(平頂山市第二中學(xué) 河南 平頂山 467000)

文獻(xiàn)[1]中用簡單明了的方法分析討論了高中物理教學(xué)中的一個知識難點(diǎn)——繩子拉船問題．

繩子拉船問題是運(yùn)動的合成與分解中的典型例子．很多學(xué)生對此問題的理解都感到非常困難，怎樣使學(xué)生正確地理解和掌握這個問題呢？下面筆者就根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗，再討論一下這個問題的理解及求解此問題的一些其他方法．

1 繩子拉船問題的理解

1．1 繩子拉船問題

如圖1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用繞過定滑輪O的輕繩勻速地拉動水面上的一只小船，如果人拉動繩子的速度大小為v，則當(dāng)繩子OA與水平面的夾角為θ時，小船運(yùn)動的速度為多大．

圖1

1．2 常見錯誤及原因分析

對此問題，很多學(xué)生的常見錯誤是把拉動繩子的速率v沿豎直和水平兩個方向分解，如圖2所示，因此錯誤地認(rèn)為船沿水面運(yùn)動的速度，就是繩子沿水平方向的分速度，即

v船=vcosθ

(1)

圖2

造成上述錯誤的原因，就是沒有分清楚合運(yùn)動與分運(yùn)動，錯誤地認(rèn)為與船相連的繩子沿收縮方向是合運(yùn)動，小船的運(yùn)動為它的分運(yùn)動．實際上，繩子A端與船相連，它的實際運(yùn)動與小船運(yùn)動相同，也是水平向左，這才是合運(yùn)動．

1．3 常規(guī)解法

如圖1，當(dāng)繩子拉著小船水平向左運(yùn)動時，定滑輪右邊的繩子運(yùn)動有這樣的效果：一方面，沿繩子方向收縮；另一方面，繩子繞定滑輪O順時針轉(zhuǎn)動．因此，可將繩A端(或小船)水平向左的實際運(yùn)動(合運(yùn)動)分解成上述兩個方向的分運(yùn)動，如圖3所示，而沿繩子收縮方向的分速度大小等于人通過定滑輪拉動繩子的速度大小v，故小船運(yùn)動的速度為

(2)

圖3

1．4 問題的理解

上述的求解結(jié)果學(xué)生普遍感到難以理解．為了幫助學(xué)生更好地理解這個問題，我們就從小船運(yùn)動的速度和拉動繩子的速度大小關(guān)系入手.由(2)式可知，小船運(yùn)動的速度大于拉動繩子的速度，式(1)則是小于拉動繩子的速度，因此只要證明小船運(yùn)動的速度大于拉動繩子的速度，問題就比較容易理解了．將繩子拉動船的過程中，繩子與水平方向的夾角設(shè)置兩個特殊值來進(jìn)行考慮，如圖4所示，設(shè)在某時間t內(nèi)，拉動船時繩子與水平面的夾角由30°增大到45°，則在這段時間內(nèi)，小船前進(jìn)的距離為

繩子收縮的長度為

圖4

由此可得s>L，故小船運(yùn)動的速度必大于人拉動繩子的速度．這樣一來，學(xué)生在理解此問題時就輕松多了，就會自動排斥錯誤的解法，從而認(rèn)可和接受正確的解法．

2 繩子拉船問題的其他求解方法

繩子拉船問題，除了上面的常規(guī)解法，還有其他一些求解方法．

2．1 功能原理法

設(shè)定滑輪的質(zhì)量、滑輪與軸之間的摩擦均不計，則人在利用繞過定滑輪的繩子拉船過程中，人拉輕繩所做的功等于繩子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉繩與繩拉船的時間相同，則有

(3)

即P人=P船.設(shè)人對繩子的拉力為F，則繩對船的拉力大小也為F，根據(jù)功率的計算公式P=Fvcosα，有

P人=Fv

(4)

P船=Fv船cosθ

(5)

聯(lián)立(3)、(4)、(5)式可得

同樣，利用(3)、(4)和(5)式，也可以理解為什么船運(yùn)動的速度大于人拉動繩子的速度，繩子拉船時，力與水平間有夾角，為了保證人拉繩子的功率等于繩子拉船的功率，必須使船運(yùn)動的速度大于拉動繩子的速度．

2．2 導(dǎo)數(shù)法

如圖5所示，建立一個平面直角坐標(biāo)系xOy.

圖5

設(shè)小船離岸的水平距離為x，繩子的長度為r，則

r2=h2+x2

對上式求時間的導(dǎo)數(shù)得(h為定值)

其中

由上式可得

2.3 微元法

我們常說，要給學(xué)生一杯水，教師要有一桶水.做為教師也可以從更高的層次理解此題.

由圖5可得

(6)

對(6)求導(dǎo)，注意r，x，θ都是以時間t為變量，有

(7)

以上幾種解法，構(gòu)思各異，特別是功能原理法，既簡單又易懂，確實是一個好方法，但此時還未講解功率的計算公式P=Fvcosα，而微分法和導(dǎo)數(shù)法則要求有較高的數(shù)學(xué)知識．因此，在教學(xué)過程中應(yīng)這樣安排，初次講授此問題時，只講常規(guī)解法和問題的理解，待高三總復(fù)習(xí)時，再將這些方法全都介紹給學(xué)生，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題能力．

參考文獻(xiàn)

1 方銀良.為何繩端速度如此分解.物理教師，2010(2)：14