離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一致估計(jì)

王志明，郭星星

（1.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430065；2.武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢，430065）

隨著保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)理論已經(jīng)形成了一個(gè)比較系統(tǒng)的體系，其中重尾分布是風(fēng)險(xiǎn)理論發(fā)展的一個(gè)重要分支。近年來(lái)凈損失服從重尾分布的相關(guān)問(wèn)題備受關(guān)注，尤其是凈損失是獨(dú)立同分布的情況，其中Tang等[1]對(duì)凈損失服從重尾分布，并且是獨(dú)立同分步的破產(chǎn)概率進(jìn)行了漸進(jìn)估計(jì)。Zhang等在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上引入了二元上尾獨(dú)立的概念，并且在文獻(xiàn)[3]中對(duì)凈損失是R－α類(lèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了漸進(jìn)估計(jì)，在文獻(xiàn)[4]中對(duì)凈損失是ERV類(lèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了漸進(jìn)估計(jì)。文獻(xiàn)[5]則是對(duì)凈損失是D∩L類(lèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了漸進(jìn)估計(jì)。文獻(xiàn)[3]～文獻(xiàn)[5]都是對(duì)破產(chǎn)概率的漸進(jìn)估計(jì)?，F(xiàn)在也有部分學(xué)者對(duì)破產(chǎn)概率進(jìn)行了一致估計(jì)[6]。本文則對(duì)凈損失是二元上尾獨(dú)立同分布，并且分布函數(shù)是D∩L類(lèi)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，得到了離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一致估計(jì)。

1 模型的建立

本文研究的是離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，設(shè)ri（ri∈（－1，∞））是第i年的常利率，Xi是第i年的凈損失，初始資本為x（x≥0），Un表示第n年的盈余，則該風(fēng)險(xiǎn)模型的盈余過(guò)程為

對(duì)模型（1）進(jìn)行遞推可得：

那么可得出相應(yīng)有限時(shí)間和無(wú)限時(shí)間的破產(chǎn)概率分別為

本文在文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)有限時(shí)間破產(chǎn)概率進(jìn)行研究，設(shè)Xi（i＝1，2，…）的分布函數(shù)為F（x），則有以下假設(shè)：

（1）F∈D∩L。

（2）｛Xi，i＝1，2，…｝是二元上尾獨(dú)立同分布的。

（3）F滿(mǎn)足

2 相關(guān)定義及引理

設(shè)表示分布函數(shù)F的尾分布，即（x）＝1－F（x），則重尾分布有以下幾類(lèi)：

（1）L類(lèi)。若分布函數(shù)F滿(mǎn)足

（2）S類(lèi)。若分布函數(shù)F滿(mǎn)足

（3）D類(lèi)。若分布函數(shù)F滿(mǎn)足

（4）C類(lèi)。若分布函數(shù)F滿(mǎn)足或，則F∈C。

（5）ERV類(lèi)。若對(duì)任意s≥1，分布函數(shù)F滿(mǎn)足其中0≤α≤β＜∞（α，β是任意固定的實(shí)數(shù)），則F∈ERV（－α，－β）。

（6）R－γ類(lèi)。若對(duì)任意y≥0，分布函數(shù)F滿(mǎn)足其中γ≥0（γ是任意固定的實(shí)數(shù)），則F∈R－γ類(lèi)。

定義1[5]設(shè)u（x）和v（x）是兩個(gè)正函數(shù)，若，那么u（x）和v（x）的關(guān)系可以記作；若，那么u（x）和v（x）的關(guān)系可以記作u（x）?v（x）；若同時(shí)成立，那么u（x）和v（x）的關(guān)系可以記作u（x）～v（x）。

定義2[5]若是同分布的，且滿(mǎn)足則稱(chēng)是二元上尾獨(dú)立的。

引理1[5]若是二元上尾獨(dú)立同分布的，其分布函數(shù)（此時(shí)0），且F滿(mǎn)足式（5），則

證明 見(jiàn)參考文獻(xiàn)[5]定理3.1證明。

引理2[5]設(shè)是同分布的，其分布函數(shù)（此時(shí)），若rn（n＝1，2，…）滿(mǎn)足式（6），則

證明 見(jiàn)參考文獻(xiàn)[5]引理4.3證明。

引理3[5]設(shè)F1和F2是定義在上的分布函數(shù)，若其中

證明 見(jiàn)參考文獻(xiàn)[5]引理4.1證明。

3 主要結(jié)果及證明

證明 由引理2可知，對(duì)任意的ε＞0，存在x0＝x0（ε）和m＝m（ε）＝1，2，…，當(dāng)x＞x1＝x0（1＋r1）且n≥m時(shí)有

首先證明當(dāng)1≤n≤m時(shí)的情形。由引理1知，故對(duì)上述的m和ε，存在x2＞x1，當(dāng)x＞x2且1≤n≤m時(shí)有

再證明當(dāng)n＞m時(shí)的情形。當(dāng)x＞x2且n＞m時(shí)，一方面，

另一方面，由引理3可知

則由式（12）、式（13）和式（14）可得：

推論 假定凈損失｛Xi，i＝1，2，…｝是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，其分布函數(shù)F∈D∩L（此時(shí)滿(mǎn)足式（5），且rn（n＝1，2，…）滿(mǎn)足式（6），則

證明 由獨(dú)立同分布推出二元上尾獨(dú)立同分布是顯而易見(jiàn)的，再由定理1即得之。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究的是離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，主要考慮的是當(dāng)保險(xiǎn)公司在資金沒(méi)有進(jìn)行其他投資的情況下，其初始準(zhǔn)備金和收取的保費(fèi)加起來(lái)仍然不夠賠付所導(dǎo)致的破產(chǎn)問(wèn)題，同時(shí)也考慮了保費(fèi)率因素，這樣的模型更具一般性。之前諸多學(xué)者對(duì)破產(chǎn)概率的研究通常假定保險(xiǎn)公司的年凈損失之間是相互獨(dú)立的，本文則對(duì)凈損失屬于D∩L類(lèi)并且二元上尾獨(dú)立同分布的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，對(duì)有限時(shí)間破產(chǎn)概率進(jìn)行了一致估計(jì)。二元上尾獨(dú)立離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型更具一般性，更有利于保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中問(wèn)題的解決。

[1] Tang Q H，Tsitsiashvili G.Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discretetime model with heavy－tailed insurance and financial risks[J].Stochastic Processes and Their Applications，2003，108：299－325.

[2] Bingham N H，Goldie C M，Teugels J L.Regular variation[M].Cambridge：Cambridge University Press，1987：65－68.

[3] Weng C G，Zhang Y，Tan K S.Ruin probabilities in a discrete time risk model with dependent risks of heavy tail[J].Scandinavian Actuarial Journal，2009（3）：205－218.

[4] Zhang Y，Shen X M，Weng C G.Approximation of the tail probability of randomly weighted sums and applications[J].Stochastic Processes and Their Applications，2009，119：655－675.

[5] Wang Y F，Yin C C.Approximation for the ruin probabilities in a discrete time risk model with dependent risks[J].Statistics and Probability Letters，2010，80：1 335－1 342.

[6] Ming R X，He X X，Hu Y J，et al.Uniform estimate on finite time ruin probabilities with random interest rate[J].Acta Mathematica Scientia，2010，30B（3）：688－700.